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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 So 31.03.2013 | | Autor: | ne1 |
Hallo :),
| Aufgabe | | Beweise [tex]A \cap \emptyset = \emptyset[/tex] |
4. [tex]x \in A \cap \emptyset \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in \emptyset \Leftrightarrow 0[/tex]
Die Aussage ist falsch, deshalb ist die Annahme [tex]x \in A \cap \emptyset[/tex] nicht korrekt, dadurch kann [tex]x[/tex] kein Element von [tex]A \cap \emptyset[/tex] sein. Daraus folgt, dass die Menge leer sein muss.
Ist solche Begründung richtig oder muss man "mehr mathematisch" vorgehen?
Danke im Voraus.
Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 So 31.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo :),
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> Beweise [tex]A \cap \emptyset = \emptyset[/tex]
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> 4. [tex]x \in A \cap \emptyset \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in \emptyset \Leftrightarrow 0[/tex]
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> Die Aussage ist falsch, deshalb ist die Annahme [tex]x \in A \cap \emptyset[/tex]
> nicht korrekt, dadurch kann [tex]x[/tex] kein Element von [tex]A \cap \emptyset[/tex]
> sein. Daraus folgt, dass die Menge leer sein muss.
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> Ist solche Begründung richtig oder muss man "mehr
> mathematisch" vorgehen?
was soll dieses [mm] $\Leftrightarrow [/mm] 0$ am Ende? Na, Deine Logik ist schon "irgendwie"
richtig, und das ist auch (mehr oder weniger) mathematisch vorgegangen -
allerdings 'schlampig': Denn es ist unklar, wann Du hier einen Widerspruchs-
beweis machst, und was der Widerspruch ist. Es ist halt fast
unüberblickbar. Tipp: Spare lieber weniger an Worten denn an Symbolen!
Machen wir es mal "ordentlich": Um $A [mm] \cap \emptyset=\emptyset$ [/mm] zu
beweisen, haben wir zwei Sachen zu beweisen:
1. $(A [mm] \cap \emptyset) \subseteq \emptyset\,,$
[/mm]
und
2. $(A [mm] \cap \emptyset) \supseteq \emptyset\,.$
[/mm]
Da die leere Menge Teilmenge einer jeden Menge ist, ist 2. klar. (Wenn Du
willst, kannst Du auch bei 2. etwa einen Widerspruchsbeweis führen:
"Angenommen, es wäre [mm] $\emptyset \not\subseteq [/mm] (A [mm] \cap \emptyset)\,.$ [/mm] Dann gibt es ein $x [mm] \in \emptyset$ [/mm] mit $x [mm] \notin [/mm] (A [mm] \cap \emptyset)\,.$ [/mm] Aus
$x [mm] \in \emptyset$ [/mm] folgt aber dann schon der Widerspruch...")
Es bleibt also, 1. zu beweisen: Zu zeigen ist also $(A [mm] \cap \emptyset) \subseteq \emptyset\,.$ [/mm]
Da man generell zeigen kann: $(M [mm] \cap [/mm] N) [mm] \subseteq [/mm] N$ (bzw. auch $(M [mm] \cap [/mm] N) [mm] \subseteq [/mm] M$),
sogar allgemeiner, mal in Worten gesagt: "Der Schnitt über (beliebig viele)
Mengen ist selbst Teilmenge einer jeden der beteiligten Mengen!"
was Du dann auch tun solltest, falls ihr es nicht bewiesen habt, ist aber
auch 1. klar (nachdem Du den kleinen letzten Hinweis bewiesen hast,
folgt daraus ja die Behauptung mit [mm] $M:=A\,$ [/mm] und [mm] $N:=\emptyset$).
[/mm]
Dies beendet schon den Beweis! [mm] $\hfill \blacksquare$
[/mm]
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Nochmal zurück zu Deinem Beweis, wie man den retten könnte:
Zu zeigen ist $A [mm] \cap \emptyset=\emptyset\,.$
[/mm]
Wir führen einen Widerspruchsbeweis: Angenommen, es wäre $A [mm] \cap \emptyset \not= \emptyset\,.$ [/mm]
Dann sind zwei Fälle denkbar:
1. Fall: Es gilt [mm] $\emptyset \not\subseteq [/mm] (A [mm] \cap \emptyset)\,.$
[/mm]
oder
2. Fall: Es gilt $(A [mm] \cap \emptyset) \not \subseteq \emptyset\,.$
[/mm]
Zeige nun, dass keiner der Fälle eintreten kann, weil sich in jedem ein
Widerspruch ergibt. Dann muss die Annahme
$$A [mm] \cap \emptyset \not= \emptyset$$
[/mm]
verworfen werden, und es bleibt nur möglich, dass ... was gilt?
Du siehst: Der Beweis wird aber im Wesentlichen gleich ablaufen.
P.S. Fahr' mal über meine Formeln, damit Du nicht ständig Deine mit dem
"tex-Symbol" einklammerst. Du kannst eine Formel zwischen einem
Dollarsymbol einklammern:
[mm] $a^2+b^2=c^2$
[/mm]
oder auch mit den Doppel-m's:
[mm]a^2+b^2=c^2[/mm]
siehe auch hier (klick!). (Ich glaub', dass
ich das letztere mit dem Doppel-m's gemacht habe, siehst Du erst, wenn Du
auf den Quelltext klickst. Dann sieht das so aus:
[mm]a^2+b^2=c^2[/mm].)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:28 So 31.03.2013 | | Autor: | ne1 |
Danke, super erklärt und vor allem für den Dollar-Tipp :D.
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