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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 So 31.03.2013 | | Autor: | ne1 |
Hallo,
| Aufgabe | | Für die gegebene Aussageform [tex]\varphi(x) = x^2 -1 \le 0[/tex] beschreibe die Menge [tex]\{ x \in \mathbb{R}: \varphi (x) \}[/tex]. |
2. Meine Lösung [tex][-1,1][/tex]
In der Lösung [tex](-\infty, 0][/tex].
Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 So 31.03.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
>
Hallo
> Für die gegebene Aussageform [tex]\varphi(x) = x^2 -1 \le 0[/tex]
> beschreibe die Menge [tex]\{ x \in \mathbb{R}: \varphi (x) \}[/tex].
Wenn mit [tex]\{ x \in \mathbb{R}: \varphi (x) \}[/tex] die Menge aller x gemeint ist, für die [mm] x^{2}-1\le0 [/mm] ist, ist deine Antwort, dass x zwischen -1 und 1 liegen muss, korrekt.
>
>
>
> 2. Meine Lösung [tex][-1,1][/tex]
> In der Lösung [tex](-\infty, 0][/tex].
>
Die Lösung [tex](-\infty, 0][/tex] wäre z.B. die Wertemenge von f(x)=-x²
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 So 31.03.2013 | | Autor: | ne1 |
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 So 31.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
es wurde ja schon gesagt, dass Deine Antwort richtig ist!
> Hallo,
>
> Für die gegebene Aussageform [tex]\varphi(x) = x^2 -1 \le 0[/tex]
> beschreibe die Menge [tex]\{ x \in \mathbb{R}: \varphi (x) \}[/tex].
>
>
>
> 2. Meine Lösung [tex][-1,1][/tex]
> In der Lösung [tex](-\infty, 0][/tex].
Es gilt nämlich für $x [mm] \in \IR$:
[/mm]
[mm] $$x^2-1 \le [/mm] 0 [mm] \iff (x+1)\cdot [/mm] (x-1) [mm] \le 0\,.$$
[/mm]
Somit gibt es zwei Fälle:
1. Fall: $x+1 [mm] \ge [/mm] 0$ und $x -1 [mm] \le 0\,.$ [/mm] Hier folgt $-1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le 1\,,$ [/mm] also $x [mm] \in [/mm] [-1,1].$
Halten wir das mal fest als [mm] $\IL_{\text{1. Fall}}=[-1,1]\,.$
[/mm]
2. Fall: $x+1 [mm] \le [/mm] 0$ und $x -1 [mm] \ge [/mm] 0.$ Es gibt aber kein $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit $x [mm] \ge 1\,,$
[/mm]
dass $x [mm] \le [/mm] -1$ erfüllt. Also [mm] $\IL_{\text{2. Fall}}=\emptyset\,.$
[/mm]
Insgesamt ist also
[mm] $$\IL:=\{x \in \IR:\;\;\varphi(x)\}=\IL_{\text{1. Fall}}\cup \IL_{\text{2. Fall}}=[-1,1] \cup \emptyset=[-1,1]\,.$$
[/mm]
P.S. Alternativ: Für $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] gilt:
$$|x| [mm] \le [/mm] |y| [mm] \iff x^2 \le y^2\,.$$
[/mm]
(Beweis?)
Wegen
[mm] $$x^2-1 \le [/mm] 0$$
[mm] $$\iff x^2 \le [/mm] 1$$
[mm] $$\iff x^2 \le 1^2$$
[/mm]
[mm] $$\iff [/mm] |x| [mm] \le [/mm] |1|=1$$
folgt dann ebenfalls die Behauptung, wenn man noch etwa zeigt:
$$|x| [mm] \le \epsilon \iff [/mm] x [mm] \in [-\epsilon,\epsilon]$$
[/mm]
für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] (hier ginge auch [mm] $\epsilon \ge [/mm] 0$).
P.S. Bei Fallunterscheidungen müssen sich die Fälle nicht strikt ausschließen.
Wichtig ist eher, dass man alle Möglichkeiten erfasst!
Gruß,
Marcel
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