Mengenlehre 13 < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 So 31.03.2013 | | Autor: | ne1 |
Hallo :),
13. Ist zwar keine Aufgabe, aber ich verstehe nicht ganz wie man aus der Russellschen Antinomie folgern kann, dass es keine Mengen aller Mengen gibt.
A = [mm] \{x: x \notin x \} [/mm] die Menge führt zum Widerspruch A [mm] \in [/mm] A [mm] \Leftrightarrow [/mm] A [mm] \notin [/mm] A. Deshalb suchen wir uns Elemente aus einer vorher definierten Menge V aus A = [mm] \{x \in V: x \notin x \}. [/mm] Jetzt nehme ich an, dass V die Menge aller Mengen sei. Dann liegt A [mm] \in [/mm] V (weil V alle Mengen enthält). Dann muss ich aber noch zum Widerspruch A [mm] \notin [/mm] V kommen, aber wie mache ich dass? Ich kann wiederum fragen ob A in A liegt und komme wieder zum Widerspruch A [mm] \notin [/mm] A [mm] \Leftrightarrow [/mm] A [mm] \in [/mm] A, aber das heißt für mich noch nicht, dass A [mm] \notin [/mm] V.
Danke im Voraus.
Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 So 31.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ne1,
> 13. Ist zwar keine Aufgabe, aber ich verstehe nicht ganz
> wie man aus der Russellschen Antinomie folgern kann, dass
> es keine Mengen aller Mengen gibt.
(Zumindest, wenn man das Aussonderungsaxiom annimmt.)
> A = [mm]\{x: x \notin x \}[/mm] die Menge führt zum Widerspruch A
> [mm]\in[/mm] A [mm]\Leftrightarrow[/mm] A [mm]\notin[/mm] A. Deshalb suchen wir uns
> Elemente aus einer vorher definierten Menge V aus A = [mm]\{x \in V: x \notin x \}.[/mm]
> Jetzt nehme ich an, dass V die Menge aller Mengen sei. Dann
> liegt A [mm]\in[/mm] V (weil V alle Mengen enthält). Dann muss ich
> aber noch zum Widerspruch A [mm]\notin[/mm] V kommen, aber wie mache
> ich dass? Ich kann wiederum fragen ob A in A liegt und
> komme wieder zum Widerspruch A [mm]\notin[/mm] A [mm]\Leftrightarrow[/mm] A
> [mm]\in[/mm] A, aber das heißt für mich noch nicht, dass A [mm]\notin[/mm]
> V.
Warum möchtest du überhaupt [mm] $A\not\in [/mm] V$ haben? Du willst die Annahme der Existenz einer Menge $V$, die alle Mengen enthält, zum Widerspruch führen. Ob dieser Widerspruch nun [mm] $A\not\in [/mm] V$ oder anders lautet, ist völlig egal.
(Aus einer falschen Aussage (z.B. einem Widerspruch) lässt sich übrigens alles folgern. Insofern folgt aus [mm] $A\in A\gdw A\not\in [/mm] A$ auch [mm] $A\not\in [/mm] V$.)
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:15 Mo 01.04.2013 | | Autor: | ne1 |
Dann fange ich noch mal langsamer an. Ich will zeigen, dass es keine Menge aller Mengen gibt. Ich untersuche folgende Menge $ A = [mm] \{x: x \notin x\} [/mm] $. Jetzt überprüfe ich, ob $A [mm] \in [/mm] A$ und bekomme ein Widerspruch $ A [mm] \in [/mm] A [mm] \Leftrightarrow [/mm] A [mm] \notin [/mm] A $. Soweit alles klar. Wie kann ich jetzt daraus schlussfolgern, dass es keine Mengen aller Mengen gibt?
Meine Idee: Ich nehme an, es existiert eine Menge aller Mengen. Dann liegt logischer Weise auch A in dieser Menge. Dann kann ich mich fragen ob $A [mm] \in [/mm] A$, aber es führt zum obigen Widerspruch also es existiert keine Menge aller Mengen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:56 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dann fange ich noch mal langsamer an. Ich will zeigen, dass
> es keine Menge aller Mengen gibt. Ich untersuche folgende
> Menge [mm]A = \{x: x \notin x\} [/mm]. Jetzt überprüfe ich, ob [mm]A \in A[/mm]
> und bekomme ein Widerspruch [mm]A \in A \Leftrightarrow A \notin A [/mm].
> Soweit alles klar. Wie kann ich jetzt daraus
> schlussfolgern, dass es keine Mengen aller Mengen gibt?
>
> Meine Idee: Ich nehme an, es existiert eine Menge aller
> Mengen. Dann liegt logischer Weise auch A in dieser Menge.
> Dann kann ich mich fragen ob [mm]A \in A[/mm], aber es führt zum
> obigen Widerspruch also es existiert keine Menge aller
> Mengen.
was aber nicht heißt, dass dann zwingend $A [mm] \notin [/mm] $ "Menge aller Mengen" sein muss.
Ehrlich gesagt sehe ich auch nicht, was das hier mit der "Menge aller
Mengen" zu tun hat:
![[]](/images/popup.gif) Wiki: Russellsche Antinomie
Da steht doch nur, dass die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst
enthalten, nicht existieren kann.
Ich kenne das übrigens "besser" als "Der Barbier von Sevilla":
Wiki: Barbier-Paradoxon
Der gute Mann soll dort alle Leute rasieren, die sich nicht selbst rasieren.
Wenn er sich rasiert, dann rasiert er aber einen Mann, der sich nicht selbst
rasiert - also muss der gute Mann ihn rasieren. Er ist aber selber der gute
Mann ("gute Mann=Barbier").
Rasiert er sich nicht selber, so wird er wiederum vom guten Mann, also sich
selber rasiert. Das geht auch nicht.
Den guten Mann kann es also gar nicht geben - würde es ihn geben und
würde er drüber nachdenken, würde er quasi seine Existenz vernichten. 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Mo 01.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marcel,
> > Dann fange ich noch mal langsamer an. Ich will zeigen, dass
> > es keine Menge aller Mengen gibt. Ich untersuche folgende
> > Menge [mm]A = \{x: x \notin x\} [/mm]. Jetzt überprüfe ich, ob [mm]A \in A[/mm]
> > und bekomme ein Widerspruch [mm]A \in A \Leftrightarrow A \notin A [/mm].
> > Soweit alles klar. Wie kann ich jetzt daraus
> > schlussfolgern, dass es keine Mengen aller Mengen gibt?
> >
> > Meine Idee: Ich nehme an, es existiert eine Menge aller
> > Mengen. Dann liegt logischer Weise auch A in dieser Menge.
> > Dann kann ich mich fragen ob [mm]A \in A[/mm], aber es führt zum
> > obigen Widerspruch also es existiert keine Menge aller
> > Mengen.
>
> was aber nicht heißt, dass dann zwingend [mm]A \notin[/mm] "Menge
> aller Mengen" sein muss.
Da A keine Menge sein kann, gilt sehr wohl zwingend [mm] $A\notin$"Gesamtheit [/mm] aller Mengen".
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Tobi,
> Hallo Marcel,
>
>
> > > Dann fange ich noch mal langsamer an. Ich will zeigen, dass
> > > es keine Menge aller Mengen gibt. Ich untersuche folgende
> > > Menge [mm]A = \{x: x \notin x\} [/mm]. Jetzt überprüfe ich, ob [mm]A \in A[/mm]
> > > und bekomme ein Widerspruch [mm]A \in A \Leftrightarrow A \notin A [/mm].
> > > Soweit alles klar. Wie kann ich jetzt daraus
> > > schlussfolgern, dass es keine Mengen aller Mengen gibt?
> > >
> > > Meine Idee: Ich nehme an, es existiert eine Menge aller
> > > Mengen. Dann liegt logischer Weise auch A in dieser Menge.
> > > Dann kann ich mich fragen ob [mm]A \in A[/mm], aber es führt zum
> > > obigen Widerspruch also es existiert keine Menge aller
> > > Mengen.
> >
> > was aber nicht heißt, dass dann zwingend [mm]A \notin[/mm] "Menge
> > aller Mengen" sein muss.
> Da A keine Menge sein kann, gilt sehr wohl zwingend
> [mm]A\notin[/mm]"Gesamtheit aller Mengen".
damit hast Du natürlich Recht - soweit hatte ich heute Nacht nicht gedacht!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:19 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dann fange ich noch mal langsamer an. Ich will zeigen, dass
> es keine Menge aller Mengen gibt. Ich untersuche folgende
> Menge [mm]A = \{x: x \notin x\} [/mm]. Jetzt überprüfe ich, ob [mm]A \in A[/mm]
> und bekomme ein Widerspruch [mm]A \in A \Leftrightarrow A \notin A [/mm].
> Soweit alles klar. Wie kann ich jetzt daraus
> schlussfolgern, dass es keine Mengen aller Mengen gibt?
>
> Meine Idee: Ich nehme an, es existiert eine Menge aller
> Mengen. Dann liegt logischer Weise auch A in dieser Menge.
> Dann kann ich mich fragen ob [mm]A \in A[/mm], aber es führt zum
> obigen Widerspruch also es existiert keine Menge aller
> Mengen.
ich hab' jetzt mal gerade drüber nachgedacht: Nehmen wir an, es gäbe eine
"universelle" Menge $U:=$"Menge aller Mengen".
Per Definitionem ist sicher [mm] $U\,$ [/mm] eine Menge und damit gilt $M [mm] \in U\,$ [/mm] für alle Mengen [mm] $M\,.$ [/mm]
Nun definieren wir:
[mm] $$A:=\{x \in U:\;\; x \notin x\}\,.$$
[/mm]
Dann ist $A [mm] \subseteq [/mm] U$ eine Menge - es ist ja eine Teilmenge von [mm] $U\,.$
[/mm]
Also muss $A [mm] \in [/mm] U$ gelten, da [mm] $U\,$ [/mm] ja die universelle Menge (="Menge aller
Mengen") war. Ist nun aber $T [mm] \subseteq [/mm] U$ eine Teilmenge von [mm] $U\,,$ [/mm] so
gibt es für jedes $u [mm] \in [/mm] U$ nur genau zwei Möglichkeiten:
Entweder ...
1.Fall: ... es ist $u [mm] \in [/mm] T$
oder
2.Fall: ... es ist $u [mm] \notin T\,.$ [/mm] (Was man als Kurznotation für $u [mm] \in [/mm] U [mm] \setminus [/mm] T$ sehen sollte!)
Wir wissen nun aber: Es gilt sowohl $A [mm] \subseteq [/mm] U$ per Definitionem von [mm] $A\,$
[/mm]
als auch $A [mm] \in [/mm] U$ per Definitionem von [mm] $U\,.$
[/mm]
Damit können bzgl. der Teilmenge $T:=A [mm] \subseteq [/mm] U$ und dem Element
$u:=A [mm] \in [/mm] U$ nur genau zwei Fälle eintreten:
Entweder ...
1.Fall: ... es ist $A=u [mm] \in [/mm] T=A$
oder
2.Fall: ... es ist $A=u [mm] \notin T=A\,.$
[/mm]
Wegen $A [mm] \in [/mm] A [mm] \iff [/mm] A [mm] \notin [/mm] A$ führt dies in jedem der beiden Fälle zu einem
Widerspruch und damit insgesamt zum Widerspruch der Existenz einer
universellen Menge (="Menge aller Mengen") [mm] $U\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Mo 01.04.2013 | | Autor: | ne1 |
> ich hab' jetzt mal gerade drüber nachgedacht: Nehmen wir
> an, es gäbe eine
> "universelle" Menge [mm]U:=[/mm]"Menge aller Mengen".
>
> Per Definitionem ist sicher [mm]U\,[/mm] eine Menge und damit gilt [mm]M \in U\,[/mm]
> für alle Mengen [mm]M\,.[/mm]
> Nun definieren wir:
> [mm]A:=\{x \in U:\;\; x \notin x\}\,.[/mm]
>
> Dann ist [mm]A \subseteq U[/mm] eine Menge - es ist ja eine
> Teilmenge von [mm]U\,.[/mm]
> Also muss [mm]A \in U[/mm] gelten, da [mm]U\,[/mm] ja die universelle Menge
> (="Menge aller
> Mengen") war. Ist nun aber [mm]T \subseteq U[/mm] eine Teilmenge
> von [mm]U\,,[/mm] so
> gibt es für jedes [mm]u \in U[/mm] nur genau zwei Möglichkeiten:
>
> Entweder ...
>
> 1.Fall: ... es ist [mm]u \in T[/mm]
>
> oder
>
> 2.Fall: ... es ist [mm]u \notin T\,.[/mm] (Was man als Kurznotation
> für [mm]u \in U \setminus T[/mm] sehen sollte!)
>
> Wir wissen nun aber: Es gilt sowohl [mm]A \subseteq U[/mm] per
> Definitionem von [mm]A\,[/mm]
> als auch [mm]A \in U[/mm] per Definitionem von [mm]U\,.[/mm]
>
> Damit können bzgl. der Teilmenge [mm]T:=A \subseteq U[/mm] und dem
> Element
> [mm]u:=A \in U[/mm] nur genau zwei Fälle eintreten:
>
> Entweder ...
>
> 1.Fall: ... es ist [mm]A=u \in T=A[/mm]
>
> oder
>
> 2.Fall: ... es ist [mm]A=u \notin T=A\,.[/mm]
>
> Wegen [mm]A \in A \iff A \notin A[/mm] führt dies in jedem der
> beiden Fälle zu einem
> Widerspruch und damit insgesamt zum Widerspruch der
> Existenz einer
> universellen Menge (="Menge aller Mengen") [mm]U\,.[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
Du hast aber zum Schluss wieder gefragt ob A dein Element von A ist und dazu gekommen, dass $A [mm] \in [/mm] A [mm] \Leftrightarrow [/mm] A [mm] \notin [/mm] A$.
Nehmen wir an, es gäbe eine "universelle" Menge [mm]U:=[/mm]"Menge aller Mengen". Nun definieren wir:$ [mm] A:=\{x \in U:\;\; x \notin x\}\.$ [/mm] Und ich frage jetzt sofort ob $A$ in $A$ liegt. Ich weiß, dass $A [mm] \in [/mm] U$ (da $U$ Menge aller Mengen). Jetzt bekomme ich wieder denselben Widerspruch $A [mm] \in [/mm] A [mm] \Leftrightarrow [/mm] A [mm] \notin [/mm] A$. Mein Widerspruch ist doch durch die Annahme entstanden, dass $U$ die Menge aller Mengen sei. Also kann es keine Menge aller Mengen geben. Als Beispiel nehme ich noch die Menge $B = [mm] \{1\}$. [/mm] $A = [mm] \{x \in B : x \notin x \}$. [/mm] $1 [mm] \notin [/mm] 1$, da $1$ eine feste Zahl ist also $A = [mm] \{1\}$. [/mm] Ich kann also nicht sagen, dass eine Menge der Form $A = [mm] \{x \in V: x \notin x\}$ [/mm] nicht existiert, sondern dass die Annahme "es gibt eine Menge aller Mengen" mich zum Widerspruch geführt hat.
tobit09, ist meine Überlegung jetzt richtig? Den Aussonderungsaxiom kenne ich nicht und ich würde es am liebsten mit den Mitteln machen die ich kenne :D.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Mo 01.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Nehmen wir an, es gäbe eine "universelle" Menge [mm]U:=[/mm]"Menge
> aller Mengen". Nun definieren wir:[mm] A:=\{x \in U:\;\; x \notin x\}\.[/mm]
> Und ich frage jetzt sofort ob [mm]A[/mm] in [mm]A[/mm] liegt. Ich weiß, dass
> [mm]A \in U[/mm] (da [mm]U[/mm] Menge aller Mengen). Jetzt bekomme ich wieder
> denselben Widerspruch [mm]A \in A \Leftrightarrow A \notin A[/mm].
> Mein Widerspruch ist doch durch die Annahme entstanden,
> dass [mm]U[/mm] die Menge aller Mengen sei. Also kann es keine Menge
> aller Mengen geben.
Genau. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> tobit09, ist meine Überlegung jetzt richtig? Den
> Aussonderungsaxiom kenne ich nicht und ich würde es am
> liebsten mit den Mitteln machen die ich kenne :D.
Ja, deine Überlegung ist korrekt. Wahrscheinlich will der Aufgabensteller es genau so haben.
Du hast dabei benutzt, dass [mm] $A=\{x\in U\;|\;x\not\in x\}$ [/mm] eine Menge ist. Genau, dass man durch derartige Schreibweisen wieder Mengen erhält, ist eine Annahme, die eingeht. Es wäre ja theoretisch denkbar, dass zwar eine Menge aller Mengen existiert, aber halt obiges A keine Menge ist. Dann würde unser Beweis nicht funktionieren.
In der Mathematik trifft man allerdings heutzutage die Annahme, dass Mengenbildungen wie für obiges A möglich sind. Wer axiomatische Mengenlehre betreibt, nennt diese Annahme halt Aussonderungsaxiom.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > ich hab' jetzt mal gerade drüber nachgedacht: Nehmen wir
> > an, es gäbe eine
> > "universelle" Menge [mm]U:=[/mm]"Menge aller Mengen".
> >
> > Per Definitionem ist sicher [mm]U\,[/mm] eine Menge und damit gilt [mm]M \in U\,[/mm]
> > für alle Mengen [mm]M\,.[/mm]
> > Nun definieren wir:
> > [mm]A:=\{x \in U:\;\; x \notin x\}\,.[/mm]
> >
> > Dann ist [mm]A \subseteq U[/mm] eine Menge - es ist ja eine
> > Teilmenge von [mm]U\,.[/mm]
> > Also muss [mm]A \in U[/mm] gelten, da [mm]U\,[/mm] ja die universelle
> Menge
> > (="Menge aller
> > Mengen") war. Ist nun aber [mm]T \subseteq U[/mm] eine Teilmenge
> > von [mm]U\,,[/mm] so
> > gibt es für jedes [mm]u \in U[/mm] nur genau zwei
> Möglichkeiten:
> >
> > Entweder ...
> >
> > 1.Fall: ... es ist [mm]u \in T[/mm]
> >
> > oder
> >
> > 2.Fall: ... es ist [mm]u \notin T\,.[/mm] (Was man als Kurznotation
> > für [mm]u \in U \setminus T[/mm] sehen sollte!)
> >
> > Wir wissen nun aber: Es gilt sowohl [mm]A \subseteq U[/mm] per
> > Definitionem von [mm]A\,[/mm]
> > als auch [mm]A \in U[/mm] per Definitionem von [mm]U\,.[/mm]
> >
> > Damit können bzgl. der Teilmenge [mm]T:=A \subseteq U[/mm] und dem
> > Element
> > [mm]u:=A \in U[/mm] nur genau zwei Fälle eintreten:
> >
> > Entweder ...
> >
> > 1.Fall: ... es ist [mm]A=u \in T=A[/mm]
> >
> > oder
> >
> > 2.Fall: ... es ist [mm]A=u \notin T=A\,.[/mm]
> >
> > Wegen [mm]A \in A \iff A \notin A[/mm] führt dies in jedem der
> > beiden Fälle zu einem
> > Widerspruch und damit insgesamt zum Widerspruch der
> > Existenz einer
> > universellen Menge (="Menge aller Mengen") [mm]U\,.[/mm]
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Du hast aber zum Schluss wieder gefragt ob A dein Element
> von A ist und dazu gekommen, dass [mm]A \in A \Leftrightarrow A \notin A[/mm].
ich versteh' jetzt Deine Frage nicht: Weil $A [mm] \in [/mm] U$ ein Element aus [mm] $U\,$ [/mm] ist,
können wir für jede Teilmenge [mm] $T\,$ [/mm] von [mm] $U\,$ [/mm] natürlich prüfen, ob $A [mm] \in [/mm] T$
oder eben $A [mm] \in [/mm] U [mm] \setminus [/mm] T$ gilt. Das das möglich ist, ist doch klar!
Nun ist aber [mm] $A\,$ [/mm] zudem auch selbst TEILMENGE von [mm] $U\,.$ [/mm] Also MUSS einer
der beiden Fälle: $A [mm] \in [/mm] A$ oder $A [mm] \in [/mm] U [mm] \setminus [/mm] A$ gelten!
Da aber weder $A [mm] \in [/mm] T:=A [mm] \subseteq [/mm] U$ noch $A [mm] \in [/mm] U [mm] \setminus [/mm] T=U [mm] \setminus [/mm] A$ möglich
ist, kann es solch' ein [mm] $U\,,$ [/mm] wie angenommen, nicht geben.
Wolltest Du das jetzt nochmal so zusammenfassen? Denn genau das habe
ich doch geschrieben.
Ich schreibe es jetzt nochmal:
Ist [mm] $U\,$ [/mm] jetzt erstmal IRGENDEINE Menge, und ist $T [mm] \subseteq [/mm] U$ IRGENDEINE
Teilmenge von [mm] $U\,,$ [/mm] so gilt:
Für jedes $u [mm] \in [/mm] U$ muss genau einer der Fälle:
Entweder es ist $u [mm] \in T\,,$ [/mm] oder es ist $u [mm] \in [/mm] U [mm] \setminus [/mm] T$
wahr sein! (Mach' Dir das mal an einem Venn-Diagramm klar - und hier geht
es nur um irgendwelche Mengen; also nicht notwendig die aus obigem
Beweis, sondern das hier gilt allgemein(er).)
In obigem Schema:
[mm] $U\,$ [/mm] war angenommen als die Menge aller Mengen. Die Menge [mm] $A:=\{x \in U: x \notin x\}$ [/mm]
ist eine Menge, also $A [mm] \in U\,.$ [/mm] Wir wissen also für jede Teilmenge $T [mm] \subseteq [/mm] U$:
Entweder gilt $A [mm] \in T\,,$ [/mm] oder es gilt $A [mm] \in [/mm] U [mm] \setminus T\,.$
[/mm]
Nun ist aber per Definitionem [mm] $\blue{A} \subseteq [/mm] U$ auch eine TEILMENGE von [mm] $U\,.$
[/mm]
Damit gilt für das Element [mm] $\red{A} \in U\,,$ [/mm] dass entweder [mm] $\red{A} \in \blue{A}$ [/mm] ist,
oder dass eben [mm] $\red{A} \in [/mm] U [mm] \setminus \blue{A}$ [/mm] ist. Beide Fälle sind aber leider unmöglich,
also kann [mm] $U\,$ [/mm] nicht die Menge aller Menge sein. (Vielleicht noch nicht mal
eine Menge...)
Übrigens: Ich habe nicht [mm] $A:=\{x: x \notin x\}\,,$ [/mm] sondern extra [mm] $A:=\{x \red{\;\in U}: x \notin x\}$
[/mm]
definiert: Daraus ergibt sich dann nämlich $A [mm] \subseteq [/mm] U$ (unter der
Annahme, dass [mm] $U\,$ [/mm] wenigstens schonmal eine Menge ist).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Mo 01.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> ich hab' jetzt mal gerade drüber nachgedacht: Nehmen wir
> an, es gäbe eine
> "universelle" Menge [mm]U:=[/mm]"Menge aller Mengen".
>
> Per Definitionem ist sicher [mm]U\,[/mm] eine Menge und damit gilt [mm]M \in U\,[/mm]
> für alle Mengen [mm]M\,.[/mm]
(Per Definitionem gilt [mm] $M\in [/mm] U$ für alle Mengen $M$ und nach Annahme ist $U$ eine Menge.)
> Nun definieren wir:
> [mm]A:=\{x \in U:\;\; x \notin x\}\,.[/mm]
>
> Dann ist [mm]A \subseteq U[/mm] eine Menge - es ist ja eine
> Teilmenge von [mm]U\,.[/mm]
Es ist klar, dass $A$ eine Teilmenge von $U$ ist, falls $A$ denn eine Menge ist. Aber woher wissen wir eigentlich, dass $A$ eine Menge ist? Das ist eine Annahme an die Welt der Mengen, wie man sie mithilfe des Aussonderungsaxioms formulieren kann. Ohne Axiome wäre schon eine Menge aller Mengen denkbar. Nur halt keine Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten.
> Also muss [mm]A \in U[/mm] gelten, da [mm]U\,[/mm] ja die universelle Menge
> (="Menge aller
> Mengen") war.
> Ist nun aber [mm]T \subseteq U[/mm] eine Teilmenge
> von [mm]U\,,[/mm] so
> gibt es für jedes [mm]u \in U[/mm] nur genau zwei Möglichkeiten:
>
> Entweder ...
>
> 1.Fall: ... es ist [mm]u \in T[/mm]
>
> oder
>
> 2.Fall: ... es ist [mm]u \notin T\,.[/mm] (Was man als Kurznotation
> für [mm]u \in U \setminus T[/mm] sehen sollte!)
>
> Wir wissen nun aber: Es gilt sowohl [mm]A \subseteq U[/mm] per
> Definitionem von [mm]A\,[/mm]
> als auch [mm]A \in U[/mm] per Definitionem von [mm]U\,.[/mm]
>
> Damit können bzgl. der Teilmenge [mm]T:=A \subseteq U[/mm] und dem
> Element
> [mm]u:=A \in U[/mm] nur genau zwei Fälle eintreten:
>
> Entweder ...
>
> 1.Fall: ... es ist [mm]A=u \in T=A[/mm]
>
> oder
>
> 2.Fall: ... es ist [mm]A=u \notin T=A\,.[/mm]
Das ist aber eine lange Begründung für die einfache Tatsache [mm] $A\in [/mm] A$ oder [mm] $A\not\in [/mm] A$...
> Wegen [mm]A \in A \iff A \notin A[/mm] führt dies in jedem der
> beiden Fälle zu einem
> Widerspruch und damit insgesamt zum Widerspruch der
> Existenz einer
> universellen Menge (="Menge aller Mengen") [mm]U\,.[/mm]
Genau.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:49 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Tobi,
> > ich hab' jetzt mal gerade drüber nachgedacht: Nehmen wir
> > an, es gäbe eine
> > "universelle" Menge [mm]U:=[/mm]"Menge aller Mengen".
> >
> > Per Definitionem ist sicher [mm]U\,[/mm] eine Menge und damit gilt [mm]M \in U\,[/mm]
> > für alle Mengen [mm]M\,.[/mm]
> (Per Definitionem gilt [mm]M\in U[/mm] für alle Mengen [mm]M[/mm] und nach
> Annahme ist [mm]U[/mm] eine Menge.)
> > Nun definieren wir:
> > [mm]A:=\{x \in U:\;\; x \notin x\}\,.[/mm]
> >
> > Dann ist [mm]A \subseteq U[/mm] eine Menge - es ist ja eine
> > Teilmenge von [mm]U\,.[/mm]
> Es ist klar, dass [mm]A[/mm] eine Teilmenge von [mm]U[/mm] ist, falls [mm]A[/mm] denn
> eine Menge ist. Aber woher wissen wir eigentlich, dass [mm]A[/mm]
> eine Menge ist? Das ist eine Annahme an die Welt der
> Mengen, wie man sie mithilfe des Aussonderungsaxioms
> formulieren kann. Ohne Axiome wäre schon eine Menge aller
> Mengen denkbar. Nur halt keine Menge aller Mengen, die sich
> nicht selbst enthalten.
>
>
> > Also muss [mm]A \in U[/mm] gelten, da [mm]U\,[/mm] ja die universelle Menge
> > (="Menge aller
> > Mengen") war.
>
>
> > Ist nun aber [mm]T \subseteq U[/mm] eine Teilmenge
> > von [mm]U\,,[/mm] so
> > gibt es für jedes [mm]u \in U[/mm] nur genau zwei
> Möglichkeiten:
> >
> > Entweder ...
> >
> > 1.Fall: ... es ist [mm]u \in T[/mm]
> >
> > oder
> >
> > 2.Fall: ... es ist [mm]u \notin T\,.[/mm] (Was man als Kurznotation
> > für [mm]u \in U \setminus T[/mm] sehen sollte!)
> >
> > Wir wissen nun aber: Es gilt sowohl [mm]A \subseteq U[/mm] per
> > Definitionem von [mm]A\,[/mm]
> > als auch [mm]A \in U[/mm] per Definitionem von [mm]U\,.[/mm]
> >
> > Damit können bzgl. der Teilmenge [mm]T:=A \subseteq U[/mm] und dem
> > Element
> > [mm]u:=A \in U[/mm] nur genau zwei Fälle eintreten:
> >
> > Entweder ...
> >
> > 1.Fall: ... es ist [mm]A=u \in T=A[/mm]
> >
> > oder
> >
> > 2.Fall: ... es ist [mm]A=u \notin T=A\,.[/mm]
> Das ist aber eine
> lange Begründung für die einfache Tatsache [mm]A\in A[/mm] oder
> [mm]A\not\in A[/mm]...
eigentlich schon. Denn entweder ist eine Aussage eben wahr, oder sie ist
falsch (wir bleiben in der zweiwertigen Logik). Wobei ich ja - um Deiner
Aussage gerecht(er) zu werden, besser erstmal sagen müßte: Die Aussage
"Eine Aussage ist wahr oder falsch!" ist immer wahr - denn 'oder' ist ja
ein "und-einschließendes" 'oder'.
Mir geht's aber hierbei eher um folgendes: Wenn ich eine Menge [mm] $U\,$ [/mm] habe
und es ist $T [mm] \subseteq [/mm] U$ eine Teilmenge von [mm] $U\,,$ [/mm] dann kann ich gar
nicht für jedes Element [mm] $x\,$ [/mm] sagen, dass aus $x [mm] \notin [/mm] U$ halt $x [mm] \in [/mm] U [mm] \setminus [/mm] T$
folgt. Vielleicht habe ich gerade ein Element $x [mm] \notin [/mm] U$ hergenommen.
(Beispiel: Sei [mm] $U\,$ [/mm] die Menge aller Äpfel, und [mm] $T\,$ [/mm] die Menge aller faulen
Äpfel. Dann gilt sicher $T [mm] \subseteq U\,.$ [/mm] Wenn ich nun weiß, dass eine
Birne kein fauler Apfel ist, folgt daraus aber nicht, dass diese Birne ein
nichtfauler Apfel ist. Birnen sind halt keine Äpfel, insbesondere auch keine
faulen Äpfel.)
Die "Komplemente" einer Menge beziehen sich auf eine gemeinsame
Grundmenge.
Aber Du hast Recht: Eigentlich braucht man das so, wie ich es im Beweis
nun aufgeschrieben habe, nicht. Auch nicht in der Ausführlichkeit. Was aber
nichts dran ändert, dass es nicht falsch ist. Mehr will ich nicht!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:49 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
übrigens auch hier mal eine Alternative:
Wie hier (klick!) gesehen gibt es ja keine Surjektion einer Menge
in ihre Potenzmenge.
Angenommen, es wäre [mm] $U\,$ [/mm] die Menge aller Mengen. Dann ist doch sicher
jedes Element von [mm] $P(U)\,$ [/mm] wieder eine Menge, und damit ist jedes
Element aus [mm] $P(U)\,$ [/mm] ein Element von [mm] $U\,,$ [/mm] d.h. $P(U) [mm] \subseteq U\,.$
[/mm]
Für $A [mm] \subseteq [/mm] B$ kann man aber leicht eine injektive Abbildung $A [mm] \to [/mm] B$
angeben: Betrachte [mm] $\text{id}_A \colon [/mm] A [mm] \to [/mm] A$ mit [mm] $\tex{id}_A(x):=x$ [/mm] für alle
$x [mm] \in A\,.$ [/mm] (Beachte auch [mm] $\text{id}_A(x)=x \in [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] B$ nach der
Voraussetzung $A [mm] \subseteq [/mm] B.$) Nun setze $I [mm] \colon [/mm] A [mm] \to [/mm] B$ einfach fest
durch [mm] $I(x):=\text{id}_A(x)\,,$ [/mm] was für alle $x [mm] \in [/mm] A$ wegen $A [mm] \subseteq [/mm] B$ geht. Dann
hat [mm] $I\,$ [/mm] die gewünschte Eigenschaft - es ist eine Injektion $A [mm] \to B\,,$ [/mm] und,
wie schon angedeutet, beachte die Wohldefiniertheit (was eigentlich kein
Problem ist, da wir "bei [mm] $I\,$ [/mm] nur den Zielbereich von [mm] $\text{id}_A$ [/mm] 'erweitert/vergrößert'
haben").
Oben folgt aus $P(U) [mm] \subseteq [/mm] U$ also - mit [mm] $A:=P(U)\,$ [/mm] und [mm] $B:=U\,$ [/mm] -
die Existenz einer injektiven Abbildung $P(U) [mm] \to U\,.$
[/mm]
Und da nun eine injektive Abbildung $X [mm] \to [/mm] Y$ genau dann existiert, wenn
es eine surjektive Abbildung $Y [mm] \to [/mm] X$ gibt (Beweis?), folgt aus der Existenz einer
injektiven Abbildung $P(U) [mm] \to U\,$ [/mm] dann der Widerspruch, dass es doch
eine surjektive Abbildung $U [mm] \to P(U)\,$ [/mm] gäbe. Dies zeigt, dass die Annahme
der Existenz einer "universellen Menge aller Mengen" [mm] $U\,$ [/mm] zu verwerfen ist!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:54 Mo 01.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> übrigens auch hier mal eine Alternative:
>
> Wie hier (klick!)
> gesehen gibt es ja keine Surjektion einer Menge
> in ihre Potenzmenge.
>
> Angenommen, es wäre [mm]U\,[/mm] die Menge aller Mengen. Dann ist
> doch sicher
> jedes Element von [mm]P(U)\,[/mm] wieder eine Menge, und damit ist
> jedes
> Element aus [mm]P(U)\,[/mm] ein Element von [mm]U\,,[/mm] d.h. [mm]P(U) \subseteq U\,.[/mm]
>
> Für [mm]A \subseteq B[/mm] kann man aber leicht eine injektive
> Abbildung [mm]A \to B[/mm]
> angeben: Betrachte [mm]\text{id}_A \colon A \to A[/mm]
> mit [mm]\tex{id}_A(x):=x[/mm] für alle
> [mm]x \in A\,.[/mm] (Beachte auch [mm]\text{id}_A(x)=x \in A \subseteq B[/mm]
> nach der
> Voraussetzung [mm]A \subseteq B.[/mm]) Nun setze [mm]I \colon A \to B[/mm]
> einfach fest
> durch [mm]I(x):=\text{id}_A(x)\,,[/mm] was für alle [mm]x \in A[/mm] wegen
> [mm]A \subseteq B[/mm] geht. Dann
> hat [mm]I\,[/mm] die gewünschte Eigenschaft - es ist eine
> Injektion [mm]A \to B\,,[/mm] und,
> wie schon angedeutet, beachte die Wohldefiniertheit (was
> eigentlich kein
> Problem ist, da wir "bei [mm]I\,[/mm] nur den Zielbereich von
> [mm]\text{id}_A[/mm] 'erweitert/vergrößert'
> haben").
>
> Oben folgt aus [mm]P(U) \subseteq U[/mm] also - mit [mm]A:=P(U)\,[/mm] und
> [mm]B:=U\,[/mm] -
> die Existenz einer injektiven Abbildung [mm]P(U) \to U\,.[/mm]
>
> Und da nun eine injektive Abbildung [mm]X \to Y[/mm] genau dann
> existiert, wenn
> es eine surjektive Abbildung [mm]Y \to X[/mm] gibt (Beweis?),
Das gilt nur für [mm] $X\not=\emptyset$; [/mm] aber das ist ja für $X=P(U)$ wegen [mm] $U\in [/mm] X$ der Fall.
> folgt
> aus der Existenz einer
> injektiven Abbildung [mm]P(U) \to U\,[/mm] dann der Widerspruch,
> dass es doch
> eine surjektive Abbildung [mm]U \to P(U)\,[/mm] gäbe. Dies zeigt,
> dass die Annahme
> der Existenz einer "universellen Menge aller Mengen" [mm]U\,[/mm]
> zu verwerfen ist!
Völlig richtig.
Zum Beweis, dass es keine surjektive Abbildung [mm] $U\to [/mm] P(U)$ gibt, haben wir allerdings wieder das Aussonderungsaxiom benötigt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Tobi,
> > übrigens auch hier mal eine Alternative:
> >
> > Wie hier (klick!)
> > gesehen gibt es ja keine Surjektion einer Menge
> > in ihre Potenzmenge.
> >
> > Angenommen, es wäre [mm]U\,[/mm] die Menge aller Mengen. Dann ist
> > doch sicher
> > jedes Element von [mm]P(U)\,[/mm] wieder eine Menge, und damit
> ist
> > jedes
> > Element aus [mm]P(U)\,[/mm] ein Element von [mm]U\,,[/mm] d.h. [mm]P(U) \subseteq U\,.[/mm]
>
> >
> > Für [mm]A \subseteq B[/mm] kann man aber leicht eine injektive
> > Abbildung [mm]A \to B[/mm]
> > angeben: Betrachte [mm]\text{id}_A \colon A \to A[/mm]
> > mit [mm]\tex{id}_A(x):=x[/mm] für alle
> > [mm]x \in A\,.[/mm] (Beachte auch [mm]\text{id}_A(x)=x \in A \subseteq B[/mm]
> > nach der
> > Voraussetzung [mm]A \subseteq B.[/mm]) Nun setze [mm]I \colon A \to B[/mm]
> > einfach fest
> > durch [mm]I(x):=\text{id}_A(x)\,,[/mm] was für alle [mm]x \in A[/mm]
> wegen
> > [mm]A \subseteq B[/mm] geht. Dann
> > hat [mm]I\,[/mm] die gewünschte Eigenschaft - es ist eine
> > Injektion [mm]A \to B\,,[/mm] und,
> > wie schon angedeutet, beachte die Wohldefiniertheit
> (was
> > eigentlich kein
> > Problem ist, da wir "bei [mm]I\,[/mm] nur den Zielbereich von
> > [mm]\text{id}_A[/mm] 'erweitert/vergrößert'
> > haben").
> >
> > Oben folgt aus [mm]P(U) \subseteq U[/mm] also - mit [mm]A:=P(U)\,[/mm] und
> > [mm]B:=U\,[/mm] -
> > die Existenz einer injektiven Abbildung [mm]P(U) \to U\,.[/mm]
> >
> > Und da nun eine injektive Abbildung [mm]X \to Y[/mm] genau dann
> > existiert, wenn
> > es eine surjektive Abbildung [mm]Y \to X[/mm] gibt (Beweis?),
> Das gilt nur für [mm]X\not=\emptyset[/mm]; aber das ist ja für
> [mm]X=P(U)[/mm] wegen [mm]U\in X[/mm] der Fall.
wieso? Jede Funktion $f [mm] \colon \emptyset \to [/mm] Y$ ist injektiv, denn es gibt nichts
zu prüfen. Weiter ist jede Funktion $g [mm] \colon [/mm] Y [mm] \to \emptyset$ [/mm] surjektiv, da auch
hier nichts zu prüfen ist. Vielleicht schläft mein Gehirn aber gerade auch
noch ein wenig.
> > folgt
> > aus der Existenz einer
> > injektiven Abbildung [mm]P(U) \to U\,[/mm] dann der Widerspruch,
> > dass es doch
> > eine surjektive Abbildung [mm]U \to P(U)\,[/mm] gäbe. Dies
> zeigt,
> > dass die Annahme
> > der Existenz einer "universellen Menge aller Mengen"
> [mm]U\,[/mm]
> > zu verwerfen ist!
> Völlig richtig.
>
> Zum Beweis, dass es keine surjektive Abbildung [mm]U\to P(U)[/mm]
> gibt, haben wir allerdings wieder das Aussonderungsaxiom
> benötigt.
In der naiven Mengenlehre hatten wir das noch nichtmal formuliert.
Vielleicht wird es da halt "naiv" benutzt, das heißt, ohne es explizit als
Axiom zu formulieren - so nach dem Motto: Man weiß, was man tut, und
das passt schon zu dem Rest der naiven Mengenlehre!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 Mo 01.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal,
> > > Und da nun eine injektive Abbildung [mm]X \to Y[/mm] genau dann
> > > existiert, wenn
> > > es eine surjektive Abbildung [mm]Y \to X[/mm] gibt (Beweis?),
> > Das gilt nur für [mm]X\not=\emptyset[/mm]; aber das ist ja für
> > [mm]X=P(U)[/mm] wegen [mm]U\in X[/mm] der Fall.
>
> wieso? Jede Funktion [mm]f \colon \emptyset \to Y[/mm] ist injektiv,
> denn es gibt nichts
> zu prüfen. Weiter ist jede Funktion [mm]g \colon Y \to \emptyset[/mm]
> surjektiv, da auch
> hier nichts zu prüfen ist. Vielleicht schläft mein
> Gehirn aber gerade auch
> noch ein wenig.
Das, was du jetzt geschrieben hast, stimmt. Allerdings gibt es für [mm] $Y\not=\emptyset$ [/mm] eine (injektive) Abbildung [mm] $\emptyset\to [/mm] Y$, jedoch keine (surjektive) Abbildung [mm] $Y\to\emptyset$.
[/mm]
> > Zum Beweis, dass es keine surjektive Abbildung [mm]U\to P(U)[/mm]
> > gibt, haben wir allerdings wieder das Aussonderungsaxiom
> > benötigt.
>
> In der naiven Mengenlehre hatten wir das noch nichtmal
> formuliert.
> Vielleicht wird es da halt "naiv" benutzt, das heißt, ohne
> es explizit als
> Axiom zu formulieren - so nach dem Motto: Man weiß, was
> man tut, und
> das passt schon zu dem Rest der naiven Mengenlehre!
Du hast völlig recht: So hat es sich der Aufgabensteller sicherlich gedacht.
Aber naiv kann ich mir genau so gut wie die durch das Aussonderungsaxiom gegebene Mengenbildung eine Menge aller Mengen vorstellen. Es ist eine Frage der Zweckmäßigkeit, dass man sich für das Aussonderungsaxiom und somit gegen eine Menge aller Mengen entscheidet. Logisch (und meiner Meinung nach auch naiv) wäre genauso gut eine Menge aller Mengen (und somit der Verzicht aufs Aussonderungsaxiom) denkbar.
Ohne Kenntnis des Aussonderungsaxioms hätte ich große Probleme, den Beweis nachzuvollziehen: Ich hätte mich gefragt, ob nicht die Bildung der Menge [mm] $A=\{x\in U\;|\;x\notin x\}$ [/mm] vielmehr das Problem ist als die Bildung der Menge aller Mengen.
Übrigens wird anscheinend erwartet, dass die Studenten [mm] $\{x\in M\;|\;x\not\in x\}$ [/mm] für Mengen $M$ von Mengen als Menge akzeptieren, z.B. [mm] $\{x\;|\;x=x\}$ [/mm] dagegen nicht. Diese Unterscheidung sollte man meiner Meinung nach zumindest als Vereinbarung festhalten, wenn man sich schon Fragen nach der Existenz von Mengen stellt.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobi,
> Hallo nochmal,
>
>
> > > > Und da nun eine injektive Abbildung [mm]X \to Y[/mm] genau dann
> > > > existiert, wenn
> > > > es eine surjektive Abbildung [mm]Y \to X[/mm] gibt (Beweis?),
> > > Das gilt nur für [mm]X\not=\emptyset[/mm]; aber das ist ja
> für
> > > [mm]X=P(U)[/mm] wegen [mm]U\in X[/mm] der Fall.
> >
> > wieso? Jede Funktion [mm]f \colon \emptyset \to Y[/mm] ist injektiv,
> > denn es gibt nichts
> > zu prüfen. Weiter ist jede Funktion [mm]g \colon Y \to \emptyset[/mm]
> > surjektiv, da auch
> > hier nichts zu prüfen ist. Vielleicht schläft mein
> > Gehirn aber gerade auch
> > noch ein wenig.
> Das, was du jetzt geschrieben hast, stimmt. Allerdings
> gibt es für [mm]Y\not=\emptyset[/mm] eine (injektive) Abbildung
> [mm]\emptyset\to Y[/mm], jedoch keine (surjektive) Abbildung
> [mm]Y\to\emptyset[/mm].
Jupp: Irgendwie übersehe ich meist immer was bei Abbildungen $X [mm] \to Y\,,$
[/mm]
wenn [mm] $X=\emptyset$ [/mm] oder [mm] $Y=\emptyset\,.$ [/mm] Aber jetzt mal ohne wirkliche
Rechtfertigung meiner "Blindheit" dahingehend: Das sind ja auch fast nur
rein akademische Fälle. (Ein Prof. von mir ging mal soweit, dass er "Kritik"
nicht annahm', wenn jemand einen Einwand mit der leeren Menge brachte.
Das war in Operations Research. Und sein Kommentar dazu war etwa: "Mit
so etwas langweiligem, was eh fast nie vorkommt, beschäftige ich mich
nicht." Wobei das natürlich "bei der Kritik" auch wirklich meist nur ein
Einwand war, wo man eine Fallunterscheidung hätte machen müssen. Oder
er hat dann von vorneherein ausgeschlossen, dass er mit der leeren
Menge arbeitet.)
> > > Zum Beweis, dass es keine surjektive Abbildung [mm]U\to P(U)[/mm]
> > > gibt, haben wir allerdings wieder das Aussonderungsaxiom
> > > benötigt.
> >
> > In der naiven Mengenlehre hatten wir das noch nichtmal
> > formuliert.
> > Vielleicht wird es da halt "naiv" benutzt, das heißt,
> ohne
> > es explizit als
> > Axiom zu formulieren - so nach dem Motto: Man weiß,
> was
> > man tut, und
> > das passt schon zu dem Rest der naiven Mengenlehre!
> Du hast völlig recht: So hat es sich der Aufgabensteller
> sicherlich gedacht.
>
> Aber naiv kann ich mir genau so gut wie die durch das
> Aussonderungsaxiom gegebene Mengenbildung eine Menge aller
> Mengen vorstellen. Es ist eine Frage der Zweckmäßigkeit,
> dass man sich für das Aussonderungsaxiom und somit gegen
> eine Menge aller Mengen entscheidet. Logisch (und meiner
> Meinung nach auch naiv) wäre genauso gut eine Menge aller
> Mengen (und somit der Verzicht aufs Aussonderungsaxiom)
> denkbar.
>
> Ohne Kenntnis des Aussonderungsaxioms hätte ich große
> Probleme, den Beweis nachzuvollziehen: Ich hätte mich
> gefragt, ob nicht die Bildung der Menge [mm]A=\{x\in U\;|\;x\notin x\}[/mm]
> vielmehr das Problem ist als die Bildung der Menge aller
> Mengen.
Naja, wenn Du mal genau hinguckst, habe ich für [mm] $A=\{x \in U: x \notin x\}$
[/mm]
auch einfach behauptet, dass klar ist, dass es eine Menge ist (wie könnte
ich sonst $A [mm] \in [/mm] U$ behaupten, wenn [mm] $U\,$ [/mm] die Menge aller Mengen ist?). Der 'Test'
"$A [mm] \in [/mm] A$" macht doch auch nur Sinn, wenn [mm] $A\,$ [/mm] eine Menge ist. Wenn
man genau hinguckt, steht bei uns i.W. eigentlich das Gleiche, nur die
Verpackung ist anders. Meine hat noch viel Geschnörkel drumherum.
> Übrigens wird anscheinend erwartet, dass die Studenten
> [mm]\{x\in M\;|\;x\not\in x\}[/mm] für Mengen [mm]M[/mm] von Mengen als
> Menge akzeptieren, z.B. [mm]\{x\;|\;x=x\}[/mm] dagegen nicht. Diese
> Unterscheidung sollte man meiner Meinung nach zumindest als
> Vereinbarung festhalten, wenn man sich schon Fragen nach
> der Existenz von Mengen stellt.
Was ist nun das Problem mit [mm] $\{x\;|\;x=x\}$? [/mm] Ich hatte es ja schonmal
gesagt: Leider lernte ich im Studium eigentlich nur die naive Mengenlehre
kennen ^^
Aber irgendwie scheint mir [mm] $\{x\;|\;x=x\}$ [/mm] wäre eine Menge von allem,
was existiert. Und witzig ist dann ja [mm] $\{x\;|\;x \not=x\}=\emptyset\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:56 Di 02.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marcel,
> Jupp: Irgendwie übersehe ich meist immer was bei
> Abbildungen [mm]X \to Y\,,[/mm]
> wenn [mm]X=\emptyset[/mm] oder
> [mm]Y=\emptyset\,.[/mm] Aber jetzt mal ohne wirkliche
> Rechtfertigung meiner "Blindheit" dahingehend: Das sind ja
> auch fast nur
> rein akademische Fälle. (Ein Prof. von mir ging mal
> soweit, dass er "Kritik"
> nicht annahm', wenn jemand einen Einwand mit der leeren
> Menge brachte.
> Das war in Operations Research. Und sein Kommentar dazu
> war etwa: "Mit
> so etwas langweiligem, was eh fast nie vorkommt,
> beschäftige ich mich
> nicht." Wobei das natürlich "bei der Kritik" auch wirklich
> meist nur ein
> Einwand war, wo man eine Fallunterscheidung hätte machen
> müssen. Oder
> er hat dann von vorneherein ausgeschlossen, dass er mit
> der leeren
> Menge arbeitet.)
Diese Sichtweise ist wohl sehr verbreitet. Für mich hingegen ist gerade die leere Menge interessant, weil sie zu Sonderfällen führt.
Wenn man streng logisch denkt, bringt die Vereinbarung des Professors kaum wirkliche Vereinfachung: An jeder Stelle, die mit der leeren Menge nicht funktioniert, ist dann anstelle der Fallunterscheidung darauf zu verweisen, dass die Vereinbarung eingeht. Und bei jeder Menge, die man konstruiert und mit der man weiterarbeiten möchte, ist auf "Nichtleerheit" zu prüfen.
> > Ohne Kenntnis des Aussonderungsaxioms hätte ich große
> > Probleme, den Beweis nachzuvollziehen: Ich hätte mich
> > gefragt, ob nicht die Bildung der Menge [mm]A=\{x\in U\;|\;x\notin x\}[/mm]
> > vielmehr das Problem ist als die Bildung der Menge aller
> > Mengen.
>
> Naja, wenn Du mal genau hinguckst, habe ich für [mm]A=\{x \in U: x \notin x\}[/mm]
>
> auch einfach behauptet, dass klar ist, dass es eine Menge
> ist (wie könnte
> ich sonst [mm]A \in U[/mm] behaupten, wenn [mm]U\,[/mm] die Menge aller
> Mengen ist?). Der 'Test'
> "[mm]A \in A[/mm]" macht doch auch nur Sinn, wenn [mm]A\,[/mm] eine Menge
> ist. Wenn
> man genau hinguckt, steht bei uns i.W. eigentlich das
> Gleiche, nur die
> Verpackung ist anders. Meine hat noch viel Geschnörkel
> drumherum.
Ich stimme dir zu! 
> > Übrigens wird anscheinend erwartet, dass die Studenten
> > [mm]\{x\in M\;|\;x\not\in x\}[/mm] für Mengen [mm]M[/mm] von Mengen als
> > Menge akzeptieren, z.B. [mm]\{x\;|\;x=x\}[/mm] dagegen nicht. Diese
> > Unterscheidung sollte man meiner Meinung nach zumindest als
> > Vereinbarung festhalten, wenn man sich schon Fragen nach
> > der Existenz von Mengen stellt.
>
> Was ist nun das Problem mit [mm]\{x\;|\;x=x\}[/mm]? Ich hatte es ja
> schonmal
> gesagt: Leider lernte ich im Studium eigentlich nur die
> naive Mengenlehre
> kennen ^^
>
> Aber irgendwie scheint mir [mm]\{x\;|\;x=x\}[/mm] wäre eine Menge
> von allem,
> was existiert.
Genau. Und wäre [mm] $W=\{x\;|\;x=x\}$ [/mm] eine Menge, so auch [mm] $\{x\in W\;|\;x\text{ ist eine Menge}\}$. [/mm] Somit hätten wir eine Menge aller Mengen gefunden, Widerspruch.
> Und witzig ist dann ja [mm]\{x\;|\;x \not=x\}=\emptyset\,.[/mm]
[mm] $\{x\;|\;x \not=x\}=\emptyset$ [/mm] ist völlig korrekt. Womit bewiesen wäre, dass [mm] $\{x\;|\;x\not=x\}$ [/mm] eine Menge ist. (Mit [mm] "\{x\;|\;P(x)\} [/mm] ist (k)eine Menge" meine ich immer: Es gibt (k)eine Menge, die genau die Elemente x enthält, für die P(x) wahr ist.)
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Di 02.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Tobi,
okay, jetzt kapier' ich das, glaube ich:
> > Aber irgendwie scheint mir [mm]\{x\;|\;x=x\}[/mm] wäre eine Menge
> > von allem,
> > was existiert.
> Genau. Und wäre [mm]W=\{x\;|\;x=x\}[/mm] eine Menge, so auch
> [mm]\{x\in W\;|\;x\text{ ist eine Menge}\}[/mm].
Das gilt dann wegen des Aussonderungsaxioms. Richtig?
> Somit hätten wir
> eine Menge aller Mengen gefunden, Widerspruch.
Okay!
> > Und witzig ist dann ja [mm]\{x\;|\;x \not=x\}=\emptyset\,.[/mm]
>
> [mm]\{x\;|\;x \not=x\}=\emptyset[/mm] ist völlig korrekt.
Dagegen sagte ich auch nichts. Nur $x [mm] \not=x$ [/mm] ist die Verneinung von [mm] $x=x\,,$
[/mm]
und [mm] $\{x\;|\; x =x\}$ [/mm] ist keine Menge, aber [mm] $\{x\;|\;\neg(x=x)\}$ [/mm] ist eine!
Das eckt dann doch ein wenig merkwürdig an, oder?
> Womit
> bewiesen wäre, dass [mm]\{x\;|\;x\not=x\}[/mm] eine Menge ist. (Mit
> [mm]"\{x\;|\;P(x)\}[/mm] ist (k)eine Menge" meine ich immer: Es gibt
> (k)eine Menge, die genau die Elemente x enthält, für die
> P(x) wahr ist.)
So kenne ich ja auch [mm] $\{x\;|\;P(x)\}\,.$ [/mm] Aber siehst Du das merkwürdige oben:
Für [mm] $P(x)\,$ [/mm] als Aussage [mm] "$x=x\,$" [/mm] ist [mm] $\{x\;|\;P(x)\}=\{x\;|\;x=x\}$ [/mm] keine Menge, wohl
aber [mm] $\{x\;|\;x \not=x\}=\{x\;|\; \neg(x=x)\}=\{x\;|\;\neg P(x)\}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:00 Fr 05.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marcel,
> > > Aber irgendwie scheint mir [mm]\{x\;|\;x=x\}[/mm] wäre eine Menge
> > > von allem,
> > > was existiert.
> > Genau. Und wäre [mm]W=\{x\;|\;x=x\}[/mm] eine Menge, so auch
> > [mm]\{x\in W\;|\;x\text{ ist eine Menge}\}[/mm].
>
> Das gilt dann wegen des Aussonderungsaxioms. Richtig?
Gerne würde ich einfach mit "Ja" antworten, aber das wäre etwas verkürzt.
Genau genommen ist das Aussonderungsaxiom(enschema) ein Bestandteil von ZFC. Und es besagt nur, dass für Mengen $M$ auch [mm] $\{x\in M\;|\;P(x)\}$ [/mm] eine Menge bildet, wenn P(x) eine Aussage über Elemente [mm] $x\in [/mm] M$ ist, die sich in der "Prädikatenlogik der ersten Stufe" über der "Sprache von ZFC (die nur aus dem Symbol [mm] $\in$ [/mm] besteht)" ausdrücken lässt. Letzteres ist für "ziemlich alle" (aber nicht alle) gängigen Aussagen der Fall. Wie sieht es für die Aussage "x ist eine Menge" aus? In ZFC gibt es keine Unterscheidung von Mengen und anderen Objekten: Alle betrachteten Objekte sind Mengen. Insofern lässt sich die Aussage "x ist eine Menge" durch die Formel "x=x" ausdrücken.
Für die naive Mengenlehre glaube ich, dass ein "naives Aussonderungsaxiom" der folgenden Form akzeptabel ist: Für alle Mengen M und alle "Aussagen P(x) über Elemente [mm] $x\in [/mm] M$" ist auch [mm] $\{x\in M\;|\;P(x)\}$ [/mm] eine Menge. Dabei bleibt es leider dem Leser überlassen, was er genau unter einer "Aussage P(x) über Elemente [mm] $x\in [/mm] M$" versteht. Im Sinne dieses "naiven Aussonderungsaxioms" meinte ich meine obige Aussage aus meiner letzten Mitteilung.
> > [mm]\{x\;|\;x \not=x\}=\emptyset[/mm] ist völlig korrekt.
>
> Dagegen sagte ich auch nichts. Nur [mm]x \not=x[/mm] ist die
> Verneinung von [mm]x=x\,,[/mm]
> und [mm]\{x\;|\; x =x\}[/mm] ist keine Menge, aber
> [mm]\{x\;|\;\neg(x=x)\}[/mm] ist eine!
> Das eckt dann doch ein wenig merkwürdig an, oder?
>
> > Womit
> > bewiesen wäre, dass [mm]\{x\;|\;x\not=x\}[/mm] eine Menge ist. (Mit
> > [mm]"\{x\;|\;P(x)\}[/mm] ist (k)eine Menge" meine ich immer: Es gibt
> > (k)eine Menge, die genau die Elemente x enthält, für die
> > P(x) wahr ist.)
>
> So kenne ich ja auch [mm]\{x\;|\;P(x)\}\,.[/mm] Aber siehst Du das
> merkwürdige oben:
> Für [mm]P(x)\,[/mm] als Aussage "[mm]x=x\,[/mm]" ist
> [mm]\{x\;|\;P(x)\}=\{x\;|\;x=x\}[/mm] keine Menge, wohl
> aber [mm]\{x\;|\;x \not=x\}=\{x\;|\; \neg(x=x)\}=\{x\;|\;\neg P(x)\}\,.[/mm]
Das ist kein besonderer Sonderfall, sondern für JEDE Aussageform P(x) steht höchstens einer der beiden Ausdrücke [mm] $\{x\;|\;P(x)\}$ [/mm] und [mm] $\{x\;|\;\neg P(x)\}$ [/mm] für eine Menge. Denn wären beides Mengen, so auch deren Vereinigung. Und deren Vereinigung wäre wieder eine Menge aller Objekte...
Für mich ist das nicht merkwürdig: Mengen dürfen halt nicht "zu groß" sein. Warum soll nicht [mm] $\{x\;|\;P(x)\}$ [/mm] zu groß und [mm] $\{x\;|\;\neg P(x)\}$ [/mm] klein genug sein?
Merkwürdig wirkt es vielleicht vor dem Hintergrund, dass wir eben nur Mengenbildungen der Form [mm] $\{x\in M\;|\;P(x)\}$ [/mm] für Mengen M gewohnt sind. Und für jede solche Mengenbildung ist auch [mm] $\{x\in M\;|\;\neg P(x)\}$ [/mm] wieder eine Menge.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Mo 01.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Vorweg: Per Vereinbarung versteht man unter [mm] $A=\{x\;|\;x\not\in x\}$ [/mm] die "Gesamtheit" aller MENGEN (nicht etwa die Gesamtheit aller Gesamtheiten), die sich nicht selbst enthalten. Für jede Gesamtheit y, die keine Menge ist, gilt somit [mm] $y\not\in [/mm] A$, unabhängig davon, ob [mm] $y\in [/mm] y$ oder [mm] $y\not\in [/mm] y$.
> Dann fange ich noch mal langsamer an. Ich will zeigen, dass
> es keine Menge aller Mengen gibt. Ich untersuche folgende
> Menge [mm]A = \{x: x \notin x\} [/mm].
Wer sagt dir, dass $A$ eine Menge ist? Dein nächster Satz gilt nur unter der Annahme, dass $A$ eine Menge ist:
> Jetzt überprüfe ich, ob [mm]A \in A[/mm]
> und bekomme ein Widerspruch [mm]A \in A \Leftrightarrow A \notin A [/mm].
Wie gesagt: Du brauchst für [mm] $A\in A\Leftrightarrow A\not\in [/mm] A$ die Annahme, dass $A$ eine Menge ist. Denn ist $A$ keine Menge, so kannst du nach obiger Vereinbarung aus [mm] $A\not\in [/mm] A$ nicht auf [mm] $A\in [/mm] A$ schließen.
Der Widerspruch beweist dir: Die Annahme, dass $A$ eine Menge ist, war falsch!
> Soweit alles klar. Wie kann ich jetzt daraus
> schlussfolgern, dass es keine Mengen aller Mengen gibt?
>
> Meine Idee: Ich nehme an, es existiert eine Menge aller
> Mengen. Dann liegt logischer Weise auch A in dieser Menge.
Nein, denn $A$ ist ja wie oben gezeigt keine Menge.
Aber nach dem Aussonderungsaxiom ist [mm] $A_M:=\{x\in M\;|\;x\not\in x\}$ [/mm] für jede Menge $M$ von Mengen wieder eine Menge.
Gäbe es nun eine Menge $V$ aller Mengen, so wäre wegen [mm] $A_V=A$ [/mm] somit $A$ doch eine Menge, Widerspruch.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobi,
> Vorweg: Per Vereinbarung versteht man unter
> [mm]A=\{x\;|\;x\not\in x\}[/mm] die "Gesamtheit" aller MENGEN (nicht
> etwa die Gesamtheit aller Gesamtheiten), die sich nicht
> selbst enthalten. Für jede Gesamtheit y, die keine Menge
> ist, gilt somit [mm]y\not\in A[/mm], unabhängig davon, ob [mm]y\in y[/mm]
> oder [mm]y\not\in y[/mm].
>
>
> > Dann fange ich noch mal langsamer an. Ich will zeigen, dass
> > es keine Menge aller Mengen gibt. Ich untersuche folgende
> > Menge [mm]A = \{x: x \notin x\} [/mm].
> Wer sagt dir, dass [mm]A[/mm] eine
> Menge ist? Dein nächster Satz gilt nur unter der Annahme,
> dass [mm]A[/mm] eine Menge ist:
> > Jetzt überprüfe ich, ob [mm]A \in A[/mm]
> > und bekomme ein Widerspruch [mm]A \in A \Leftrightarrow A \notin A [/mm].
> Wie gesagt: Du brauchst für [mm]A\in A\Leftrightarrow A\not\in A[/mm]
> die Annahme, dass [mm]A[/mm] eine Menge ist. Denn ist [mm]A[/mm] keine Menge,
> so kannst du nach obiger Vereinbarung aus [mm]A\not\in A[/mm] nicht
> auf [mm]A\in A[/mm] schließen.
>
> Der Widerspruch beweist dir: Die Annahme, dass [mm]A[/mm] eine Menge
> ist, war falsch!
>
>
> > Soweit alles klar. Wie kann ich jetzt daraus
> > schlussfolgern, dass es keine Mengen aller Mengen gibt?
> >
> > Meine Idee: Ich nehme an, es existiert eine Menge aller
> > Mengen. Dann liegt logischer Weise auch A in dieser Menge.
> Nein, denn [mm]A[/mm] ist ja wie oben gezeigt keine Menge.
>
> Aber nach dem Aussonderungsaxiom ist [mm]A_M:=\{x\in M\;|\;x\not\in x\}[/mm]
> für jede Menge [mm]M[/mm] von Mengen wieder eine Menge.
>
> Gäbe es nun eine Menge [mm]V[/mm] aller Mengen, so wäre wegen
> [mm]A_V=A[/mm] somit [mm]A[/mm] doch eine Menge, Widerspruch.
1. habe ich eigentlich dann irgendwo einen Fehler gemacht? ( Bei meinem
ersten Beweis - beim Beweis mit der Potenzmenge bin ich mir eigentlich
sicher, dass der korrekt ist - was nicht heißt, dass ich mich auch da nicht
irren könnte. )
2. Ich habe mal nachgeguckt: Das Aussonderungsaxiom (Wiki) kannte ich
in der naiven Mengenlehre nämlich nicht. Bist Du sicher, dass Du darauf
verweisen solltest?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 Mo 01.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> 1. habe ich eigentlich dann irgendwo einen Fehler gemacht?
> ( Bei meinem
> ersten Beweis - beim Beweis mit der Potenzmenge bin ich
> mir eigentlich
> sicher, dass der korrekt ist - was nicht heißt, dass ich
> mich auch da nicht
> irren könnte. )
Keinen Wesentlichen bei den beiden Beweisen. Ein paar Kleinigkeiten habe ich in den einzelnen Mitteilungen dazu angemerkt.
> 2. Ich habe mal nachgeguckt: Das
> Aussonderungsaxiom (Wiki)
> kannte ich
> in der naiven Mengenlehre nämlich nicht. Bist Du sicher,
> dass Du darauf
> verweisen solltest?
Gute Frage. Ohne Annahme, dass so etwas wie [mm] $\{x\in M\;|\;x\not\in x\}$ [/mm] für jede Menge $M$ wieder eine Menge ist, lässt sich wohl kaum beweisen, dass es keine Menge aller Mengen gibt. Ob man diese Annahme nun Aussonderungsaxiom nennen möchte, kann dahingestellt bleiben. Zumindest hat bisher offenbar niemand von uns beiden einen Beweis gefunden, der ohne diese Annahme auskommt. Ganz ohne Annahmen an die Mengenwelt kommt man ohnehin nicht aus: Es lässt sich leicht eine Mengenwelt vorstellen, in der es eine Menge aller Mengen gibt (beispielsweise eine Welt, in der es nur eine Menge gibt, die sich selbst enthält).
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