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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 So 31.03.2013 | | Autor: | ne1 |
Hallo :),
| Aufgabe | Beweise, dass für beliebige Mengen [tex]A, B, C, D[/tex] gilt:
Falls [tex]A, B, C[/tex] und [tex]D[/tex] nicht leer, dann [tex]A \times B = C \times D \Rightarrow A = C \wedge B = D[/tex]. Zeige, dass es relevant ist, dass die Mengen nicht leer sind. |
10. Ich nehme an [tex]A \neq C \vee B \neq D[/tex]. Es existieren also [tex]x \in A[/tex] und [tex]x \notin C[/tex] (oder umgekehr). Deshalb [tex] \in A \times B[/tex], aber aus dem Vordersatz weiß ich, dass [tex]x \in A[/tex] und [tex]x \in C[/tex] was zum Widerspruch führt. Analoge Überlegungen für [tex]x \in B[/tex] und [tex]x \notin D[/tex] (und umgekehrt).
Der zweite Teil der Aufgabe ist mir nicht ganz klar. Angenommen eine Mengen wäre leer, die restlichen nicht. Dadurch ist mein Vordersatz falsch und die gesamte Aussage richtig.
Danke im Voraus.
Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 So 31.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo :),
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> Beweise, dass für beliebige Mengen [tex]A, B, C, D[/tex] gilt:
> Falls [tex]A, B, C[/tex] und [tex]D[/tex] nicht leer, dann [tex]A \times B = C \times D \Rightarrow A = C \wedge B = D[/tex].
> Zeige, dass es relevant ist, dass die Mengen nicht leer
> sind.
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> 10. Ich nehme an [tex]A \neq C \vee B \neq D[/tex]. Es existieren
> also [tex]x \in A[/tex] und [tex]x \notin C[/tex] (oder umgekehr). Deshalb [tex] \in A \times B[/tex],
> aber aus dem Vordersatz weiß ich, dass [tex]x \in A[/tex] und [tex]x \in C[/tex]
> was zum Widerspruch führt. Analoge Überlegungen für [tex]x \in B[/tex]
> und [tex]x \notin D[/tex] (und umgekehrt).
Es reicht doch zu zeigen: A [mm] \subseteq [/mm] C. (C [mm] \subseteq [/mm] A erhält man dann durch Vertauschen der Rollen von A und C. Die Gleicheit B=D zeigt man dann analog.)
Sei a [mm] \in [/mm] A. Da B nichtleer ist, ex. b [mm] \in [/mm] B. Damit ist (a,b) in A [mm] \times [/mm] B, also
(a,b) in C [mm] \times [/mm] D.
Damit ist a [mm] \in [/mm] C.
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> Der zweite Teil der Aufgabe ist mir nicht ganz klar.
Es ist [mm] \emptyset \times [/mm] X = [mm] \emptyset [/mm] für jede (!) Menge X !!!!
FRED
> Angenommen eine Mengen wäre leer, die restlichen nicht.
> Dadurch ist mein Vordersatz falsch und die gesamte Aussage
> richtig.
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> Danke im Voraus.
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> Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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