Mengenlehre < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Do 11.08.2005 | | Autor: | suzan |
HAllöchen..
ich denke die Aufgabe 3 wird leichter werden deshalb versuche ich es mal und hoffe das ich es kapiert habe.. 
Ich soll beweisen, ob diese Aussage richtig oder falsch ist mit dem Beispiel
für A gilt {a,b} für B gilt {b,c} und für C gilt {d}
A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \times [/mm] C) = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \times [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
A [mm] \cap [/mm] {(b,d),(c,d} = {(a,b,c)} [mm] \times [/mm] {(a,b,d)}
diese Aussage ist falsch.
|
|
| |
|
Hallo suzan,
> für A gilt {a,b} für B gilt {b,c} und für C gilt {d}
> A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\times[/mm] C) = (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\times[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
> A [mm]\cap[/mm] {(b,d),(c,d} = {(a,b,c)} [mm]\times[/mm] {(a,b,d)}
> diese Aussage ist falsch.
Ich nehme einmal an, dass es $A [mm] \times [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)$ heißen sollte.  Dann erhält man:
$A [mm] \cap [/mm] B$ = [mm] $\{b\}$
[/mm]
$A [mm] \cap [/mm] C$ = [mm] $\{\}$ [/mm] = [mm] $\emptyset$
[/mm]
$B [mm] \cap [/mm] C$ = [mm] $\emptyset$
[/mm]
Damit:
$A [mm] \times [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)$ = $A [mm] \times \emptyset$ [/mm] = [mm] $\emptyset$
[/mm]
$(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \times [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)$ = [mm] $\{b\} \cap \emptyset$ [/mm] = [mm] $\emptyset$
[/mm]
Diese Mengen sind also in diesem Beispiel, wie auch im Allgemeinen, gleich.
Übrigens wäre man hier auch mit Deiner ursrünglichen Menge auf die leere Menge gekommen.
Liebe Grüße,
Holy Diver
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 Do 11.08.2005 | | Autor: | suzan |
nein, so wie ich es aufgeschrieben hatte war es richtig, die aufgabenstellung
|
|
|
| |
|
> HAllöchen..
Du schon wieder... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Also, ich gehe mal davon aus, dass du die Aufgabe richtig abgetippt hast - Holy Diver vermutet wahrscheinlich, dass alle Aussagen wahr sind, die du zeigen sollst, deswegen hat er die Aufgabe anders gemacht. Falls du dich wirklich vertippt haben solltest, dann ist es aber trotzdem eine gute Übung, was ich dir hier erkläre.
> ich denke die Aufgabe 3 wird leichter werden deshalb
> versuche ich es mal und hoffe das ich es kapiert habe..
>
> Ich soll beweisen, ob diese Aussage richtig oder falsch
> ist mit dem Beispiel
> für A gilt {a,b} für B gilt {b,c} und für C gilt {d}
Also, erstmal noch eine ganz ganz wichtige Sache: Mit Beispielen kann man gar nichts beweisen!!! Man kann allerhöchstens ein Gegebenbeispiel geben und damit einen Beweis widerlegen. Aber ein Beispiel beweist noch gar nichts!
Deine Aufgabenstellung ist also schon wieder nicht korrekt. Entweder sollst du es beweisen oder du sollst es an diesem speziellen Beispiel überprüfen. Das ist ein himmelweiter und sehr wichtiger Unterschied. Denn es kann ja sein, dass es für diese Beispielmengen zufällig gilt, aber allgemein nicht gilt. Alles klar?
> A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\times[/mm] C) = (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\times[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
> A [mm]\cap[/mm] {(b,d),(c,d} = {(a,b,c)} [mm]\times[/mm] {(a,b,d)}
> diese Aussage ist falsch.
Die linke Seite stimmt noch, allerdings macht es wohl keinen Sinn, sie noch weiter zu berechnen, denn die Menge A besteht ja nicht aus Tupeln, und ich wüsste nicht, wie man Elemente mit Tupeln schneidet...
Aber auf der rechten Seite hast du [mm] \cup [/mm] mit [mm] \cap [/mm] verwechselt. Oder war das nur ein Tippfehler? Was ist denn bitte [mm] A\cap [/mm] B? Und [mm] A\cap [/mm] C? Überprüfe das doch bitte noch mal.
Bastiane
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Do 11.08.2005 | | Autor: | suzan |
ich weiß ich nerve...
[mm] \cap [/mm] bedeutet schneiden [mm] \cup [/mm] vereinigen..richtig?
Also ich soll die Aufgabe an einem Beispiel bestätigen..mehr steht bei mir auch nicht.
A {a,b} B {b,c} C {d}
A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \times [/mm] C) = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \times [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
A [mm] \cap [/mm] {(b,d), (c,d)} = {(a,b),(a,c),(b,b),(b,c)} [mm] \times [/mm] {(a,d),(b,d)}
|
|
|
| |
|
Hallo!
> ich weiß ich nerve...
> [mm]\cap[/mm] bedeutet schneiden [mm]\cup[/mm] vereinigen..richtig?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Also ich soll die Aufgabe an einem Beispiel
> bestätigen..mehr steht bei mir auch nicht.
Okay, aber du darfst dann nur nicht behaupten, dass es immer so ist!
> A {a,b} B {b,c} C {d}
> A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\times[/mm] C) = (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\times[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
> A [mm]\cap[/mm] {(b,d), (c,d)} = {(a,b),(a,c),(b,b),(b,c)} [mm]\times[/mm]
> {(a,d),(b,d)}
Leider verwechselst du auf der rechten Seite [mm] \cap [/mm] mit [mm] \times. [/mm] Weißt du denn, was [mm] \cap [/mm] bedeutet?
Bastiane
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Do 11.08.2005 | | Autor: | suzan |
ja [mm] \cap [/mm] bedeuten schneiden
also nochmal
A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \times [/mm] C) = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \times [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
A [mm] \cap [/mm] {(b,d),(c,d)}= {(a,b),(a,c)} [mm] \times [/mm] {(a,d),(b,d)}
A [mm] \cap [/mm] {(b,d),(c,d)} = {(a,a),(a,d),(a,b),(b,a),(b,d),(b,b),(c,a),(c,d),(c,b)}
|
|
|
| |
|
> ja [mm]\cap[/mm] bedeuten schneiden
> also nochmal
> A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\times[/mm] C) = (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\times[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
> A [mm]\cap[/mm] {(b,d),(c,d)}= {(a,b),(a,c)} [mm]\times[/mm] {(a,d),(b,d)}
> A [mm]\cap[/mm] {(b,d),(c,d)} =
> {(a,a),(a,d),(a,b),(b,a),(b,d),(b,b),(c,a),(c,d),(c,b)}
Ich hab' zwar gerade die Mengen nicht mehr im Kopf, aber wenn du zwei Mengen, die aus Elementen bestehen (und nicht aus Tupeln) schneidest, dann kommt da auch eine Menge von Elementen raus und keine Menge von Tupeln. Siehst du deinen Fehler?
Bastiane
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Do 11.08.2005 | | Autor: | suzan |
ja ich glaube ich seh den fehler...also nochmal..:....o(
die Mengen sind
A {a,b} B {b,c} C {d}
A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \times [/mm] C) = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \times [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
A [mm] \cap [/mm] {(b,d),(c,d)} = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \times [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
|
|
|
| |
|
> ja ich glaube ich seh den fehler...also nochmal..:....o(
> die Mengen sind
> A {a,b} B {b,c} C {d}
> A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\times[/mm] C) = (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\times[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
> A [mm]\cap[/mm] {(b,d),(c,d)} = (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\times[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
Soweit warst du vorher doch auch schon, oder nicht? Du musst jetzt aber noch [mm] A\cap [/mm] B berechnen. Und das nicht verwechseln mit [mm] A\times [/mm] B. Es kommt eine Menge von Elemente raus oder ggf. auch die leere Menge. Und dann musst du noch das kartesische Produkt bilden.
Übrigens schreibt man Mengen auch mit dem Gleichheitszeichen, also [mm] A=\{a,b\}
[/mm]
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Do 11.08.2005 | | Autor: | suzan |
okay..
A={a,b} B={b,c} C={d}
A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \times [/mm] C) = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \times [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
$A [mm] \cap \{(b,d),(c,d)\}= \{b\} \times \emptyset$ [/mm] <-- Klick mal drauf!
edit: wenn du am Anfang und am Ende einer Formel ein '$'-Zeichen setzt, sehen die Formeln schöner aus und lassen sich leichter lesen, siehe Formeleditor (informix)
|
|
|
| |
|
> okay..
> A={a,b} B={b,c} C={d}
> A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\times[/mm] C) = (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\times[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
> A [mm] \cap [/mm] {(b,d),(c,d)}= {(b)} [mm]\times[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{( [mm]\emptyset)}[/mm]
- nur die Klammern um das b und die leere Menge lässt man weg, die Menge enthält ja das Element B und nicht das "Eins-Tupel" b.
So, und nun muss mich bitte mal jemand korrigieren, falls ich etwas Falsches erzähle. Also [mm] \{b\}\times\emptyset\ [/mm] - kann man das noch berechnen? Jedenfalls würde ich jetzt aus dieser letzten Gleichung folgern, dass die Aussage Blödsinn ist, da sie keinen Sinn macht.
Aber ich habe das Gefühl, dass du es vllt jetzt langsam verstanden hast!?
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Do 11.08.2005 | | Autor: | suzan |
endlich...vielen dank für deine geduld morgen gehts weiter..*lach*![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
ich muss jetzt los meine tochter ist wach lieben dank nochmal *drück*
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Do 11.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo zusammen!
Das sollte ja noch einmal überprüft werden.
> A={a,b} B={b,c} C={d}
> A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\times[/mm] C) = (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\times[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
> [mm]A \cap \{(b,d),(c,d)\}= \{b\} \times \emptyset[/mm] <-- Klick
> mal drauf!
Genau:
Es gilt:
$A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \times [/mm] C) = [mm] \{a,b\} \cap \{(b,d),(c,d)\} [/mm] = [mm] \emptyset$
[/mm]
und
$(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \times (A\cap [/mm] C) = [mm] \{b\} \times \emptyset [/mm] = [mm] \emptyset$.
[/mm]
Vorsicht:
Im Allgemeinen ist die Gleichheit
$A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \times [/mm] C) = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \times (A\cap [/mm] C)$
aber falsch; sie gilt nur in solchen Spezialfällen (wo $A [mm] \cap B=\emptyset$ [/mm] oder $A [mm] \cap C=\emptyset$).
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo suzan,
> ich weiß ich nerve...
> [mm]\cap[/mm] bedeutet schneiden [mm]\cup[/mm] vereinigen..richtig?
> Also ich soll die Aufgabe an einem Beispiel
> bestätigen..mehr steht bei mir auch nicht.
> A {a,b} B {b,c} C {d}
korrekt mit dem Formeleditor geschrieben:
$A = [mm] \{a,b\}, B=\{b,c\}, [/mm] C = [mm] \{d\}$
[/mm]
sollst du mit diesen Mengen als Beispiel so eine Art " Distributivgesetz" widerlegen oder bestätigen.
> A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\times[/mm] C) = (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\times[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
> A [mm]\cap[/mm] {(b,d), (c,d)} = {(a,b),(a,c),(b,b),(b,c)} [mm]\times[/mm]
> {(a,d),(b,d)}
schau'n wer mal...
$A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \times [/mm] C) = [mm] \{a,b\} \cap (\{b,c \} \times \{d\})$
[/mm]
diese Menge ist die leere Menge: denn wenn man eine Menge von Einzelelementen mit einer Menge von Tupeln schneidet, gibt's keine gemeinsamen Elemente!
$A [mm] \cap \{(b,d), (c,d)\} [/mm] = [mm] \{(a,b),(a,c),(b,b),(b,c)\}\times \{(a,d),(b,d)\}$ [/mm]
rechts steht eine Menge von Tupeln, deren einzelne Elemente ihrerseits wieder Tupel sind:
[mm] $\{((a,b);(a,d)),...\}$, [/mm] also bestimmt nicht eine leere Menge.
Also ist die Aussage falsch!
Jetzt klar(er)?
[edit] danke Stefan für die Kontrolle! siehe hier.
|
|
|
|
