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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 Di 10.02.2009 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Beweise die Folgenden Aussagen über Mengen:
$\ M [mm] \subset [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] M [mm] \cup [/mm] N = N$ und $\ M [mm] \cap [/mm] N = M $ |
Hallo,
ich würde gerne wissen, ob ich eine solche Gleichung mit Hilfe der "$\ x [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] ... $" Methode lösen muss/soll, oder ob es einen anderen weg gibt?
Ich bin mir nicht so sicher, muss ich denn auch "$\ M [mm] \subset [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] M [mm] \cup [/mm] N$" zeigen? Ich meine, dass es reicht, $M [mm] \cup [/mm] N = N$ zu zeigen.
Meine Idee war:
$M [mm] \subset [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] M [mm] \cup [/mm] N = N$
$\ x [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] N [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] N$
aber irgendwie wirkt das sehr schwach. Ist das Ganze damit schon gezeigt?
Zur 2. Gleichung:
$M [mm] \subset [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] \ M [mm] \cap [/mm] N = M $
$ x [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] N [mm] \gdw [/mm] \ x [mm] \in [/mm] (M [mm] \cap [/mm] N) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \not\in [/mm] N [mm] \backslash [/mm] M$
Hier das selbe. Ich weiss nicht, wie ich diese Gleichungen richtig beweise.
Würde mich über eine Antwort freuen,
Vielen Dank
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:50 Mi 11.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweise die Folgenden Aussagen über Mengen:
>
> [mm]\ M \subset N \Rightarrow M \cup N = N[/mm] und [mm]\ M \cap N = M[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich würde gerne wissen, ob ich eine solche Gleichung mit
> Hilfe der "[mm]\ x \in M \Rightarrow ... [/mm]" Methode lösen
> muss/soll, oder ob es einen anderen weg gibt?
es gibt immer den Weg, indem man die Elemente der Menge in Mengenklammern charakterisiert. Aber das kommt auf das gleiche raus. Bleib' einfach bei dem obigen Weg, der ist sinnvoll, auch, um den Überblick zu behalten.
> Ich bin mir nicht so sicher, muss ich denn auch "[mm]\ M \subset N \Rightarrow M \cup N[/mm]"
> zeigen?
Das ist überhaupt keine Aussage. Formuliere die Behauptung mal in Worten: "Wenn $M$ eine Teilmenge von $N$ ist, dann ist $M [mm] \cup [/mm] N$..." ja, was ist denn dann damit?
> Ich meine, dass es reicht, [mm]M \cup N = N[/mm] zu zeigen.
Das ist die Behauptung, unter der Annahme $M [mm] \subset N\,.$
[/mm]
> Meine Idee war:
>
> [mm]M \subset N \Rightarrow M \cup N = N[/mm]
Es gilt also, zu zeigen: Ist $M$ eine Teilmenge von $N$, so gilt die Mengengleichheit $M [mm] \cup N=N\,.$
[/mm]
> [mm]\ x \in M \Rightarrow x \in N \gdw x \in (M \cup N) \gdw x \in M \vee x \in N[/mm]
>
> aber irgendwie wirkt das sehr schwach. Ist das Ganze damit
> schon gezeigt?
Ja schon, aber ich habe das Gefühl, Du siehst gar nicht wirklich, was Du da machst:
Sortiere das ganze mal:
Voraussetzung: Es gelte im Folgenden immer $M [mm] \subset [/mm] N$.
Behauptung:
Dann gilt $M [mm] \cup N=N\,.$
[/mm]
Beweis:
Vorbemerkung:
Zwei Mengen $R,S$ sind genau dann gleich, wenn 1.) $R [mm] \subset [/mm] S$ und 2.) $S [mm] \subset [/mm] R$ gilt.
Es sind also zwei Aussagen zu begründen:
1.) $N [mm] \subset [/mm] (M [mm] \cup N)\,.$ [/mm] Das ist aber banal.
2.) $(M [mm] \cup [/mm] N) [mm] \subset [/mm] N$: Hier geht die Voraussetzung $M [mm] \subset [/mm] N$ wesentlich ein. Denn $x [mm] \in [/mm] M [mm] \cup [/mm] N$ gilt genau dann, wenn $x [mm] \in [/mm] M$ oder $x [mm] \in [/mm] N$ ist.
[mm] $\alpha)$ [/mm] Im Falle $x [mm] \in [/mm] M$ gilt wegen $M [mm] \subset [/mm] N$ auch $x [mm] \in N\,.$
[/mm]
[mm] $\beta)$ [/mm] Im Falle $x [mm] \in [/mm] N$ ist nichts mehr zu zeigen.
Bei Dir oben steht ja nur:
$x [mm] \in [/mm] N [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N)$
Das ist zwar richtig, aber die Folgerung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] ist i.a. nicht gültig. Sie gilt hier, weil $M [mm] \subset [/mm] N$ vorausgesetzt wird.
> Zur 2. Gleichung:
>
> [mm]M \subset N \Rightarrow \ M \cap N = M[/mm]
Das geht analog. Auch hier wird wieder $M [mm] \subset [/mm] N$ vorausgesetzt. Nun begründe:
1.) $(M [mm] \cap [/mm] N) [mm] \subset [/mm] M$ (das gilt sowieso immer!)
2.) $M [mm] \subset [/mm] (M [mm] \cap [/mm] N)$ (hier geht die Voraussetzung $M [mm] \subset [/mm] N$ wesentlich ein!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:03 Mi 11.02.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Marcel,
vielen Dank soweit, ich muss das alles (nicht nur Gedanklich) mal in Ordnung bringen.
Ich habe mit jedem Blick auf die Aussagen was umgestellt und am Ende geriet das alles ein wenig Durcheinander
Ich werd mir das morgen in aller Ruhe nochmal ansehen.
Vielen Dank für die Hilfe.
Gruß
ChopSuey
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