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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Limboman |
Hallo ihr ich habe ein kleines Problem. Es sollte eigentlich ganz einfach sein aber irgendwie stehe ich voll auf dem Schlauch.
Kann mir jemand helfen?
Sei f: A [mm] \to [/mm] B eine Abbildung und [mm] (A_{2})i\in [/mm] I eine Familie von Teilmengen von B. Dann gilt
[mm] f^{-1}( \bigcup_{i\inI} A_{2})= \bigcup_{i\inI} f^{-1} (A_{2}) [/mm] ,
[mm] f^{-1}( \bigcap_{i\inI} A_{2})= \bigcap_{i\inI} f^{-1} (A_{2})
[/mm]
Mein Problem bei dieser Aufgabe ist das [mm] f^{-1}. [/mm] Das bedeutet doch soviel wie! Diese Abbildung ist bijektiv und hat eine Umkehrabbildung oder? Aber ich weiß absolut nicht was ich damit anfangen kann.
Wäre echt über ein klein wenig Hilfe sehr dankbar.
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Hallo Jochen!
> Kann mir jemand helfen?
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> Sei f: A [mm]\to[/mm] B eine Abbildung und [mm](A_{2})i\in[/mm] I eine
> Familie von Teilmengen von B. Dann gilt
>
> [mm]f^{-1}( \bigcup_{i\inI} A_{2})= \bigcup_{i\inI} f^{-1} (A_{2})[/mm]
> ,
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> [mm]f^{-1}( \bigcap_{i\inI} A_{2})= \bigcap_{i\inI} f^{-1} (A_{2})[/mm]
>
> Mein Problem bei dieser Aufgabe ist das [mm]f^{-1}.[/mm] Das
> bedeutet doch soviel wie! Diese Abbildung ist bijektiv und
> hat eine Umkehrabbildung oder? Aber ich weiß absolut nicht
> was ich damit anfangen kann.
Also mit [mm] f^{-1} [/mm] ist hier wohl das Urbild gemeint. Und was du zeigen sollst, bedeutet in Worten:
Das Urbild der Vereinigung der Mengen ist gleich der Vereinigung der Urbilder und das Urbild der Schnitte ist gleich dem Schnitt der Urbilder.
Allerdings weiß ich nicht so ganz, wieso du [mm] A_2 [/mm] schreibst, dann hast du ja gar kein i!? Sollte das vielleicht [mm] A_i [/mm] heißen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:17 Do 28.04.2005 | | Autor: | Limboman |
Du hast natürlich völlig recht es muß natürlich [mm] A_{i} [/mm] heißen. (Tippfehler)
Aber das bringt mich jetzt nicht wircklich viel weiter
hast du vielleicht noch einen kleinen Tip auf lager?
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Hallo nochmal!
Also ich glaub, du müsstest so vorgehen:
Wähle ein beliebiges x aus der linken Menge:
[mm] x\in f^{-1}(\bigcup_i{A_i}) [/mm]
dann existiert ein y aus der Vereinigung aller [mm] A_i, [/mm] so dass f(x)=y, in mathematischer Schreibweise:
[mm] \Rightarrow \exists y\in\bigcup_i{A_i}, [/mm] mit f(x)=y
das aber bedeutet, dass es ein i gibt, so dass y in diesem [mm] A_i [/mm] liegt, also:
[mm] \gdw \exists [/mm] i, so dass [mm] y\in A_i
[/mm]
machen wir jetzt das gleiche für die rechte Seite:
wir nehmen ein beliebiges [mm] x\in\bigcup_i{f^{-1}(A_i)}
[/mm]
das bedeutet, dass es ein i gibt, sodass [mm] x\in f^{-1}(A_i), [/mm] das bedeutet, [mm] \exists y\in A_i [/mm] mit f(x)=y, also haben wir das Gleiche, wie auf der linken Seite und somit ist die Gleichheit bewiesen.
Ich hoffe, hier ist mir jetzt kein Fehler unterlaufen - ich musste gerade selber nochmal was länger drüber nachdenken. Aber eigentlich sollte es vom Prinzip her auf jeden Fall so funktionieren - vielleicht hilft es dir auch, wenn du dir mal zwei Mengen und ne Abbildung dazwischen aufzeichnest.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 Do 28.04.2005 | | Autor: | Limboman |
Vielen Dank für deine Unterstützung sie war sehr hilfreich.
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