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| Aufgabe | Beweisen Sie die Aussage mit einem formalen Beweis.
Tipp: Verwende Sie ein Fallunterscheidung für x[m]\in[/m]B [m]\vee[/m] x[m]\not\in[/m]B und dem Satz Vereinigung ist Obermenge.
[m]A \backslash C \subseteq(A \backslash B) \cup (B \backslash C)[/m] |
Hallo ihr Lieben,
ich hoffe, mich kann jemand von euch auf den richtigen Weg bringen, diese Aufgabe zu lösen. Leider haben wir in der Vorlesung nur einen sehr einfachen Beweis mit Teilmengen gemacht. Beweise mit Gleichheit, Implikation und Äquivalenz bekomme ich mittlerweile gut hin. Aber dieser hier überfordert mich irgendwie.
Meine Überlegungen:
Als erstes brauche ich Definitionen die ich anwenden kann. Also definiere ich alle Dinge aus der Aussage
Definitionen:
symmetrische Differenz: [m] A \backslash C = \{ x| \forall x \in A : x \not\in C \} [/m]
Teilmenge: [m] A \subseteq C \gdw \forall x \in A : x \in C[/m]
Vereinigung: [m]A \cup C = \{ x | x \in A \vee x \in C \}[/m]
Satz:
Vereinigung ist Obermenge: Seien A, C beliebige Mengen. Dann gilt [m]C \subseteq A \cup C[/m]
Beweisansatz:
Seien A,B, C beliebige Mengen mit der Voraussetzung [m]A \backslash C [/m].
Wir müssen zeigen, dass [m]A \backslash C \subseteq(A \backslash B) \cup (B \backslash C)[/m].
Sei dazu [m]x \in A \backslash C [/m]. Wegen dem natürlichen Schluss "oder-ein" gilt [m] x \in A \backslash B[/m] oder [m]x \in B \backslash C [/m].
Hier weiß nicht, ob es bis hierher überhaupt richtig ist. Und dann müsste ich ja die Fallunterscheidung mit B machen. Ich glaub mein großes Problem ist, dass ich gar nicht genau weiß, was am Ende richtig rauskommen soll. Ich habe ja eigentlich ein [m] x \in A [/m] für das ich nachweisen muss, dass es auch in [m](A \backslash B) \cup (B \backslash C)[/m] liegt, oder bin ich da schon falsch?
Würde mich freuen, wenn mir einer von euch helfen kann.
Vielen Dank
Katja
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 Mo 31.01.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin Katja
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
>
> Wir müssen zeigen, dass [m]A \backslash C \subseteq(A \backslash B) \cup (B \backslash C)[/m].
>
> Sei dazu [m]x \in A \backslash C [/m].
Dann ist [mm] $x\in [/mm] A$ und [mm] $x\not\in [/mm] C$. Betrachte nun zwei Moeglichkeiten: [mm] $x\in [/mm] B$ und [mm] $x\not\in [/mm] B$. Zu welchen Mengen gehoert $x_$ in den jeweiligen Faellen?
vg Luis
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Also wenn [m] x \in B[/m] ist es in die Menge [m] B \backslash C [/m]
und wenn [m] x \not\in B [/m] ist es in der Menge [m] A \backslash B [/m].
Also haben wir ein x, dass mal in A und mal in B ist, aber nie in C, richtig?
Wie schreibe ich das jetzt aber mathematisch richtig auf? Mein "Rezept" funktioniert hier irgendwie nicht. Denn da nehm ich ein Element aus der Voraussetzung, so wie ich bereits angefangen habe und dann zeige ich über die Definitionen, dass es in der Behauptung liegt. Muss ich dann zeigen, dass x in der Obermenge liegt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Mo 31.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also wenn [m]x \in B[/m] ist es in die Menge [m]B \backslash C[/m]
> und
> wenn [m]x \not\in B[/m] ist es in der Menge [m]A \backslash B [/m].
> Also
> haben wir ein x, dass mal in A und mal in B ist, aber nie
> in C, richtig?
> Wie schreibe ich das jetzt aber mathematisch richtig auf?
> Mein "Rezept" funktioniert hier irgendwie nicht. Denn da
> nehm ich ein Element aus der Voraussetzung, so wie ich
> bereits angefangen habe und dann zeige ich über die
> Definitionen, dass es in der Behauptung liegt. Muss ich
> dann zeigen, dass x in der Obermenge liegt?
Du mußt zeigen: x [mm] \in [/mm] (A [mm] \backslash [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \backslash [/mm] C)
Aber das hast Du schon gezeigt, ohne zu merken !
Du schreibst: " Also wenn [m]x \in B[/m] ist es in die Menge [m]B \backslash C[/m]"
Damit ist x [mm] \in [/mm] (A [mm] \backslash [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \backslash [/mm] C)
Weiter schreibst Du: "wenn [m]x \not\in B[/m] ist es in der Menge [m]A \backslash B [/m]"
Damit ist ebenfalls x [mm] \in [/mm] (A [mm] \backslash [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \backslash [/mm] C)
In beiden Fällen ist also: x [mm] \in [/mm] (A [mm] \backslash [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \backslash [/mm] C)
FRED
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