Mengenabstand infinum < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Di 22.05.2007 | | Autor: | ttgirltt |
| Aufgabe | Gegeben seien die Mengen
[mm] M_{1}:=\{(x,y,z) \in \IR^{3}: x*y=0\} M_{2}:=\{(x,y,z) \in \IR^{3}: x*y=1\}
[/mm]
Zeigen Sie: [mm] d(M_{1},M_{2}):=(inf [/mm] d(p,q))=0 wobei [mm] p\in M_{1} q\in M_{2} [/mm] |
Hallo,
wie beweis ich das denn?
Der Abstand der Mengen ist so groß wie das Infinum des Abstandes 2er Punkte aus den Mengen und dieser ist 0.
Rein von der Vorstellung weiß ich nicht wie der Abstand 0 sein soll. wenn einmal x*y=0 und einmal x*y=1
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Di 22.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
die eine Menge bezeichnet die Achsen, die andere ist der Graph der Funktion 1/x. Diese besitzt die Achsen als Asymptoten, deshalb ist der Abstand 0. Beweisen kannst du das, indem du die Charakterisierung des Infimum verwendest. Sei M={d(x,y);x aus M1, y aus M2} Zeige inf M=0.
Das ist äquivalent zu:
(i) 0<=d(x,y) für alle x,y aus M1,M2
(ii) Es gibt eine Folge xn und yn, so dass d(xn,yn) eine Nullfolge ist.
(i) ist klar, da d ja eine Metrik ist. Um (ii) zu Zeigen nimmst du die Folgen:
xn=(n,0) aus M1 und yn=(n,1/n) aus M2. Das dann die Folge d(xn,yn) eine Nullfolge ist, ist dann auch klar und es folgt die Behauptung.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
|
|
|
|
