Mengen und Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:30 Sa 17.04.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Gegeben seien Mengen M,N, I und, A, B, [mm] B_{i} [/mm] , C [mm] \subset [/mm] M für i [mm] \in [/mm] I. Weiter sei f : N -> M eine Funktion und [mm] f_{-1} [/mm] sei gegeben
wie in Satz 1.10 im Skript. Zeigen Sie:
a) A\ (B [mm] \cup [/mm] C) = (A\ B) [mm] \cap [/mm] (A\ C)
A\ [mm] (\bigcap_{i \in I}B_{i})= \bigcup_{i \in I} [/mm] A\ [mm] B_{i}
[/mm]
b) [mm] f^{-1} [/mm] (A [mm] \cup B)=f^{-1} [/mm] (A) [mm] \cup f^{-1}(B)
[/mm]
[mm] f^{-1} (A\B) [/mm] = [mm] f^{-1}(A)\ f^{-1}(B) [/mm] |
Hallo,
ich habe bei dieser Übung irgendwie Probleme :S
bei a die erste habe ich:
A\ (B [mm] \cup [/mm] C)= (A\ B) [mm] \cap [/mm] (A\ C)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (A \ B) [mm] \cap [/mm] (A \ C)
stimmt das so?
|
|
| |
|
> Gegeben seien Mengen M,N, I und, A, B, [mm]B_{i}[/mm] , C [mm]\subset[/mm] M
> für i [mm]\in[/mm] I. Weiter sei f : N -> M eine Funktion und
> [mm]f_{-1}[/mm] sei gegeben
> wie in Satz 1.10 im Skript. Zeigen Sie:
>
> a) A\ (B [mm]\cup[/mm] C) = (A\ B) [mm]\cap[/mm] (A\ C)
>
> A\ [mm](\bigcap_{i \in I}B_{i})= \bigcup_{i \in I} A\B_{i}[/mm]
>
> b) [mm]f^{-1}[/mm] (A [mm]\cup B)=f^{-1}[/mm] (A) [mm]\cup f^{-1}(B)[/mm]
>
> [mm]f^{-1} (A\B)[/mm] = [mm]f^{-1}(A)\ f^{-1}(B)[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe bei dieser Übung irgendwie Probleme :S
>
> bei a die erste habe ich:
Hallo,
zunächst einmal ist festzustellen, daß hier die Gleichheit der beiden Mengen A\ (B [mm]\cup[/mm] C) und (A\ B) [mm]\cap[/mm] (A\ C) zu zeigen ist.
Also sind zwei Teilmengenbeziehungen zu zeigen, nämlich [mm] Menge1\subseteq [/mm] Menge2 und [mm] Menge2\subseteq [/mm] Menge 1.
Du hast jetzt - bis auf Fehlerchen - eine der Richungen gezeigt.
Offenbar stehst Du am Studienanfang.
Du solltest Dir gleich angewöhnen, alles sehr genau aufzuschreiben.
Behauptung:
> A\ (B [mm]\cup[/mm] C)= (A\ B) [mm]\cap[/mm] (A\ C)
Dazu zu zeigen:
i) A\ (B [mm]\cup[/mm] [mm] C)\subseteq [/mm] (A\ B) [mm]\cap[/mm] (A\ C)
ii) (A\ B) [mm]\cap[/mm] (A\ [mm] C)\subseteq [/mm] A\ (B [mm]\cup[/mm] C)
Beweis:
zu i)
Sei
>
> x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm]\not\in[/mm] C
==>( [mm] x\in [/mm] A und [mm] x\not\in [/mm] B) und [mm] (x\in [/mm] A und [mm] x\not\in [/mm] C)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] (A \ B) [mm]\cap[/mm] (A \ C)
>
> stimmt das so?
Ja.
Gruß v. Angela
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Sa 17.04.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo Angela,
danke für die Verbesserung.
bei dem Beweis zu ii) habe ich das jz einfach nochmal rückwärts gemacht. D.h.:
Behauptung:
(A\ B) [mm]\cap[/mm] (A\ [mm]C)\subseteq[/mm] A\ (B [mm]\cup[/mm] C)
Beweis:
Sei
[mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] (A \ B) [mm]\cap[/mm] (A \ C)
==>( [mm]x\in[/mm] A und [mm]x\not\in[/mm] B) und [mm](x\in[/mm] A und [mm]x\not\in[/mm] C)
[mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] B [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] C
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C)
Wie funktioniert es den bei der zweiten von a? Ist es das selbe Schema? Das Vereinigungs- bzw. zeichen iritiert mich :S
Lg Melisa
|
|
|
| |
|
Hallo!
> bei dem Beweis zu ii) habe ich das jz einfach nochmal
> rückwärts gemacht. D.h.:
>
> Behauptung:
>
> (A\ B) [mm]\cap[/mm] (A\ [mm]C)\subseteq[/mm] A\ (B [mm]\cup[/mm] C)
>
> Beweis:
>
>
> Sei
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] (A \ B) [mm]\cap[/mm] (A \ C)
Am Anfang kein [mm] \Rightarrow. [/mm] Du sagst ja nur, dass x in der Menge drin liegen soll, das folgerst du aus nichts.
> ==>( [mm]x\in[/mm] A und [mm]x\not\in[/mm] B) und [mm](x\in[/mm] A und [mm]x\not\in[/mm] C)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] B [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] C
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C)
[mm] $\Rightarrow x\in A\textbackslash (B\cup [/mm] C)$
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie funktioniert es den bei der zweiten von a? Ist es das
> selbe Schema? Das Vereinigungs- bzw. zeichen iritiert mich
> :S
Kannst du nochmal schauen, ob du die Aufgabenstellung richtig abgetippt hast? Evtl. Vereinigungs - und Schnitt-Zeichen vertauscht? Außerdem: Was ist [mm] A_{i} [/mm] ?
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Sa 17.04.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
nochmal eine kurze Frage. Stand hier nicht vorhin ein oder dazwischen? Muss zwischen den beiden Klammern ein und oder ein oder?
> ==>( [mm]x\in[/mm] A und [mm]x\not\in[/mm] B) und [mm](x\in[/mm] A und [mm]x\not\in[/mm] C)
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hallo,
>
> nochmal eine kurze Frage. Stand hier nicht vorhin ein oder
> dazwischen? Muss zwischen den beiden Klammern ein und oder
> ein oder?
>
> > ==>( [mm]x\in[/mm] A und [mm]x\not\in[/mm] B) und [mm](x\in[/mm] A und [mm]x\not\in[/mm] C)
Das "und" ist richtig.
Wenn [mm] $x\in M\cap [/mm] N$, dann gilt [mm] $x\in [/mm] M$ und [mm] $x\in [/mm] N$.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 Sa 17.04.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo steppenhahn,
ich habs mir nochmal angeschaut es gibt kein [mm] A_{i} [/mm] habs verbessert.
Aber das mit den Vereinigungszeichen usw. stimmt. Das einzige, was ich noch sagen sollte ist das i /in I nicht direkt unten drunter, sondern unten rechts steht. Ich habs in latex nicht hingekriegt.
|
|
|
| |
|
Hallo Melisa,
> A\ [mm](\bigcap_{i \in I}B_{i})= \bigcup_{i \in I}[/mm] A\ [mm]B_{i}[/mm]
Gehe bei dem Beweis dieser Mengengleichheit zunächst wie bei der ersten Aufgabe vor:
Du musst zeigen [mm] \subset [/mm] und [mm] \supset.
[/mm]
Beginne für [mm] \subset [/mm] so:
Sei [mm] $x\in [/mm] A [mm] \textbackslash \left(\bigcap_{i \in I}B_{i}\right)$.
[/mm]
Das bedeutet: [mm] $x\in [/mm] A$ und [mm] $x\notin \bigcap_{i \in I}B_{i}$.
[/mm]
[mm] $x\notin \bigcap_{i \in I}B_{i}$ [/mm] bedeutet: x ist in mindestens einem [mm] B_{i} [/mm] nicht enthalten (Mathematisch: [mm] \exists k\in [/mm] I: [mm] x\notin B_{k} [/mm] ).
(Lass dir das mal durch den Kopf gehen, warum das so ist).
Wegen [mm] $x\in [/mm] A$ und [mm] $x\notin B_{k}$ [/mm] folgt [mm] $x\in (A\textbackslash B_{k})$.
[/mm]
Damit gilt [mm] $x\in\bigcup_{i\in I}(A\textbackslash B_{i})$.
[/mm]
1. Verstehe den Beweis
2. Versuche dich an der Rückrichtung 
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Sa 17.04.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo Steppenhahn,
danke für deine ausführliche Antwort.
Das einzige was ich nicht verstanden habe ist, warum die Zeichen [mm] \bigcup [/mm] und [mm] \bigcup [/mm] sich ändern. Wie erkenne ich das?
für die Rückrichtung habe ich jz.
Sei [mm] x\in\bigcup_{i\in I}(A\textbackslash B_{i})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (A\ [mm] B_{k})
[/mm]
[mm] \Rightarrow x\in [/mm] A und [mm] x\not\in \bigcap_{i \in I}B_{i}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x\in [/mm] A [mm] \textbackslash \left(\bigcap_{i \in I}B_{i}\right)
[/mm]
ich hoffe es stimmt :S
Gruß Melisa
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Das einzige was ich nicht verstanden habe ist, warum die
> Zeichen [mm]\bigcup[/mm] und [mm]\bigcup[/mm] sich ändern. Wie erkenne ich
> das?
Was meinst du damit?
Für die Beweise benutzen wir Folgendes:
Ist [mm] $x\in (C_{1} \cup C_{2}\cup [/mm] ...)$, so muss x in mindestens einem [mm] C_{i} [/mm] enthalten sein.
Umgekehrt: Wissen wir, dass x in mindestens einem [mm] C_{i} [/mm] enthalten ist, muss [mm] $x\in (C_{1} \cup C_{2}\cup [/mm] ...)$ sein.
Ist [mm] $x\in (C_{1} \cap C_{2}\cap [/mm] ...)$, so muss x in allen [mm] C_{i} [/mm] enthalten sein!
Umgekehrt: Ist x in allen [mm] C_{i} [/mm] enthalten, so muss [mm] $x\in (C_{1} \cap C_{2}\cap [/mm] ...)$ sein.
----------
> für die Rückrichtung habe ich jz.
>
>
> Sei [mm]x\in\bigcup_{i\in I}(A\textbackslash B_{i})[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] (A\ [mm]B_{k})[/mm]
Hier solltest du noch mehr dazu schreiben. Was ist k, wieso gibt es so ein k, ....
> [mm]\Rightarrow x\in[/mm] A und [mm]x\not\in \bigcap_{i \in I}B_{i}[/mm]
Kannst du mir den Schritt begründen?
> [mm]\Rightarrow x\in[/mm] A [mm]\textbackslash \left(\bigcap_{i \in I}B_{i}\right)[/mm]
Ok.
Für dich wäre es sinnvoll, dass du die Schritte nochmal (mit Text) begründest, dann bist du sicher (und ich auch), dass du etwas gelernt hast.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Sa 17.04.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo steppenhahn,
>Hier solltest du noch mehr dazu schreiben. Was ist k, wieso gibt es so ein k, ....
das mit dem k bedeutet doch das es mindestens ein x gibt was in B nicht enthalten ist oder?
[mm] \Rightarrow x\in[/mm] [/mm] A und [mm]x\not\in \bigcap_{i \in I}B_{i}[/mm]
>
> Kannst du mir den Schritt begründen?
>
> > [mm]\Rightarrow x\in[/mm] A [mm]\textbackslash \left(\bigcap_{i \in I}B_{i}\right)[/mm]
>
\ bedeutet doch Die Mengendifferenz M “ohne” N (auch Komplement von N in M)
ist M \ N = {x | x [mm] \in [/mm] M ^ x [mm] \not\in [/mm] N}
Lg Melisa
|
|
|
| |
|
Hallo melisa1,
> Hallo steppenhahn,
>
> >Hier solltest du noch mehr dazu schreiben. Was ist k,
> wieso gibt es so ein k, ....
>
> das mit dem k bedeutet doch das es mindestens ein x gibt
> was in B nicht enthalten ist oder?
Ja, allerdings "bedeutet das mit dem k" das nicht (Die Formulierung...).
Du hast
$ [mm] x\in\bigcup_{i\in I}(A\textbackslash B_{i}) [/mm] $
x ist also in der Vereinigung irgendwelcher Mengen der Form [mm] $A\textbackslash B_{i}$ [/mm] enthalten.
Das bedeutet: Es muss mindestens eine Menge aus all diesen Mengen geben, die x enthält.
Mathematisch: Es existiert ein [mm] $k\in [/mm] I$ so, dass [mm] $x\in A\textbackslash B_{k}$. [/mm] (*)
Daher kommt das k! Es identifiziert also eine Menge aus all den [mm] $A\textbackslash B_{i}$, [/mm] die wirklich x enthält.
Der Satz (*) muss in einem Beweis auf jeden Fall auftauchen!
----
Nun hast du als nächsten Schritt:
[mm] $x\in [/mm] A$ und [mm] $x\not\in \bigcap_{i \in I}B_{i}$
[/mm]
geschrieben. Wie hast du das aus dem bisher Bekannten gefolgert?
(Den Schritt meinte ich übrigens, der nachfolgende ist dann klar)
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Sa 17.04.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
> Nun hast du als nächsten Schritt:
>
> [mm]x\in A[/mm] und [mm] x\not\in \bigcap_{i \in I}B_{i}
[/mm]
>
> geschrieben. Wie hast du das aus dem bisher Bekannten
> gefolgert?
> (Den Schritt meinte ich übrigens, der nachfolgende ist
> dann klar)
>
wenn wir x [mm] \in [/mm] (A\ [mm] B_{k}) [/mm] haben, dann ist es doch das selbe, wie x [mm] \in [/mm] A und [mm][mm] x\not\in \bigcap_{i \in I}B_{i} [/mm] aber, dass was ich mir hier halt nicht begründen kann ist, dass [mm] \bigcap_{i \in I} [/mm]
Gruß Melisa
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Hallo,
>
> > Nun hast du als nächsten Schritt:
> >
> > [mm]x\in A[/mm] und [mm]x\not\in \bigcap_{i \in I}B_{i}[/mm]
> >
> > geschrieben. Wie hast du das aus dem bisher Bekannten
> > gefolgert?
> > (Den Schritt meinte ich übrigens, der nachfolgende ist
> > dann klar)
> >
>
>
> wenn wir x [mm]\in[/mm] (A\ [mm]B_{k})[/mm] haben, dann ist es doch das
> selbe, wie x [mm]\in[/mm] A und [mm][mm]x\not\in \bigcap_{i \in I}B_{i}[/mm] aber, dass was ich mir hier halt nicht begründen kann ist, dass [mm]\bigcap_{i \in I}[/mm]
Es gibt irgendein [mm] $k\in [/mm] I$ so, dass [mm] $x\in A\textbackslash B_{k}$. [/mm] (das wissen wir).
Für dieses k gilt dann auch: [mm] $x\notin B_{k}$!
[/mm]
Das bedeutet: [mm] $x\not\in \bigcap_{i \in I}B_{i}$, [/mm] denn es gibt ja eine Menge [mm] B_{k} [/mm] in dem Schnitt, in der x nicht enthalten ist!
Verstehst du das?
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 Sa 17.04.2010 | | Autor: | melisa1 |
ohh jaa ok sry stand gerade voll auf´m Schlauch :D
ich glaube ich sollte mal eine Pause machen, bevor ich mit b anfange :D
Vielen dank für deine Hilfe! (war nicht so einfach mit mir :D )
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Sa 17.04.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
nun komme ich zur b) funktioniert das genauso wie bei a
dann wäre ja
die Voraussetzung: [mm] f^{-1} [/mm] (A [mm] \cup B)=f^{-1} [/mm] (A) [mm] \cup f^{-1} [/mm] (B)
zu zeigen:
i) [mm] f^{-1} [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \subseteq f^{-1} [/mm] (A) [mm] \cup f^{-1} [/mm] (B)
ii) [mm] f^{-1} [/mm] (A) [mm] \cup f^{-1} [/mm] (B) [mm] \subseteq f^{-1}(A \cup [/mm] B)
Beweis:
i) x [mm] \in f^{-1} [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in f^{-1} [/mm] (A) oder x [mm] \in f^{-1} [/mm] (B)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in f^{-1} [/mm] (A) [mm] \cup \in f^{-1} [/mm] (B)
ist das soweit richtig, oder wird das bei Funktionen anders gemacht ?
Lg Melisa
|
|
|
| |
|
Hallo,
> nun komme ich zur b) funktioniert das genauso wie bei a
>
> dann wäre ja
>
> die Voraussetzung: [mm]f^{-1}[/mm] (A [mm]\cup B)=f^{-1}[/mm] (A) [mm]\cup f^{-1}[/mm]
> (B)
>
> zu zeigen:
>
> i) [mm]f^{-1}[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\subseteq f^{-1}[/mm] (A) [mm]\cup f^{-1}[/mm] (B)
> ii) [mm]f^{-1}[/mm] (A) [mm]\cup f^{-1}[/mm] (B) [mm]\subseteq f^{-1}(A \cup[/mm]
> B)
Genau.
> Beweis:
>
> i) x [mm]\in f^{-1}[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in f^{-1}[/mm] (A) oder x [mm]\in f^{-1}[/mm] (B)
Dieser Schritt ist etwas schnell - bedenke, dass um [mm] $A\cup [/mm] B$ noch eine Funktion drumherum ist!
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in f^{-1}[/mm] (A) [mm]\cup \in f^{-1}[/mm] (B)
Besser:
Sei [mm] $x\in f^{-1}(A\cup [/mm] B)$. Das bedeutet, es existiert ein [mm] $y\in A\cup [/mm] B$ so, dass f(x) = y.
Da [mm] $y\in A\cup [/mm] B$, gilt $f(x) = [mm] y\in [/mm] A$ oder $f(x) = [mm] y\in [/mm] B$.
Das bedeutet [mm] $x\in f^{-1}(A)$ [/mm] oder [mm] $x\in f^{-1}(B)$.
[/mm]
Daraus folgt [mm] $x\in f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Sa 17.04.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
nun zu ii)
d.h. in die andere Richtung:
Sei [mm] x\in f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)
[/mm]
daraus folgt:x [mm] \in f^{-1}(A) [/mm] oder [mm] x\in f^{-1}(B)
[/mm]
nun komme ich nicht weiter, ich kann ja nicht einfach schreiben :
[mm] \Rightarrow [/mm] Es gib ein [mm] y\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B, so dass f(x) = [mm] y\in [/mm] A oder f(x) = [mm] y\in [/mm] B
[mm] \Rightarrow y\in A\cup [/mm] B[/mm] so, dass f(x) = y.
[mm] \Rightarrow x\in f^{-1}(A\cup [/mm] B)
Geht die zweite von b genauso nur das man nicht [mm] \cup [/mm] sondern \ hat und dementsprechend [mm] \not\in [/mm] B ?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hallo,
>
> nun zu ii)
>
> d.h. in die andere Richtung:
>
> Sei [mm]x\in f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)[/mm]
>
> daraus folgt:x [mm]\in f^{-1}(A)[/mm] oder [mm]x\in f^{-1}(B)[/mm]
>
>
> nun komme ich nicht weiter, ich kann ja nicht einfach
> schreiben :
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Es gib ein [mm]y\in[/mm] A [mm]\cup[/mm] B, so dass f(x) = [mm]y\in[/mm]
> A oder f(x) = [mm]y\in[/mm] B
Du sollst ja auch nicht alle Beweis einfach nur umdrehen! (Dann bräuchte man ja nicht beide Richtungen extra hinzuschreiben).
Fall 1: [mm] $x\in f^{-1}(A)$. [/mm] Dann ex. [mm] $y\in [/mm] A$ so, dass $f(x) = y [mm] \in [/mm] A [mm] \subset A\cup [/mm] B$.
Fall 2: [mm] $x\in f^{-1}(B)$. [/mm] Dann ex. [mm] $y\in [/mm] B$ so, dass $f(x) = y [mm] \in [/mm] B [mm] \subset A\cup [/mm] B$ .
Also...
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Sa 17.04.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
> Fall 1: [mm]x\in f^{-1}(A)[/mm]. Dann ex. [mm]y\in A[/mm] so, dass [mm]f(x) = y \in A \subset A\cup B[/mm].
Dass bedeutet x [mm] \in f^{-1}(A) [/mm] od. x [mm] \in f^{-1}(A \cup [/mm] B)
Daraus folgt x [mm] \in f^{-1}(A) \cup f^{-1} [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)
> Fall 2: [mm]x\in f^{-1}(B)[/mm]. Dann ex. [mm]y\in B[/mm] so, dass [mm]f(x) = y \in B \subset A\cup B[/mm]
> .
Dass bedeutet x [mm] \in f^{-1}(B) [/mm] od. x [mm] \in f^{-1}(A \cup [/mm] B)
Daraus folgt x [mm] \in f^{-1}(B) \cup f^{-1} [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)
Ich bin bei beiden nicht auf das gekommen was ich wollte. Mache ich was falsch oder fehlt noch ein Schritt???
Gruß Melisa
|
|
|
| |
|
Hallo!
> > Fall 1: [mm]x\in f^{-1}(A)[/mm]. Dann ex. [mm]y\in A[/mm] so, dass [mm]f(x) = y \in A \subset A\cup B[/mm].
> > Fall 2: [mm]x\in f^{-1}(B)[/mm]. Dann ex. [mm]y\in B[/mm] so, dass [mm]f(x) = y \in B \subset A\cup B[/mm]
Zwischen den Fallunterscheidungen sollte nichts mehr kommen.
Was man jetzt sieht, ist, dass auf jeden Fall (egal welcher Fall eintritt) $f(x) = y [mm] \in (A\cup [/mm] B)$ gilt, also:
[mm] $x\in f^{-1}(A\cup [/mm] B)$.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Sa 17.04.2010 | | Autor: | melisa1 |
Das war aber eine ziemlich schwere Geburt =)
Danke für deine Hilfe!
Grüße Melisa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Di 20.04.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich habe neulich die zweite von der b vergessen.
Wäre nett, wenn nochmal jemand drüber schauen könnte.
Voraussetzung: [mm] f^{-1}(A [/mm] \ B) = [mm] f^{-1}(A) [/mm] \ [mm] f^{-1}(B)
[/mm]
zu zeigen:
i) [mm] f^{-1} [/mm] (A \ B) [mm] \subseteq f^{-1}(A)\ f^{-1}(B)
[/mm]
ii) [mm] f^{-1}(A)\ f^{-1}(B) \subseteq f^{-1}(A [/mm] \ B)
Beweis:
i) Sei x [mm] \in f^{-1}(A [/mm] \ B)
[mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \in [/mm] A\ B so, dass f(x)=y
[mm] \Rightarrow [/mm] Da y [mm] \in [/mm] A\ B, gilt f(x)= y [mm] \in [/mm] A und f(x) [mm] \not\in [/mm] B
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in f^{-1} [/mm] (A) und x [mm] \not\in f^{-1} [/mm] (B)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in f^{-1}(A) [/mm] \ [mm] f^{-1}(B)
[/mm]
ii) Sei x [mm] \in f^{-1} [/mm] (A) \ [mm] f^{-1}(B)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in f^{-1}(A) [/mm] und x [mm] \not\in f^{-1} f^{-1} [/mm] (B)
und hier komme ich nicht mehr weiter
muss ich jetzt zwei Fälle betrachten?
also so:
1.Fall x [mm] \in f^{-1}(A)
[/mm]
2. Fall x [mm] \not\in f^{-1}(B)
[/mm]
Ich bedanke mich im voraus
Lg Melisa
|
|
|
| |
|
Hallo,
Hallo,
> Voraussetzung: [mm]f^{-1}(A[/mm] \ B) = [mm]f^{-1}(A)[/mm] \ [mm]f^{-1}(B)[/mm]
Nicht "Voraussetzung", sondern "zu zeigen".
Wenn wir es voraussetzen dürften, bräuchten wir nichts mehr zu beweisen.
> zu zeigen:
>
> i) [mm]f^{-1}[/mm] (A \ B) [mm]\subseteq f^{-1}(A)\ f^{-1}(B)[/mm]
> ii)
> [mm]f^{-1}(A)\ f^{-1}(B) \subseteq f^{-1}(A[/mm] \ B)
>
> Beweis:
>
> i) Sei x [mm]\in f^{-1}(A[/mm] \ B)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] y [mm]\in[/mm] A\ B so, dass f(x)=y
Am Anfang dieser Zeile (nach [mm] \Rightarrow [/mm] ) sollte noch "Es existiert ein" stehen.
> [mm]\Rightarrow[/mm] Da y [mm]\in[/mm] A\ B, gilt f(x)= y [mm]\in[/mm] A und f(x)
> [mm]\not\in[/mm] B
, evtl. noch beim zweiten auch "f(x) = y [mm] \not\in [/mm] B ".
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in f^{-1}[/mm] (A) und x [mm]\not\in f^{-1}[/mm] (B)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in f^{-1}(A)[/mm] \ [mm]f^{-1}(B)[/mm]
.
> ii) Sei x [mm]\in f^{-1}[/mm] (A) \ [mm]f^{-1}(B)[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in f^{-1}(A)[/mm] und x [mm]\not\in f^{-1} [/mm]
> (B)
> muss ich jetzt zwei Fälle betrachten?
> also so:
>
> 1.Fall x [mm]\in f^{-1}(A)[/mm]
> 2. Fall x [mm]\not\in f^{-1}(B)[/mm]
Nein, wieso? Das sind doch nicht zwei verschiedene Fälle, du hast doch vorher gefolgert, dass beides für das x gilt!
So kannst du weitermachen:
- [mm] $x\in f^{-1}(A) \Rightarrow \exists y\in [/mm] A: f(x) = y$. Also $f(x) = y [mm] \in [/mm] A$.
- [mm] $x\notin f^{-1}(B) \Rightarrow \forall y\in [/mm] B: [mm] f(x)\not= [/mm] y$. [mm] \Rightarrow [/mm] $f(x) [mm] \notin [/mm] B.$
Aus beiden Anstrichen [mm] \Rightarrow [/mm] ...
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 Di 20.04.2010 | | Autor: | melisa1 |
super....danke das du mir nochmal geholfen hast!
|
|
|
|
