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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Sunsh1ne |
| Aufgabe | Wir definieren die Menge M, N durch
M:= {(x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] : [mm] x^2+y^2 [/mm] = 1} und N:= {(x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] : -x+y=0.5}.
Berechnen Sie M [mm] \cap [/mm] N. Stellen Sie die Mengen M,N sowie M [mm] \cap [/mm] N in cartesischen Koordinaten dar. |
Hallo Leute :)
Ich sitze seit heute Nachmittag an einem Aufgabenzettel, den wir am Freitag abgeben müssen. Leider komme ich nich weiter, ich hab schon das halbe Internet durchforstet :(
Ich verstehe einfach nicht, wie das hier gemeint ist und was ich machen muss.
Für euch ist das sicher nicht schwer... aber ich komme einfach nicht drauf... :(
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank und liebe Grüße, Sunny
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> Wir definieren die Menge M, N durch
>
> $M := [mm] \{(x,y) \in \IR^2 : x^2+y^2 = 1\}$ [/mm] und $N:= [mm] \{(x,y) \in \IR^2 : -x+y=0.5\}$.
[/mm]
> Berechnen Sie M [mm]\cap[/mm] N. Stellen Sie die Mengen M,N sowie M
> [mm]\cap[/mm] N in cartesischen Koordinaten dar.
> Hallo Leute :)
> Ich sitze seit heute Nachmittag an einem Aufgabenzettel,
> den wir am Freitag abgeben müssen. Leider komme ich nich
> weiter, ich hab schon das halbe Internet durchforstet :(
> Ich verstehe einfach nicht, wie das hier gemeint ist und
> was ich machen muss.
> Für euch ist das sicher nicht schwer... aber ich komme
> einfach nicht drauf... :(
Also die Menge $M := [mm] \{(x,y) \in \IR^2 : x^2+y^2 = 1\}$ [/mm] ist einfach der Einheitskreis. (Allgemein wäre [mm] $\{(x,y) \in \IR^2 : (x-x_0)^2+(y-y_0)^2 = r^2\}$ [/mm] der Kreis mit Radius $r$ und Mittelpunkt [mm] $(x_0,y_0)$).
[/mm]
Die Menge $N:= [mm] \{(x,y) \in \IR^2 : -x+y=0.5\}$ [/mm] ist eine Gerade. Vielleicht kennst Du ja die Form $y=mx+q$ der Geradengleichung im [mm] $\IR^2$: [/mm] Da $-x+y=0.5$ äquivalent zu $y=x+0.5$ ist, handelt es sich um eine Gerade, die durch den Punkt $(0,0.5)$ geht und die Steigung $1$ (bzw. den Steigungswinkel [mm] $45^\circ$) [/mm] hat.
Algebraisch kannst Du die Schnittmenge [mm] $M\cap [/mm] N$ bestimmen, indem Du Dir klar machst, dass ein Punkt [mm] $(x,y)\in M\cap [/mm] N$ folgendes Gleichungssystem erfüllen muss:
[mm]\begin{array}{crcrcl|l}
\text{(1)} & x^2 &+& y^2 &=& 1 &\text{da $(x,y)\in M$}\\
\text{(2)} & -x &+& y &=& 0.5 &\text{da $(x,y)\in N$}\\\cline{2-6}
\end{array}[/mm]
Und wie löst man eine solches Gleichungssystem? Indem man die Gleichung (2) nach $y$ auflöst, ergibt $y=x+0.5$ und dann in die Gleichung (1) einsetzt: ergibt eine quadratische Gleichung für $x$ die schon aus anschaulichen Gründen zwei verschiedene Lösungen [mm] $x_{1,2}$ [/mm] haben sollte.
Zu jeder dieser Lösungen [mm] $x_{1,2}$ [/mm] dieser quadratischen Gleichung für $x$ bestimmst Du den zugehörigen Wert [mm] $y_{1,2}=x_{1,2}+0.5$. [/mm] Dies ergibt dann, dass [mm] $M\cap [/mm] N = [mm] \{(x_1,y_1), (x_2,y_2)\}$ [/mm] ist.
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