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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Mi 01.05.2013 | | Autor: | gregg |
| Aufgabe | Stellen Sie die folgende Menge als Vereinigung von Intervallen dar:
A:= { [mm] x\in\IR [/mm] | [mm] x\not=1 \wedge \bruch{2+x}{1-x} \le [/mm] 1 } |
Ich bräuchte Hilfe beim Einstieg, die eigentliche Rechnung an sich macht mir dann keine Probleme.
Ich mache hier eine Fallunterscheidung mit
x>1 und x<1 :
A:= { [mm] x\in\IR [/mm] | [mm] x\not=1 \wedge \bruch{2+x}{1-x} \le [/mm] 1 [mm] \wedge [/mm] x>1 } [mm] \cup [/mm] { [mm] x\in\IR [/mm] | [mm] x\not=1 \wedge \bruch{2+x}{1-x} \le [/mm] 1 [mm] \wedge [/mm] x<1 }
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Hallo,
> Stellen Sie die folgende Menge als Vereinigung von
> Intervallen dar:
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> A:= { [mm] x\in\IR [/mm] | [mm] x\not=1 \wedge \bruch{2+x}{1-x} \le [/mm] 1 }
> Ich bräuchte Hilfe beim Einstieg, die eigentliche
> Rechnung an sich macht mir dann keine Probleme.
>
> Ich mache hier eine Fallunterscheidung mit
>
> x>1 und x<1 :
>
> A:= { [mm] x\in\IR [/mm] | [mm] x\not=1 \wedge \bruch{2+x}{1-x} \le [/mm] 1
> [mm] \wedge [/mm] x>1 } [mm] \cup [/mm] { [mm] x\in\IR [/mm] | [mm] x\not=1 \wedge \bruch{2+x}{1-x} \le
[/mm]
> 1 [mm] \wedge [/mm] x<1 }
>
Die Fallunterscheidungen sindf schon richtig, aber es macht keinen Sinn, die Mengen so hinzuschreiben. Es geht schon primär darum, die Lösungsmenge der Ungleichung zu bestimmen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mi 01.05.2013 | | Autor: | gregg |
[mm] \bruch{2+x}{1-x} \le [/mm] 1 => x [mm] \le -\bruch{1}{2}
[/mm]
Also habe ich dann x [mm] \le -\bruch{1}{2}, [/mm] x>1, x<1
[mm] [-\bruch{1}{2},1) \wedge [/mm] x>1
kann man das dann so schreiben:
[mm] [-\bruch{1}{2},\infty), [/mm] mit [mm] x\not=1 [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> [mm]\bruch{2+x}{1-x} \le[/mm] 1 => x [mm]\le -\bruch{1}{2}[/mm]
wenn Du Mengen [mm] $A=\{x: \;\; x \text{ hat Eigenschaft }E_1\}$ [/mm] und [mm] $B=\{x: \;\; x \text{ hat Eigenschaft }E_2\}$
[/mm]
hast, und dann nur:
[mm] $$\forall [/mm] x [mm] \in A\;\;\;\Longrightarrow\;\;\;x \text{ hat Eigenschaft }E_2$$
[/mm]
zeigst, hast Du nur $A [mm] \subseteq [/mm] B$ begründet.
Bspw. gilt auch nur [mm] $\{x:\;\; x \ge 0 \text{ und } x^2=9\} \subseteq \{x:\;\;x^2=9\}$\,.
[/mm]
> Also habe ich dann x [mm]\le -\bruch{1}{2},[/mm] x>1, x<1
>
> [mm][-\bruch{1}{2},1) \wedge[/mm] x>1
>
> kann man das dann so schreiben:
>
> [mm][-\bruch{1}{2},\infty),[/mm] mit [mm]x\not=1[/mm] ?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Was hast Du denn da gerechnet?
Sinnvoll wäre es, wenn Du
[mm] $$\{x \in \IR:\;\;x \le -1/2\} \cup \{x \in \IR:\;\;x > 1\}$$
[/mm]
schreiben willst... (Nebenbei würde man [mm] $\{x:\;\; ...\text{ und }x \not=1\}$ [/mm] auch als [mm] $\{x:\;\; ...\}\setminus \{1\}$
[/mm]
schreiben...)
Rechnen wir es nochmal:
Es war [mm] $A:=\{x \in \IR:\;\;x \not=1 \wedge \tfrac{2+x}{1-x} \le 1\}\,.$
[/mm]
Es gilt für ($x [mm] \in \IR$ [/mm] mit) $x [mm] \not=1\,,$ [/mm] dass
1. Fall: Sei $x [mm] \le 1\,,$ [/mm] (das kann/darf ich hier so schreiben, weil sowieso
universell $x [mm] \not=1$ [/mm] vorausgesetzt wurde!) also $1-x [mm] \ge 0\,,$ [/mm] dann folgt
$$x [mm] \in [/mm] A [mm] \iff [/mm] 2+x [mm] \le [/mm] 1-x [mm] \iff [/mm] x [mm] \le -1/2\,.$$
[/mm]
Also ist hier [mm] $\IL_{\text{1. Fall}}=(-\infty,-\tfrac{1}{2}] \setminus \{1\}=(-\infty,-\tfrac{1}{2}]\,.$
[/mm]
2. Fall: Sei $x [mm] \ge 1\,$ [/mm] (das kann ich hier schreiben, weil sowieso universell
$x [mm] \not=1$ [/mm] vorausgesetzt wurde; siehe auch 1. Fall!) also $1-x [mm] \ge 0\,,$ [/mm] dann folgt
$$x [mm] \in [/mm] A [mm] \iff [/mm] 2+x [mm] \ge [/mm] 1-x [mm] \iff [/mm] x [mm] \ge -\tfrac{1}{2}\,.$$
[/mm]
Also ist hier [mm] $\IL_{\text{2. Fall}}=[1,\infty) \setminus \{1\}=(1,\infty)\,.$
[/mm]
Weil [mm] $\IR=(-\infty,1] \cup [1,\infty)$ [/mm] gilt, haben wir also alle Fälle betrachtet. Es folgt
[mm] $$A=\IL_{\text{1. Fall}} \cup \IL_{\text{2. Fall}}=...$$
[/mm]
P.S.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Inwiefern hilft Dir das Bild?
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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