Mengen&Urbilder unter exp^-1 < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien die Mengen
[mm] A_{1}=\{z \in \IC | e<|z|
[mm] A_{2}=\{z \in \IC | 0
[mm] A_{3}=\IC [/mm] \ [mm] \{x \in \IR | x \le 0 \},
[/mm]
[mm] A_{4}=\{z \in \IC | e<|z|
Bestimmen und zeichnen Sie [mm] A_{i} [/mm] und die Urbilder unter der Exponentialabbildung: [mm] exp^{-1}(A_{i}), [/mm] i=1,..,4. |
Hallo,
beim Zeichnen und bestimmen der [mm] A_{i} [/mm] habe ich einige Ansätze, kann mir aber noch nicht die Urbilder unter der Exponentialabbildung [mm] (exp^{-1}(A_{i}), [/mm] i=1,..,4) vorstellen. Kann mir das jemand anschaulich erklären?
Zu [mm] A_{1}: [/mm]
In Polarkoordinaten ist |z|=r. Der Radius muss bei dieser Menge zwischen [mm] e^{1} [/mm] und [mm] e^{2} [/mm] liegen; das arg(z), also der Winkel, ist beliebig. D.h. meine Zeichnung umfasst vollständige kreise mit den Radien [mm] e^{1} [/mm] bis [mm] e^{2}, [/mm] soweit richtig? Was brauche ich für die Umkehrabbildung von exp, wie sieht diese aus?
Zu [mm] A_{2}: [/mm]
In Polarkoordinaten ist arg(z) der Winkel, der zwischen 0 und [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] liegt. Der Radius ist beliebig. D.h. meine Zeichnung umfasst den Bereich von 0°-45°, wobei der Radius absolut beliebieg ist und somit der Beriech "unendlich" weitergeht, soweit richtig? Was brauche ich für die Umkehrabbildung von exp, wie sieht diese aus?
Zu [mm] A_{3}: [/mm]
Wir haben den Bereich der komplexen Zahlen ohne x [mm] \le [/mm] 0, d.h. auf der y-Achse und links von dieser, d.h. in meiner Zeichnung markiere ich einfach alles von der y-achse nach links weg? Was brauche ich für die Umkehrabbildung von exp, wie sieht diese aus?
Zu [mm] A_{4}: [/mm]
Radius liegt zwischen [mm] e^{1} [/mm] und [mm] e^{2}; [/mm] Winkel zwischen 0 und [mm] \bruch{\pi}{4}. [/mm] Also betrachte ich nur den Bereich zwischen 0 und 45° und zeichne Achtelkreise mit den radien zwischen [mm] e^{1} [/mm] und [mm] e^{2}. [/mm] Soweit richtig? Was brauche ich für die Umkehrabbildung von exp, wie sieht diese aus?
Beste Grüße
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> Es seien die Mengen
> [mm]A_{1}=\{z \in \IC | e<|z|
> [mm]A_{2}=\{z \in \IC | 0
>
> [mm]A_{3}=\IC[/mm] \ [mm]\{x \in \IR | x \le 0 \},[/mm]
> [mm]A_{4}=\{z \in \IC | e<|z|
> gegeben.
> Bestimmen und zeichnen Sie [mm]A_{i}[/mm] und die Urbilder unter
> der Exponentialabbildung: [mm]exp^{-1}(A_{i}),[/mm] i=1,..,4.
> Hallo,
>
> beim Zeichnen und bestimmen der [mm]A_{i}[/mm] habe ich einige
> Ansätze, kann mir aber noch nicht die Urbilder unter der
> Exponentialabbildung [mm](exp^{-1}(A_{i}),[/mm] i=1,..,4)
> vorstellen. Kann mir das jemand anschaulich erklären?
>
> Zu [mm]A_{1}:[/mm]
> In Polarkoordinaten ist |z|=r. Der Radius muss bei dieser
> Menge zwischen [mm]e^{1}[/mm] und [mm]e^{2}[/mm] liegen; das arg(z), also der
> Winkel, ist beliebig. D.h. meine Zeichnung umfasst
> vollständige kreise mit den Radien [mm]e^{1}[/mm] bis [mm]e^{2},[/mm] soweit
> richtig? Was brauche ich für die Umkehrabbildung von exp,
> wie sieht diese aus?
>
> Zu [mm]A_{2}:[/mm]
> In Polarkoordinaten ist arg(z) der Winkel, der zwischen 0
> und [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] liegt. Der Radius ist beliebig. D.h.
> meine Zeichnung umfasst den Bereich von 0°-45°, wobei der
> Radius absolut beliebieg ist und somit der Beriech
> "unendlich" weitergeht, soweit richtig? Was brauche ich
> für die Umkehrabbildung von exp, wie sieht diese aus?
>
> Zu [mm]A_{3}:[/mm]
> Wir haben den Bereich der komplexen Zahlen ohne x [mm]\le[/mm] 0,
> d.h. auf der y-Achse und links von dieser, d.h. in meiner
> Zeichnung markiere ich einfach alles von der y-achse nach
> links weg? Was brauche ich für die Umkehrabbildung von
> exp, wie sieht diese aus?
>
> Zu [mm]A_{4}:[/mm]
> Radius liegt zwischen [mm]e^{1}[/mm] und [mm]e^{2};[/mm] Winkel zwischen 0
> und [mm]\bruch{\pi}{4}.[/mm] Also betrachte ich nur den Bereich
> zwischen 0 und 45° und zeichne Achtelkreise mit den radien
> zwischen [mm]e^{1}[/mm] und [mm]e^{2}.[/mm] Soweit richtig? Was brauche ich
> für die Umkehrabbildung von exp, wie sieht diese aus?
>
> Beste Grüße
>
Hallo Rubstudent88,
ich vermute, dass dir hier nur generell eine Sache
nicht ganz klar ist. Du fragst mehrfach nach der
"Umkehrabbildung von exp". Ich kann dich beruhigen:
eine solche braucht man gar nicht wirklich. Gefragt
sind nur die Urbilder der 4 Mengen [mm] A_i [/mm] bei der Expo-
nentialfunktion.
Nehmen wir das erste Beispiel:
[mm] A_1 [/mm] ist die Menge aller komplexen Zahlen, deren Betrag
zwischen e und [mm] e^2 [/mm] liegt. Das Urbild von [mm] A_1 [/mm] bei der Exponen-
tialfunktion ist nun einfach die Menge aller komplexen
Zahlen w, welche durch die Exponentialfunktion exp auf
Punkte in [mm] A_1 [/mm] abgebildet werden, also die Menge
$\ [mm] U_1\ [/mm] =\ [mm] \{\,w\in\IC\ |\ exp(w)\in A_1\,\}$
[/mm]
Diese Menge bezeichnet man dann als [mm] exp^{-1}(A_1) [/mm] .
Zerlegen wir w in Realteil und Imaginärteil,
also $\ w=x+i*y$ , so haben wir
$\ exp(w)\ =\ [mm] e^{x+i*y}\ [/mm] =\ [mm] e^x*e^{i*y}$
[/mm]
Der Betrag von w ist [mm] |w|=e^x [/mm] , und die Bedingung,
dass w zu [mm] A_1 [/mm] gehören soll, wird damit einfach zu
[mm] e
Auf den Imaginärteil y von w kommt es dabei gar
nicht an. Damit wird klar, dass
$\ [mm] U_1\ [/mm] =\ [mm] exp^{-1}(A_1)\ [/mm] =\ [mm] \{ x+i*y\ |\ 1
Eine Funktion [mm] exp^{-1} [/mm] als eigentliche Umkehrfunktion
zur Funktion exp musste man für diese Überlegungen
überhaupt nicht heranziehen !
LG Al-Chw.
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