Mengen Skizzieren < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Di 17.12.2013 | | Autor: | sv-mann |
| Aufgabe | Skizzieren Sie die folgende Menge in der komplexen Ebene:
M:={z e C: |(z-i)/(z+i)|=2} |
Ich hab die obige Aufgabenstellung und weiß nicht so recht, wie ich da vorgehen soll, hab schon mit |(z+i)| mulipliziert, sodass |(z-i)|=2 |z+i| da stand, anschließend hab ich mir überlegt z:=a+bi zu setzen und hab dann versucht den Betrag aufzulösen, aber bin dann irgendwie nicht mehr weitergekommen.
Würde mich sehr über eine Idee freuen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Di 17.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Skizzieren Sie die folgende Menge in der komplexen Ebene:
>
> M:={z e C: |(z-i)/(z+i)|=2}
> Ich hab die obige Aufgabenstellung und weiß nicht so
> recht, wie ich da vorgehen soll, hab schon mit |(z+i)|
> mulipliziert, sodass |(z-i)|=2 |z+i| da stand,
> anschließend hab ich mir überlegt z:=a+bi zu setzen und
> hab dann versucht den Betrag aufzulösen, aber bin dann
> irgendwie nicht mehr weitergekommen.
Ich würde das direkt über z=a+ib lösen.
Aus
[mm] \left|\frac{z-i}{z+i}\right|=2
[/mm]
folgt dann also:
[mm] \left|\frac{a+bi-i}{a+bi+i}\right|=2
[/mm]
Und
[mm] \left|\frac{a+bi-i}{a+bi+i}\right|=2
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\left|\frac{a+(b-1)i}{a+(b+1)i}\right|=2
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\left|\frac{(a+(b-1)i)\cdot(a-(b+1)i)}{(a+(b+1)i)\cdot(a-(b+1)i)}\right|=2
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\left|\frac{(a+(b-1)i)^{2}}{a^{2}-((b+1)i)^{2}}\right|=2
[/mm]
Nun ist der Nenner rational, das sollte das ganze stark vereinfachen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Di 17.12.2013 | | Autor: | sv-mann |
gut, wenn man den Nenner nun auf die andre Seite bringt war ich genau so weit, das Problem ist ja, dass ich die Menge skizzieren soll, nur weiß ich nicht wirklich wie mir das hilft die Menge zu skizzieren.> Hallo und
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Di 17.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
> gut, wenn man den Nenner nun auf die andre Seite bringt war
> ich genau so weit,
Das würde ich nicht tun.
Besser wäre es, du würdest den Betrag zu A+iB zusammenfassen, und dann den Betrag ausschreiben.
> das Problem ist ja, dass ich die Menge
> skizzieren soll, nur weiß ich nicht wirklich wie mir das
> hilft die Menge zu skizzieren.
Schreibe die Gleichung erstmal sauber um.
[mm] \left|\frac{(a+(b-1)i)^{2}}{a^{2}-((b+1)i)^{2}}\right|=2 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow\left|\frac{a^{2}+2a(b-1)i+i^{2}}{a^{2}+(b+1)^{2}}\right|=2 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow\left|\frac{a^{2}+1}{a^{2}+(b+1)^{2}}+\frac{2a(b-1)}{a^{2}+(b+1)^{2}}\cdot i}\right|=2 [/mm]
Jetzt wende mal den Betrag sauber an.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Di 17.12.2013 | | Autor: | sv-mann |
Muss es nicht a²-1 sein?
Ok hab ich probiert, hab dann Wurzel von dem linken teil zum Quadrat plus der rechte teil zum Quadrat. Anschließend hab ich alles quadriert, damit die Wurzel rausfliegt. Dann hab ich versucht das Quadrat aufzuteilen und alle binomischen Formeln auszurechnen, da ergibt sich aber ein ziemlich lange Gleichung. Oder sollte man es gar nicht ausrechnen?
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Hallo,
ich würde das gar nixht so umständlich machen.
Es ist doch [mm]\left|\frac{w_1}{w_2}\right|=\frac{|w_1|}{|w_2|}[/mm]
Also [mm]\left|\frac{z-i}{z+i}\right|=\frac{|(a+(b-1)i|}{|a+(b+1)i|}=\frac{\sqrt{a^2+(b-1)^2}}{\sqrt{a^2+(b+1)^2}}[/mm]
Und das soll [mm]=2[/mm] sein.
Dann einfach quadrieren ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:14 Di 17.12.2013 | | Autor: | sv-mann |
Ja, so sieht die ganze Sache schon mal gut aus, hab dann herausgefunden, dass, a=0 und b=-3 eine mögliche Lösung ist, das heißt dann ja, dass z=-3i, aber was muss ich dann jetzt zeichnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Di 17.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo sv-mann!
> hab dann herausgefunden, dass, a=0 und b=-3 eine mögliche Lösung
> ist,
Wie hast Du das herausgefunden? Durch Probieren?
Denn es gibt unendlich viele Lösungen.
Oder hast Du das rechnerisch bestimmt? Dann poste bitte auch Deinen Rechenweg.
> aber was muss ich dann jetzt zeichnen?
Siehe dazu meine andere Antwort mit dem Querverweis.
Dort ergibt sich als Ergebnis eine ziemlich "runde Sache"  , die man dann zeichnen kann.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Di 17.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo sv-mann!
Schau mal hier [mm] ($\leftarrow$ [i]click it![/i]).
Da wurde dieselbe Aufgabe vor kurzem behandelt.
Gruß
Loddar
[/mm]
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