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Ich hoffe es kann mir jemand helfen, wir haben zur UE von Analysis folgende Aufgabe auf:
Wird dieser Körper K durch die lexikographische Ordnung [mm] \le [/mm] lex:
[mm] a+b\wurzel{2} [/mm] <lex [mm] c+d\wurzel{2} \gdw [/mm] a<c oder (a=c und b<d)
zu einem angeordneten Körper? Sind diese Anordnungen archimedisch?
Wobei dies ist die Darstellung von Zahlen aus [mm] \IR.
[/mm]
Ich habe versucht, die Kriterien für K^+ für den angeordneten Körper zu überprüfen. Ich kam zu dem Ergebnis es ist einer,
denn: [mm] (a+b\wurzel{2}) \oplus (c+d\wurzel{2})=a+c+(b+d)\wurzel{2} [/mm] ist wieder eine Zahl aus [mm] \IR [/mm] = abgeschlossen für [mm] \oplus
[/mm]
[mm] (a+b\wurzel{2}) \odot (c+d\wurzel{2})= ac+2bd+(ad+cd)\wurzel{2} [/mm] abeschlossen für [mm] \odot
[/mm]
[mm] 0\not\in [/mm] K^+
[mm] (a+b\wurzel{2}) \in \IR^+ \wedge -(a+b\wurzel{2}) \not\in \IR^+
[/mm]
[mm] \vee -(a+b\wurzel{2}) \in \IR^+ \wedge (a+b\wurzel{2}) \not\in \IR^+
[/mm]
dann habe ich versucht die archimedische Eigenschaft anzuwenden:
aber ab da. steige ich aus...
oder ich habe die Aufgabe nicht verstanden, wäre auch möglich..l
Ich hoffe Ihr kennt euch aus...
Danke im Voraus..
lg Paula
PS:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Do 04.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo perkipaula,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Wird dieser Körper K durch die lexikographische Ordnung
> [mm]\le[/mm] lex:
>
> [mm]a+b\wurzel{2}[/mm] <lex [mm]c+d\wurzel{2} \gdw[/mm] a<c oder (a=c und
> b<d)
> zu einem angeordneten Körper? Sind diese Anordnungen
> archimedisch?
> Wobei dies ist die Darstellung von Zahlen aus [mm]\IR.
[/mm]
> Ich habe versucht, die Kriterien für K^+ für den
> angeordneten Körper zu überprüfen. Ich kam zu dem Ergebnis
> es ist einer,
> denn: [mm](a+b\wurzel{2}) \oplus (c+d\wurzel{2})=a+c+(b+d)\wurzel{2}[/mm]
> ist wieder eine Zahl aus [mm]\IR[/mm] = abgeschlossen für [mm]\oplus
[/mm]
> [mm](a+b\wurzel{2}) \odot (c+d\wurzel{2})= ac+2bd+(ad+cd)\wurzel{2}[/mm]
> abeschlossen für [mm]\odot
[/mm]
> [mm]0\not\in[/mm] K^+
> [mm](a+b\wurzel{2}) \in \IR^+ \wedge -(a+b\wurzel{2}) \not\in \IR^+
[/mm]
>
> [mm]\vee -(a+b\wurzel{2}) \in \IR^+ \wedge (a+b\wurzel{2}) \not\in \IR^+
[/mm]
Soweit ich das überblicke, hast du hier nur überprüft, dass es sich um einen  Körper handelt, das interessante ist hier aber doch, ob dieser sich anordnen lässt. Naja, vielleicht meinst du das auch mit den letzten beiden Ausdrücken.
Schreibe uns doch mal die Bedingungen, die für einen Körper gelten müssen, damit es sich um einen angeordneten Körper handelt.
In unserer MatheBank habe ich eine Definition eines angeordneten Körpers aufgenommen, die aber nicht Eure zu sein scheint.
> dann habe ich versucht die archimedische Eigenschaft
> anzuwenden:
> aber ab da. steige ich aus...
Hier nimmst du das neutrale Element der Multiplikation [mm] $1_K$ [/mm] her und zeigst, dass die Folge [mm] $(n*1_K)_{n\in\IN}$ [/mm] unbeschränkt ist.
Ein Weg wäre, das über einen Widerspruch zu beweisen, indem du dir eine Schranke [mm] $S\in [/mm] K$ vorgibst und dann zeigst, dass es ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] gibt, so dass
[mm] $n*1_K\ge_{\mbox\scriptsize lex} [/mm] S$
Bei Fragen und Ergebnisüberprüfungen wende dich einfach wieder an uns 
Viele Grüße,
Marc
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