Mengen Beweis < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Mo 29.10.2007 | | Autor: | then3210 |
| Aufgabe | Vorgabe: A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] M
Zeigen sie das gilt für jede Menge X [mm] \subseteq [/mm] M gilt:
X=(X [mm] \cap [/mm] (M \ A)) [mm] \cup [/mm] (X [mm] \cap [/mm] B) |
Wie funktioniert der Beweis?
Ich würde sagen es stimmt, da ich X mit M ohne A schneide und dann mit X geschnitten B vereinige, wobei ja A eine Teilmenge von B ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Vorgabe: A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\subseteq[/mm] M
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> Zeigen sie das gilt für jede Menge X [mm]\subseteq[/mm] M gilt:
> X=(X [mm]\cap[/mm] (M \ A)) [mm]\cup[/mm] (X [mm]\cap[/mm] B)
> Wie funktioniert der Beweis?
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> Ich würde sagen es stimmt, da ich X mit M ohne A schneide
> und dann mit X geschnitten B vereinige, wobei ja A eine
> Teilmenge von B ist.
Um, das mag ja sein: dass Du gleich bis auf den Boden der Tasse sehen kannst. Was mich betrifft, ich bräuchte einige formal einwandfreie Überlegungen, um die Gültigkeit der Behauptung einzusehen.
Bedenke etwa folgende äquivalente Umformung der rechten Seite der zu beweisenden Gleichheit ("Distributivgesetz"):
[mm](X\cap (M\backslash A))\cup (X\cap B)=X\cap ((M\backslash A)\cup B)[/mm]
Wegen [mm] $X\subseteq [/mm] M$ gilt zudem [mm] $X=X\cap [/mm] M$, also würde es genügen zu zeigen, dass aus der Voraussezung [mm] $A\subseteq B\subseteq [/mm] M$ folgt, dass [mm] $(M\backslash A)\cup [/mm] B=M$ ist. Falls Dir dies gelingt, könntest Du nämlich die obige Umformungskette wie folgt fortsetzen
[mm](X\cap (M\backslash A))\cup (X\cap B)=X\cap ((M\backslash A)\cup B)=X\cap M=X[/mm]
womit die Behauptung bewiesen wäre.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Mo 29.10.2007 | | Autor: | then3210 |
> Um, das mag ja sein: dass Du gleich bis auf den Boden der
> Tasse sehen kannst. Was mich betrifft, ich bräuchte einige
> formal einwandfreie Überlegungen, um die Gültigkeit der
> Behauptung einzusehen.
> Bedenke etwa folgende äquivalente Umformung der rechten
> Seite der zu beweisenden Gleichheit ("Distributivgesetz"):
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> [mm](X\cap (M\backslash A))\cup (X\cap B)=X\cap ((M\backslash A)\cup B)[/mm]
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> Wegen [mm]X\subseteq M[/mm] gilt zudem [mm]X=X\cap M[/mm], also würde es
> genügen zu zeigen, dass aus der Voraussezung [mm]A\subseteq B\subseteq M[/mm]
> folgt, dass[mm](M\backslash A)\cup B=M[/mm] ist. Falls Dir dies
> gelingt, könntest Du nämlich die obige Umformungskette wie
> folgt fortsetzen
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> [mm](X\cap (M\backslash A))\cup (X\cap B)=X\cap ((M\backslash A)\cup B)=X\cap M=X[/mm]
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> womit die Behauptung bewiesen wäre.
Ich kann dem zwar folgen aber selber hätte ich das nicht hinbekommen.
Und ich muß leider eingestehen es ist bestimmt nicht so schwer aber ich komme nicht weiter.
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> > Um, das mag ja sein: dass Du gleich bis auf den Boden der
> > Tasse sehen kannst. Was mich betrifft, ich bräuchte einige
> > formal einwandfreie Überlegungen, um die Gültigkeit der
> > Behauptung einzusehen.
> > Bedenke etwa folgende äquivalente Umformung der rechten
> > Seite der zu beweisenden Gleichheit ("Distributivgesetz"):
> >
> > [mm](X\cap (M\backslash A))\cup (X\cap B)=X\cap ((M\backslash A)\cup B)[/mm]
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> >
> > Wegen [mm]X\subseteq M[/mm] gilt zudem [mm]X=X\cap M[/mm], also würde es
> > genügen zu zeigen, dass aus der Voraussezung [mm]A\subseteq B\subseteq M[/mm]
> > folgt, dass[mm](M\backslash A)\cup B=M[/mm] ist. Falls Dir dies
> > gelingt, könntest Du nämlich die obige Umformungskette wie
> > folgt fortsetzen
> >
> > [mm](X\cap (M\backslash A))\cup (X\cap B)=X\cap ((M\backslash A)\cup B)=X\cap M=X[/mm]
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> >
> > womit die Behauptung bewiesen wäre.
>
> Ich kann dem zwar folgen aber selber hätte ich das nicht
> hinbekommen.
Aber es ist doch naheliegend, vor jeder weiteren Gehirnakrobatik, die Behauptung durch Anwenden einer recht offensichtlichen Umformung ("Distributivgesetz") auf eine einfachere Form zu bringen. Dass [mm] $X\cap [/mm] M=X$ genau dann gilt, wenn [mm] $X\subseteq [/mm] M$ ist, sollte auch irgendwie zum Grundwissen in Mengenlehre gehören - oder jedenfalls in nützlicher Frist dazu gehören...
> Und ich muß leider eingestehen es ist bestimmt nicht so
> schwer aber ich komme nicht weiter.
Zu beweisen war also noch, dass aus [mm] $A\subseteq B\subseteq [/mm] M$ folgt, dass [mm] $(M\backslash A)\cup [/mm] B=M$ ist. Dann haben wir (zusammen mit dem in meiner ersten Antwort Geschriebenen) die Behauptung bewiesen. - Einverstanden?
Betrachte zunächst eine einfachere Behauptung als [mm] $(M\backslash A)\cup [/mm] B=M$: es ist, wegen [mm] $B\subseteq [/mm] M$, jedenfalls [mm] $(M\backslash B)\cup [/mm] B=M$. - Einverstanden?
Falls einverstanden: was geschieht nun, wenn man in der einfacheren Behauptung [mm] $(M\backslash B)\cup [/mm] B=M$ den Ausdruck [mm] $M\backslash [/mm] B$ durch [mm] $M\backslash [/mm] A$ ersetzt? - Antwort: die Menge wird grösser! (Weil aus [mm] $A\subseteq [/mm] B$ folgt, dass [mm] $M\backslash B\subseteq M\backslash [/mm] A$).
Jedoch kann [mm] $(M\backslash A)\cup [/mm] B$ nicht grösser als $M$ werden, da beide an dieser Vereinigung beteiligten Mengen [mm] $\subseteq [/mm] M$ sind. Damit haben wir folgende Inklusionskette, die mit derselben Menge $M$ beginnt und endet (weshalb man sogar alle [mm] $\subseteq$-Symbole [/mm] durch $=$-Symbole ersetzen darf)
[mm]M=(M\backslash B)\cup B\subseteq (M\backslash A)\cup B\subseteq M[/mm]
und daher, wie gewünscht [mm] $(M\backslash A)\cup [/mm] B=M$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:00 Mo 29.10.2007 | | Autor: | then3210 |
> Aber es ist doch naheliegend, vor jeder weiteren
> Gehirnakrobatik, die Behauptung durch Anwenden einer recht
> offensichtlichen Umformung ("Distributivgesetz") auf eine
> einfachere Form zu bringen.
Habe ich nicht gesehen.
> Dass [mm]X\cap M=X[/mm] genau dann gilt,
> wenn [mm]X\subseteq M[/mm] ist, sollte auch irgendwie zum
> Grundwissen in Mengenlehre gehören - oder jedenfalls in
> nützlicher Frist dazu gehören...
Das wußte ich sogar aber die Kombination....
> Betrachte zunächst eine einfachere Behauptung als
> [mm](M\backslash A)\cup B=M[/mm]: es ist, wegen [mm]B\subseteq M[/mm],
> jedenfalls [mm](M\backslash B)\cup B=M[/mm]. - Einverstanden?
> Falls einverstanden: was geschieht nun, wenn man in der
> einfacheren Behauptung [mm](M\backslash B)\cup B=M[/mm] den Ausdruck
> [mm]M\backslash B[/mm] durch [mm]M\backslash A[/mm] ersetzt? - Antwort: die
> Menge wird grösser! (Weil aus [mm]A\subseteq B[/mm] folgt, dass
> [mm]M\backslash B\subseteq M\backslash A[/mm]).
> Jedoch kann
> [mm](M\backslash A)\cup B[/mm] nicht grösser als [mm]M[/mm] werden, da beide
> an dieser Vereinigung beteiligten Mengen [mm]\subseteq M[/mm] sind.
> Damit haben wir folgende Inklusionskette, die mit derselben
> Menge [mm]M[/mm] beginnt und endet (weshalb man sogar alle
> [mm]\subseteq[/mm]-Symbole durch [mm]=[/mm]-Symbole ersetzen darf)
>
> [mm]M=(M\backslash B)\cup B\subseteq (M\backslash A)\cup B\subseteq M[/mm]
>
> und daher, wie gewünscht [mm](M\backslash A)\cup B=M[/mm].
Die Idee mit A ist Teilmenge von B und deshalb bleibt M durch die Vereinigung mit B wie es ist hatte ich auch aber ich dachte ich muß es anders Beweisen.
Vielen Dank für die Hilfe.
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