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Hallo, ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann. Soll zwar ganz simpel sein, aber irgendwie steig ich da nicht durch!
Seien A,B Mengen, [mm] $f:A\to [/mm] B$ eine Abbildung und $M1, [mm] M2\subseteq [/mm] A$ sowie $N1, [mm] N2\subseteq [/mm] B$. Zeigen Sie:
(a) [mm] M1\subseteq [/mm] M2 [mm] \Rightarrow [/mm] f(M1) [mm] \subseteq [/mm] f(M2);
[mm] N1\subseteq [/mm] N2 [mm] \Rightarrow f^{-1}(N1)\subseteq f^{-1}(N2).
[/mm]
(b) [mm] f(M1\cap M2)\subseteq f(M1)\cap [/mm] f(M2). Unter welcher Voraussetzung an f gilt für alle Mengen M1,M2 [mm] \subseteq [/mm] A die Beziehung [mm] f(M1\cap M2)=f(M1)\cap [/mm] f(M2) ???????
(c) Zeigen Sie:
[mm] f(M1\cup M2)=f(M1)\cup [/mm] f(M2)
Wer kann mir da helfen? wäre echt nett, danke! Martin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf einer anderen Internetseite gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 So 24.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Marvpeiler13,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Seien A,B Mengen, [mm]f:A\toB[/mm] eine Abbildung und M1,
> [mm]M2\subseteq A[/mm] sowie N1, [mm]N2\subseteq B.[/mm] Zeigen Sie:
>
> (a) [mm]M1\subseteq[/mm] M2 [mm]\Rightarrow[/mm] f(M1) [mm]\subseteq[/mm] f(M2);
Der "Trick" bei diesen Mengeninklusionen ist, diese in logische Ausdrücke umzuformulieren
Zum Beispiel bedeutet [mm] $M_1\subseteq M_2$ [/mm] folgende logische Implikation:
[mm] $x\in M_1\ \Rightarrow\ x\in M_2$
[/mm]
Du sollst nun zeigen, dass folgendes gilt:
[mm] $y\in f(M_1)\ \Rightarrow\ y\in f(M_2)$
[/mm]
Da es hier nur um das Üben von Formalismen geht, führe ich mal den Beweis für diese Aufgabe vor, un du versuchst dich an den anderen Beweisen, ja? 
Voraussetzung: A,B Mengen, [mm] $f:A\to [/mm] B$ eine Abbildung und [mm] $M_1,M_2 \subseteq [/mm] A$, [mm] $M_1\subseteq M_2$
[/mm]
Behauptung: [mm] $f(M_1)\subseteq f(M_2)$
[/mm]
Beweis:
Sei [mm] $y\in f(M_1)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Es existiert [mm] $x\in M_1$, [/mm] so dass $f(x)=y$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] (wegen [mm] $M_1\subseteq M_2$) $x\in M_2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $f(x)\in f(M_2)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] (wegen y=f(x)) [mm] $y\in f(M_2)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Behauptung. [mm] $\Box$
[/mm]
> [mm]N1\subseteq[/mm] N2 [mm]\Rightarrow f^{-1}(N1)\subseteq f^{-1}(N2).
[/mm]
>
>
> (b) [mm]f(M1\cap M2)\subseteq f(M1)\cap[/mm] f(M2). Unter welcher
> Voraussetzung an f gilt für alle Mengen M1,M2 [mm]\subseteq[/mm] A
> die Beziehung [mm]f(M1\cap M2)=f(M1)\cap[/mm] f(M2) ???????
>
> (c) Zeigen Sie:
> [mm]f(M1\cup M2)=f(M1)\cup[/mm] f(M2)
>
>
> Wer kann mir da helfen? wäre echt nett, danke! Martin
Probiere diese Aufgabe noch nun mal selbst, wir helfen dir, wenn du ins Stocken gerätst
Viele Grüße,
Marc
PS: Übrigens solltest du nach den LaTeX-Befehlen wie z.B. \subseteq ein Leerzeichen anfügen, dann werden diese Zeichen auch nicht verschluckt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:22 Di 26.10.2004 | | Autor: | maria |
Ich habe dieselben Aufgaben zu lösen, aber kann die Lösungsmöglichkeit von dem ersten Teil nicht nachvollziehen und habe somit auch Probleme mit den nachfolgenden Aufgaben. Marc, kannst du deine Lösung vielleicht ausführlicher schreiben oder kann mir jemand einen Hinweis geben?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Di 26.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo maria,
> Ich habe dieselben Aufgaben zu lösen, aber kann die
> Lösungsmöglichkeit von dem ersten Teil nicht nachvollziehen
> und habe somit auch Probleme mit den nachfolgenden
> Aufgaben. Marc, kannst du deine Lösung vielleicht
> ausführlicher schreiben oder kann mir jemand einen Hinweis
> geben?
Einfacher ist, denke ich, du sagst mir, an welcher Stelle du etwas nicht verstanden hast, sonst werde ich vielleicht an der falschen Stelle zu ausführlich.
Bis gleich,
Marc
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Di 26.10.2004 | | Autor: | maria |
du schließt von y [mm] \in [/mm] f(M1) sofort auf y [mm] \in [/mm] f(M2) , mit der Begründung, dass aus x [mm] \in [/mm] M1 x [mm] \in [/mm] M2 folgt. Damit soll ich den Ausdruck [mm] M1\subseteq [/mm] M2 [mm] \Rightarrow [/mm] f(M1) [mm] \subseteq [/mm] f(M2) schon gezeigt haben????
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:03 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo maria,
> du schließt von y [mm]\in[/mm] f(M1) sofort auf y [mm]\in[/mm] f(M2) , mit
> der Begründung, dass aus x [mm]\in[/mm] M1 x [mm]\in[/mm] M2 folgt. Damit
> soll ich den Ausdruck [mm]M1\subseteq[/mm] M2 [mm]\Rightarrow[/mm] f(M1)
> [mm]\subseteq[/mm] f(M2) schon gezeigt haben????
Was soll ich dazu anderes sagen ausser "Ja"?
Ich umschreibe es nochmal in Worten.
Ich werde zeigen, dass jedes Element y aus [mm] f(M_1) [/mm] auch in [mm] f(M_2) [/mm] liegt (das ist gleichbedeutend mit [mm] $f(M_1)\subseteq f(M_2)$).
[/mm]
Ich nehme mir ein beliebiges Element [mm] $y\in f(M_1)$ [/mm] her. Zu diesem gibt es ein Urbild x (also f(x)=y).
Dieses Urbild x liegt natürlich in [mm] $M_1$ [/mm] (da y aus [mm] f(M_1) [/mm] ist.)
Nun ist aber jedes Element x aus [mm] M_1 [/mm] auch in der Menge [mm] M_2 [/mm] enthalten (wegen [mm] $M_1\subseteq M_2$).
[/mm]
(Zur Verdeutlichung: Es gilt [mm] $x\in M_1$ [/mm] und [mm] $x\in M_2$)
[/mm]
Also liegt y=f(x) auch in der Menge [mm] f(M_2).
[/mm]
Das war in Worten nochmal mein ursprünglicher Beweis, ich hoffe, es ist klarer geworden.
Sonst frage bitte nach.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 Mi 27.10.2004 | | Autor: | maria |
Dank dir, Marc. Inzwischen habe ich auch die restlichen Aufgaben bearbeitet. Ob ich es nun richtig verstanden habe, wird sich nächste Woche zeigen, wenn wir die Übungsaufgaben zurückbekommen. Ich kann dir ja bescheid sagen Danke für die Arbeit, die du dir mit mir gemacht hast. Gruß, Maria
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