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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Do 01.05.2014 | | Autor: | Onepath |
| Aufgabe | | A [mm] \cap [/mm] B = A -> A [mm] \cup [/mm] B = B |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gleiches Anliegen. Ich bedanke mich für die Mühen.
Meine Lösung:
Sei x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B. Daraus folgt insbesondere x [mm] \in [/mm] A. Sei x [mm] \in [/mm] A, so folgt laut Definition der Vereinigung, dass A [mm] \cup [/mm] B, da x [mm] \in [/mm] A ist. Aus der Voraussetzung A [mm] \cap [/mm] B folgt insbesondere auch x [mm] \in [/mm] B. Sei x [mm] \in [/mm] B, so folgt ebenfalls aus der Definition der Vereinigung A [mm] \cap [/mm] B.
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Hallo,
ich antworte mal, allerdings vom Handy aus, daher das ganze mal nur in 'verbal'.
Bis jetzt hast du nur gezeigt, dass der Schnitt von A und B in der Vereinigung der beiden Mengen enthalten ist. Das ist jetzt nicht wirklich überraschend. 
Gehe das mal grob so an: die Differenz A außer dem Schnitt von A und B ist leer. Daraus folgt sofort eine Teilmengen-Beziehung zwischen A und B, aus der sich wiederum die Behauptung zeigen lässt.
Wenn du das nachvollziehen kannst, dann versuche mal, es mathematisch sauber zu notieren. Sonst frage einfach weiter nach!
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Do 01.05.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Onepath!
Zu zeigen ist [mm] $A\cup [/mm] B=B$ (unter der Voraussetzung [mm] $A\cap [/mm] B=A$).
Zeige also nacheinander [mm] $A\cup B\subseteq [/mm] B$ und [mm] $A\cup B\supseteq [/mm] B$.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Onepath |
OK, ich werds nun bearbeiten. Dennoch eine Frage: Wieso muss ich die erste Gleichheit nicht zeigen, und darf sie sogar als Voraussetzung einfach nutzen?
Also: A [mm] \cap [/mm] B = A (wieso darf ich das einfach benutzen? Ich dachte man müsse hier seinn Beweis ansetzen.
Jetzt zur Lösung:
1. Aus x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B folgt, dass x entweder [mm] \in [/mm] A oder [mm] \in [/mm] B ist, Falls Letzteres der Fall, so ist man fertig. Falls x [mm] \in [/mm] A, dann gilt nach der Voraussetzung A [mm] \cap [/mm] B, dass x auch [mm] \in [/mm] A ist.
2. Sei nun x [mm] \in [/mm] B, daraus folgt aus der Voraussetzung A [mm] \cap [/mm] B, dass x auch [mm] \in [/mm] A ist. Folglich gilt A [mm] \cup [/mm] B
Passts?
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> OK, ich werds nun bearbeiten. Dennoch eine Frage: Wieso
> muss ich die erste Gleichheit nicht zeigen, und darf sie
> sogar als Voraussetzung einfach nutzen?
Hallo,
die Antwort auf diese Frage ist leicht: Du darfst A [mm]\cap[/mm] B = A als Voraussetzung benutzen --- weil es die Voraussetzung ist.
Machen wir uns nochmal klar, was hier zu zeigen ist:
wenn man irgendzwei Mengen A und B hat, welche so beschaffen sind, daß Ihr Schnitt die Menge A ist,
dann ist zwingend ihre Vereinigung die Menge B.
Unter der Voraussetzung [mm] A\cap [/mm] B=A ist also zu zeigen
1. [mm] A\cup B\subseteq [/mm] B
und
2. [mm] B\subseteq A\cup [/mm] B.
Beweis:
> Also:
Es sei
>A [mm]\cap[/mm] B = A
> 1. Aus x [mm]\in[/mm] A [mm]\cup[/mm] B folgt, dass x entweder [mm]\in[/mm] A oder [mm]\in[/mm]
> B ist, Falls Letzteres der Fall, so ist man fertig. Falls x
> [mm]\in[/mm] A, dann gilt nach der Voraussetzung A [mm]\cap[/mm] [mm] B\red{=A}, [/mm]
>dass x
> auch [mm]\in[/mm] A ist.
Das wäre jetzt nichts, was einen vom Hocker reißt...
Interessant ist dies: nach Voraussetzung folgt, daß [mm] x\in [/mm] B.
>
> 2. Sei nun x [mm]\in[/mm] B, daraus folgt aus der Voraussetzung A
> [mm]\cap[/mm] B [mm] =\red{A}, [/mm] dass x auch [mm]\in[/mm] A ist.
Nein, aus [mm] A\cap [/mm] B=A folgt nicht, daß jedes Element von B auch in A ist.
Schau: [mm] A=\{1,2,3}, B=\{1,2,3,4\}.
[/mm]
Um zu zeigen, daß [mm] B\subseteq A\cup [/mm] B braucht man die Voraussetzung gar nicht:
wenn [mm] x\in [/mm] B, dann ist x natürlich in B oder in A, also [mm] x\in A\cup [/mm] B.
LG Angela
>Folglich gilt A [mm]\cup[/mm] B
>
> Passts?
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