Menge zusammenhängend < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag!
Wir haben in der Vorlesung Analysis IV den Begriff "zusammenhängend" studiert und ich habe diesbezüglich ein paar Unklarheiten.
Als erstes eine Bemerkung aus de Vorlesung:
Eine Teilmenge von [mm] \mathbb R [/mm] ist genau dann zusammenhängend, wenn sie bogenzusammenhängend ist.
Es gibt Teilmengen des [mm] \mathbb R^2 [/mm], die zusammenhängend , aber nicht bogenzusammenhängend sind.
Danach wurde ein Satz aufgeschrieben, der für mich im Gegensatz zu der Bemerkung steht...
SATZ:
Für eine offene Teilmenge X vo [mm] \mathbb R^n [/mm] sind äquivalent:
a) X ist zusammenhängend
b) X ist bogenzusammenhängend
c) Zu je zwei Punkten [mm] x, y \in X [/mm] gibt es einen Weg in X mit Anfangspunkt x und Endpunkt y.
Sehe ich das richtig, das da was fasch ist? Wenn nein, wo liegt mein Gedankenfehler???
Und noch zwei weitere Frage habe ich. Bei dem Beweis zu diesem Satz versteh ich nicht die Richtung:
a) [mm] \to [/mm] b)
Warum ist eine zusammenhängende Teilmenge gleichzeitig bogenzusammenhängend
a) [mm] \to [/mm] c)
Hier sagen wir:
Sei [mm] x_0 \in X [/mm] und sei [mm] A := \{ x \in X | x [/mm] kann mit [mm] x_0 [/mm] durch einen Weg verbunden werden [mm] \} [/mm].
Und nun zeigen wir: A = X
Warum ist die Richtung gezeigt, wenn wir diese Gleichheit bewiesen haben?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Mi 07.05.2008 | | Autor: | MacMath |
Hi
der Begriff Bogenzusammenhängend ist mir neu, ich kenne Wegzusammenhang, aber der ist genau durch c definiert, dann würde deine fRrage zu b->c keinen Sinn. Wie habt ihr Bogenzusammenhang definiert?
Der Knackpunkt an dem Satz des Profs ist das Wörtchen "offen".
Eine nicht wegzusammenhängende aber Wegzusammenhängende Teilmenge des [mm] R^3 [/mm] ist nicht offen.
Google mal nach dem "Kamm", wahrscheinlich weiß die Wikipedia auch was darüber.
Du dem Beweis von b->c:
Wenn die Menge der Puunkte die mit [mm] x_0 [/mm] verbunden werden können ganz A ist, dann können alle untereinander verbunden werden, indem man einen "Umweg" über [mm] x_0 [/mm] macht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
>
> der Begriff Bogenzusammenhängend ist mir neu, ich kenne
> Wegzusammenhang, aber der ist genau durch c definiert, dann
> würde deine fRrage zu b->c keinen Sinn. Wie habt ihr
> Bogenzusammenhang definiert?
Ein metrischer Raum heißt borgenzussammenhängeld , wenn gilt:
Sind [mm] x_0, x_1 \in X [/mm], so gibt es eine Kurve in X mit Anfangspunkt [mm] x_0 [/mm] und Endpunkt [mm] x_1 [/mm].
Ein metrischer Raum heißt zusammenhängend ,wenn die einzigen Teilmengen von X , die sowohl offen als auch abgeschlossen in X sind, X und [mm] \emptyset [/mm] sind.
> Der Knackpunkt an dem Satz des Profs ist das Wörtchen
> "offen".
> Eine nicht wegzusammenhängende aber Wegzusammenhängende
> Teilmenge des [mm]R^3[/mm] ist nicht offen.
Das verstehe ich nicht! Was ist der Unterschied zwischen wegzusammenhängende und Wegzusammenhängende ?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Mi 07.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Irmchen
> > Der Knackpunkt an dem Satz des Profs ist das Wörtchen
> > "offen".
> > Eine nicht wegzusammenhängende aber Wegzusammenhängende
> > Teilmenge des [mm]R^3[/mm] ist nicht offen.
>
> Das verstehe ich nicht! Was ist der Unterschied zwischen
> wegzusammenhängende und Wegzusammenhängende ?
Es sollte wohl heissen: ``Eine nicht wegzusammenhaengende aber zusammenhaengende Teilmenge des [mm] $\IR^3$ [/mm] ist nicht offen.''
Das zweite `weg' war einfach zu viel.
LG Felix
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