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Guten Abend!
Ich muss folgende Aufgabe lösen die an sich ziemlich logisch erscheint, aber mir dennoch viele Probleme bereitet. Z.z. ist: [mm] \overline{A \cap B}=\overlein{A} \cup \overline{B}.
[/mm]
Dazu würde ich zwei Mal eine Teilmenge zeigen.
Sei a [mm] \in \overline{A \cap B} [/mm] beliebig z.z. a [mm] \in (\overline{A} \cup \overline{B}).
[/mm]
a [mm] \in \overline{A \cap B} [/mm] => a [mm] \in \overline{A} \vee [/mm] a [mm] \in \overline{B} [/mm] => a [mm] \in (\overline{A} \cup \overline{B}).
[/mm]
Ist das bisher so richtig?
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> Guten Abend!
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> Ich muss folgende Aufgabe lösen die an sich ziemlich
> logisch erscheint, aber mir dennoch viele Probleme
> bereitet. Z.z. ist: [mm]\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}.[/mm]
>
> Dazu würde ich zwei Mal eine Teilmenge zeigen.
>
> Sei a [mm]\in \overline{A \cap B}[/mm] beliebig z.z. a [mm]\in (\overline{A} \cup \overline{B}).[/mm]
>
> a [mm]\in \overline{A \cap B}[/mm] => a [mm]\in \overline{A} \vee[/mm] a [mm]\in \overline{B}[/mm]
> => a [mm]\in (\overline{A} \cup \overline{B}).[/mm]
>
> Ist das bisher so richtig?
Richtig schon, aber zu wenig detailliert.
Eigentlich ist die Aussage trivial, du sagst ja schon, dass sie ziemlich logisch erscheint, und demnächst kannst du solche einfachen Dinge auch so abtun. Aber wenn man dir solche einfachen Dinge als Aufgabe stellt, sollst du sie in
diesem Ausbildungsstadium ganz kleinschrittig beweisen, um das zu lernen. Später kommen Aussagen auf dich zu, die nicht mehr so einfach zu überblicken sind, und wenn du das nicht an einfachen Beweisen geübt hast, machst du logische Fehler und "beweist" Dinge, die falsch sind.
a [mm] \in \overline{A \cap B} [/mm] => nicht (a [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B ) => nicht (a [mm] \in [/mm] A und a [mm] \in [/mm] B) => a [mm] \not\in [/mm] A oder a [mm] \not\in [/mm] B =>a [mm] \in \overline{A} [/mm] oder a [mm] \in \overline{B} [/mm] => a [mm] \in (\overline{A} \cup \overline{B})
[/mm]
Jetzt die Rückrichtung: ...
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Ich würde die Rückrichtung ähnlich wie die Hinrichtung machen.
b [mm] \in (\overline(A) \cup \overline(B)) [/mm] => nicht (b [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B) => nicht ( b [mm] \in [/mm] A oder b [mm] \in [/mm] B) => b [mm] \not\in [/mm] A und b [mm] \not\in [/mm] B => b [mm] \not\in [/mm] (A und B) => b [mm] \in (\overline(A \cap [/mm] B))
Richtig?
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Hallo,
siehe https://matheraum.de/read?t=1080177
und Tobias' Antwort auf deine Eingangsfrage.
LG
ChopSuey
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Meins ist doch genau das selbe nur anders aufgeschrieben oder sehe ich das falsch?
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> Meins ist doch genau das selbe nur anders aufgeschrieben
> oder sehe ich das falsch?
Du siehst das schon richtig, ist im Grunde dasselbe. Ich habe eine Implikation anders hingeschrieben und Äquivalenzpfeile benutzt um beide Richtungen in Einem zu zeigen. Wollte dir nur eine alternative Weise bzw Darstellung zeigen.
LG
ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:31 Fr 28.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ChopSuey!
> [mm]x \in \left(\overline{A} \cup \overline{B}\right) \gdw \left(x \in \overline{A}\right) \vee \left(x \in \overline{B}\right) \gdw \left(x\not\in A\right) \vee \left(x \not\in B\right) \gdw x\not\in \left(A\cap B\right) \gdw \left(x \in \overline{A} \right) \wedge \left( x \in \overline{B}\right) \gdw x \in \left(\overline{A \cap B}\right)[/mm]
Die letzten beiden Äquivalenzpfeile stimmen im Allgemeinen nicht.
Den mittleren Äquivalenzpfeil würde ich durch ein bis zwei Zwischenschritte untermauern.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Fr 28.10.2016 | | Autor: | ChopSuey |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Tobias,
stimmt! (war dann wohl zu Spät gestern für sowas) Es ist $ x \not\in \left(A \cap B \right) \Rightarrow \left( x \in A \wedge x \not\in B\right) \vee \left( x \not\in A \wedge x \in B\right) \vee \left( x \not\in A \wedge x \not\in B\Right) \Rightarrow \left( x \in A \wedge x \in \overline{B}) \vee \left( x \in \overline{A} \wedge x \in B\right) \vee \left( x \in \overline{A} \wedge x \in \overline{B}\right) $
Allg. finde ich es schöner es über die Komplementschreibweise $ A^C = X \setminus A $ mit $ A \subset X$ anzugeben.
Ich korrigier das im Anschluß und schreib's ausführlicher hin.
LG
ChopSuey
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> Ich würde die Rückrichtung ähnlich wie die Hinrichtung
> machen.
>
> b [mm]\in (\overline(A) \cup \overline(B))[/mm] => nicht (b [mm]\in[/mm] A
> [mm]\cup[/mm] B) => nicht ( b [mm]\in[/mm] A oder b [mm]\in[/mm] B) => b [mm]\not\in[/mm] A und
> b [mm]\not\in[/mm] B => b [mm]\not\in[/mm] (A und B) => b [mm]\in (\overline(A \cap[/mm]
> B))
>
> Richtig?
Ja, aber auch das überspringt zu Anfang viel zu viel, und die nächsten Schritte sind dann fast überflüssig:
b [mm]\in (\overline(A) \cup \overline(B))[/mm] => nicht (b [mm]\in[/mm] A [mm] \cup [/mm] B) (zu schnell, dafür aber dann nur noch:) => (b [mm]\in[/mm][mm] \overline{ A \cup B})
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:33 Fr 28.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo HJKweseleit!
> Ja, aber auch das überspringt zu Anfang viel zu viel, und
> die nächsten Schritte sind dann fast überflüssig:
>
> b [mm]\in (\overline(A) \cup \overline(B))[/mm] => nicht (b [mm]\in[/mm] A
> [mm]\cup[/mm] B) (zu schnell, dafür aber dann nur noch:) => (b [mm]\in[/mm][mm] \overline{ A \cup B})[/mm]
Man beachte, dass schon der erste dieser beiden Schritte im Allgemeinen falsch ist.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:27 Fr 28.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo DerPinguinAgent!
> b [mm]\in (\overline(A) \cup \overline(B))[/mm] => nicht (b [mm]\in[/mm] A
> [mm]\cup[/mm] B) => nicht ( b [mm]\in[/mm] A oder b [mm]\in[/mm] B) => b [mm]\not\in[/mm] A und
> b [mm]\not\in[/mm] B => b [mm]\not\in[/mm] (A und B) => b [mm]\in (\overline(A \cap[/mm]
> B))
(Bei der vorletzten Aussage meinst du sicherlich [mm] $A\cap [/mm] B$ statt (A und B), oder? "A und B" ergibt ja auch keinen Sinn.)
Der erste Folgerungspfeil ist im Allgemeinen falsch.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:41 Fr 28.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Zwei allgemeine Randbemerkungen:
1. Damit die vorliegende Aussage überhaupt Sinn ergibt, müssen A und B als Teilmengen einer explizit ausgezeichneten Menge M gewählt sein, bezüglich derer sämtliche auftretenden Komplemente gebildet werden.
2. Alle bisher angedeuteten Beweise fußen auf einem De Morganschen Gesetz der Aussagenlogik, nämlich [mm] $\neg (C\wedge D)\iff (\neg C)\vee (\neg [/mm] D)$ für alle Aussagen $C$ und $D$.
Falls diese Regel nicht als bekannt oder klar vorausgesetzt werden soll, ist der Beweis länger und braucht anscheinend die Mittel Fallunterscheidung und Widerspruchsbeweis.
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