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Menge von Funktionen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:37 Mo 19.12.2011
Autor: DudiPupan

Aufgabe
[mm] \IF^{\IN}_{2} [/mm] sei dir Menge der Funktionen von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IF_{2} [/mm]
Zu [mm] x\in \IF^{\IN}_{2} [/mm] definieren wir [mm] supp(x):=\{i\in \IN | x(i)=1 \}, [/mm] genannt Support von x.
[mm] \IF^{<\IN}_{2} [/mm] sei die Menge der Elemente von [mm] \IF^{\IN}_{2} [/mm] mit endlichem Support.
Zeigen Sie:
a) [mm] \IF^{\IN}_{2} [/mm] bildet zusammen mit der komponentenweisen Addition und skalaren Multiplikation einen Vektorraum über [mm] \IF_{2}. [/mm] Ferner ist [mm] \IF^{<\IN}_{2} [/mm] Unterraum von [mm] \IF^{\IN}_{2}. [/mm]
b) [mm] \IF^{<\IN}_{2}besitzt [/mm] keine endliche Basis als [mm] \IF_{2}-Vektorraum [/mm]
c) Für [mm] i\in\IN [/mm] sei [mm] f_{i}(j):=\delta_{ij}. [/mm] Dann ist [mm] \{f_{i} | i \in \IN \} [/mm] eine Basis von [mm] \IF^{<\IN}_{2} [/mm]

Also ich bin gerade bei der i)
Zuerst muss ich ja die abgeschlossenheit bezüglich Skalarmultiplikation und komponentenweiser Addition nachweisen:
Das habe ich mir so gedacht:

Seien [mm] x,y\in\IF^{\IN}_{2} [/mm] , [mm] \lambda\in\IF_{2} [/mm] , [mm] i,j\in\IN [/mm] , [mm] a,b,c,d\in\IN [/mm] mit:
[mm] $x(i):=a\equiv [/mm] b mod 2$
[mm] $y(j):=b\equiv [/mm] c mod 2$
Somit:
$(x+y)(i) = x(i)+y(i) = a + b [mm] \equiv [/mm] (b+c) mod 2 [mm] \in \IF_{2}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in \IF^{\IN}_{2}$ [/mm]
Somit ist [mm] \IF^{\IN}_{2} [/mm] unter komponentenweiser Addition abgeschlossen.
[mm] $(\lambda \* x)(i)=\lambda \* [/mm] x(i) = [mm] \lambda \* [/mm] a [mm] \equiv (\lambda \* [/mm] b)mod 2 [mm] \in \IF_{2}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow \lambda\* [/mm] x [mm] \in \IF^{\IN}_{2}$ [/mm]
Stimmt das bis jetzt ungefähr so? Und wie mache ich weiter??
Ich muss nun ja noch nachweisen:
[mm] $\lambda_{1} \* (\lambda_{2} \* [/mm] x) = ( [mm] \lambda_{1} \* \lambda_{2})\*x$ [/mm]
[mm] $\lambda \* [/mm] (x+y) = [mm] \lambda \* [/mm] x + [mm] \lambda \* [/mm] y$
[mm] $(\lambda_{1}+\labmda_2) \* [/mm] x = [mm] \lambda_1 \* [/mm] x + [mm] \lambda_2 \* [/mm] x$

Also kann ich das so machen, wie ich die Abgeschlossenheit auch gemacht habe?

Vielen Dank!


        
Bezug
Menge von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:48 Mo 19.12.2011
Autor: angela.h.b.


> [mm]\IF^{\IN}_{2}[/mm] sei dir Menge der Funktionen von [mm]\IN[/mm] nach
> [mm]\IF_{2}[/mm]
>  Zu [mm]x\in \IF^{\IN}_{2}[/mm] definieren wir [mm]supp(x):=\{i\in \IN | x(i)=1 \},[/mm]
> genannt Support von x.
>  [mm]\IF^{<\IN}_{2}[/mm] sei die Menge der Elemente von
> [mm]\IF^{\IN}_{2}[/mm] mit endlichem Support.
> Zeigen Sie:
>  a) [mm]\IF^{\IN}_{2}[/mm] bildet zusammen mit der komponentenweisen
> Addition und skalaren Multiplikation einen Vektorraum über
> [mm]\IF_{2}.[/mm] Ferner ist [mm]\IF^{<\IN}_{2}[/mm] Unterraum von
> [mm]\IF^{\IN}_{2}.[/mm]
>  b) [mm]\IF^{<\IN}_{2}besitzt[/mm] keine endliche Basis als
> [mm]\IF_{2}-Vektorraum[/mm]
>  c) Für [mm]i\in\IN[/mm] sei [mm]f_{i}(j):=\delta_{ij}.[/mm] Dann ist
> [mm]\{f_{i} | i \in \IN \}[/mm] eine Basis von [mm]\IF^{<\IN}_{2}[/mm]
>  Also ich bin gerade bei der i)

Hallo,

bei der a) meinst Du wohl.

>  Zuerst muss ich ja die abgeschlossenheit bezüglich
> Skalarmultiplikation und komponentenweiser Addition
> nachweisen:
>  Das habe ich mir so gedacht:
>  
> Seien [mm]x,y\in\IF^{\IN}_{2}[/mm] , [mm]\lambda\in\IF_{2}[/mm] , [mm]i,j\in\IN[/mm] ,
> [mm]a,b,c,d\in\IN[/mm] mit:
>  [mm]x(i):=a\equiv b mod 2[/mm]
>  [mm]y(j):=b\equiv c mod 2[/mm]


> Somit:
> $(x+y)(i) = x(i)+y(i) = a + b [mm] \equiv [/mm] (b+c) mod 2 [mm] \in \IF_{2}$ [/mm]

Das ist zu umständlich. Es reicht das Wissen, daß für alle [mm] i,j\in \IN [/mm] die Funktionswerte x(i) und y(i) [mm] \in \IF_2 [/mm] sind. Auf die Körpereigenschaften von [mm] \IF_2 [/mm] kannst Du Dich berufen.
Wenn Du das tust, umgehst du auch eine Unschönheit: Du setzt hier ja [mm] \IF_2 [/mm] gleich mit [mm] \IZ_2 [/mm] - was ja auch irgendwie stimmt: jeder Körper mit 2 Elementen ist isomorph zu [mm] \IZ_2. [/mm]

Ich würde das so machen: seien [mm] x,y\in \IF_2^{\IN}. [/mm]
z.z.: [mm] x+y\in \IF_2^{\IN} [/mm]
Bew: es sei [mm] i\in \IN. [/mm]
Es ist [mm] (x+y)(i)=x(i)+y(i)\in \IF_2, [/mm] denn [mm] \IF_2 [/mm] ist ein Körper.
Also ist [mm] x+y\in \IF_2^{\IN} [/mm]

In diesem Stile kannst du die anderen auch machen.



>  
> [mm]\Rightarrow x+y \in \IF^{\IN}_{2}[/mm]
>  Somit ist [mm]\IF^{\IN}_{2}[/mm]
> unter komponentenweiser Addition abgeschlossen.
>  [mm](\lambda \* x)(i)=\lambda \* x(i) = \lambda \* a \equiv (\lambda \* b)mod 2 \in \IF_{2}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \lambda\* x \in \IF^{\IN}_{2}[/mm]
>  Stimmt das bis
> jetzt ungefähr so? Und wie mache ich weiter??
>  Ich muss nun ja noch nachweisen:
> [mm]\lambda_{1} \* (\lambda_{2} \* x) = ( \lambda_{1} \* \lambda_{2})\*x[/mm]
>  
> [mm]\lambda \* (x+y) = \lambda \* x + \lambda \* y[/mm]
>  
> [mm](\lambda_{1}+\labmda_2) \* x = \lambda_1 \* x + \lambda_2 \* x[/mm]

Du bist im Begriff zu vergessen, daß Du zeigen mußt, daß [mm] 8\IF_2^{\IN}, [/mm] +) eine abelsche Gruppe ist.

Gruß v. Angela

>  
> Also kann ich das so machen, wie ich die Abgeschlossenheit
> auch gemacht habe?
>  
> Vielen Dank!
>  


Bezug
                
Bezug
Menge von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Mo 19.12.2011
Autor: DudiPupan

Okay, das hab ich jetzt soweit :)
Ja, das mit der abelschen Gruppe hab ich nur vergessen hinzuschreiben.
Jedoch versteh ich nicht ganz, was ich mir unter der Menge [mm] \IF^{<\IN}_{2} [/mm] vorstellen soll? Die Menge der Funktionen mit endlichem Support? Also die, die nicht unendlich viele x auf 0 Abbilden?
Aber wie arbeite ich damit?

Vielen Dank für die Antwort :)

Bezug
                        
Bezug
Menge von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:27 Mo 19.12.2011
Autor: fred97


> Okay, das hab ich jetzt soweit :)
>  Ja, das mit der abelschen Gruppe hab ich nur vergessen
> hinzuschreiben.
>  Jedoch versteh ich nicht ganz, was ich mir unter der Menge
> [mm]\IF^{<\IN}_{2}[/mm] vorstellen soll? Die Menge der Funktionen
> mit endlichem Support? Also die, die nicht unendlich viele
> x auf 0 Abbilden?
>  Aber wie arbeite ich damit?

Es ist [mm]x \in \IF^{<\IN}_{2}[/mm]   [mm] \gdw [/mm] es gibt ein j=j(x) [mm] \in \IN [/mm] mit x(i)=0  für alle i >j.

FRED

>  
> Vielen Dank für die Antwort :)


Bezug
                                
Bezug
Menge von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:52 Mo 19.12.2011
Autor: DudiPupan


> > Okay, das hab ich jetzt soweit :)
>  >  Ja, das mit der abelschen Gruppe hab ich nur vergessen
> > hinzuschreiben.
>  >  Jedoch versteh ich nicht ganz, was ich mir unter der
> Menge
> > [mm]\IF^{<\IN}_{2}[/mm] vorstellen soll? Die Menge der Funktionen
> > mit endlichem Support? Also die, die nicht unendlich viele
> > x auf 0 Abbilden?
>  >  Aber wie arbeite ich damit?
>  
> Es ist [mm]x \in \IF^{<\IN}_{2}[/mm]   [mm]\gdw[/mm] es gibt ein j=j(x) [mm]\in \IN[/mm]

Das verstehe ich nicht ganz. wir haben hier ein x aus [mm] \IF^{<\IN}_{2}, [/mm] also ist x ja auch [mm] \in \IN, [/mm] da [mm] \IF^{<\IN}_{2}:={x \in \IN | f(x)=1 für f \in \IF^{\IN}_{2}} [/mm] und somit ist das gewählte x eine natürl. Zahl. Also ist dein j dann wohl aus [mm] \IF^{\IN}_{2} [/mm]

> mit x(i)=0  für alle i >j.

aber warum ist x nun hiern auf einmal Funktion?

>  
> FRED
>  >  
> > Vielen Dank für die Antwort :)
>  


Bezug
                                        
Bezug
Menge von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:12 Mo 19.12.2011
Autor: angela.h.b.


>  >  >  Jedoch versteh ich nicht ganz, was ich mir unter der
> > Menge
> > > [mm]\IF^{<\IN}_{2}[/mm] vorstellen soll? Die Menge der Funktionen
> > > mit endlichem Support?

Hallo,

richtig.
Wir halten nochmal fest: in der Menge sind Funktionen.


> Also die, die nicht unendlich viele
> > > x auf 0 Abbilden?

Es sind die Funktionen drin, die nur endlich viele natürliche Zahlen auf die 1 abbilden und die anderen auf die 0.

>  >  >  Aber wie arbeite ich damit?

Ich weiß nicht recht, was Du meinst.
Du mußt jetzt die unterraumkriterien bemühen und nachweisen.

>  >  
> > Es ist [mm]x \in \IF^{<\IN}_{2}[/mm]   [mm]\gdw[/mm] es gibt ein j=j(x) [mm]\in \IN[/mm]

> Das verstehe ich nicht ganz. wir haben hier ein x aus
> [mm]\IF^{<\IN}_{2},[/mm] also ist x ja auch [mm]\in \IN,[/mm]

Grober Unfug!!! Du sagst doch oben selbst, daß x eine Funktion ist, nämlich eine Funktion, die aus den nat. Zahlen in den [mm] F_2 [/mm] abbildet.

Du darfst, egal ob die Funktion sich x oder f nennt, nie die Funktion und den Funktionswert an einer Stelle verwechseln, wobei hier auch x(i) für alle [mm] i\in \IN [/mm] nicht eine natürliche Zahl ist, sondern ein Element aus [mm] F_2. [/mm]

> da
> [mm]\IF^{<\IN}_{2}:=\{x \in \IN | f(x)=1\quad fuer \quad f \in \IF^{\IN}_{2}\}[/mm]

Diese Definition hast Du Dir ausgedacht.
Es gibt keinen Zusammenhang zur Aufgabenstellung.

Es ist [mm] \IF^{<\IN}_{2}:=\{x \in \IF_2^{\IN} | x(i)=1\quad fuer \quad endlich \quad viele \quad i\in \IN\} [/mm]

Gruß v. Angela

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