Menge relativ kompakt < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:07 Mo 14.05.2018 | | Autor: | Noya |
| Aufgabe | Untersuche die folgenden Mengen auf relative Kompaktheit in [mm] C([0,1],\parallel \cdot \parallel_{\infty})
[/mm]
[mm] A=\{f \in C[0,1] : f(x)=x^n, n \in \IN_0\}
[/mm]
[mm] B=\{f \in C^1[0,1] : f(0)=0, |f‘(x)| \le 2+sin(\pi x) \forall x \in [0,1]\} [/mm] |
Hallo ihr Lieben,
Ich will hier folgenden Satz verwenden :
Sei (K,d) ein kompakter metrischer Raum und sei $ [mm] A\subset [/mm] $ C(K), wobei C(K) wie üblich mit der Supremumsnorm versehen wird. Dann ist A genau dann relativ kompakt, wenn gilt
(i) A ist punktweise beschränkt, d.h.
für alle x $ [mm] \in [/mm] $ K $ [mm] \exists [/mm] $ c>0 : $ [mm] :|f(x)|\le [/mm] $ c füur alle f $ [mm] \in [/mm] $ A.
(ii) A ist gleichgradig stetig auf K, d.h.
$ [mm] \forall \epsilon>0 \exists \delta>0 [/mm] $ :|f(x)-f(y)|< $ [mm] \epsilon [/mm] $ für alle x,y $ [mm] \in [/mm] $ K mit d(x,y) < $ [mm] \delta [/mm] $ und alle f $ [mm] \in [/mm] $ A.
Zu A: (denke, dass A nicht relativ Komp. ist)
Es ist klar, dass A pktw.beschr, denn [mm] $x\in [/mm] [0,1]$ und somit $|f(x)| [mm] \le [/mm] 1$
Aber Gleichgr.stetig macht mir hier Schwierigkeiten.
Betrachten muss ich ja [mm] $|f(x)-f(y)|=|x^n-y^n|$Hier [/mm] weiß ich nicht weiter.
Am besten wähle ich mir ja ein epsilob und zeige, dass es nicht geht oder?
Zur B: (gehe von rel.kompaktheit aus)
Da macht mir aber die pktw. Beschränktheit Schwierigkeiten :
Denn ich weiß nicht wie ich hier eine obere Schranke finden soll aus den gegeben Eigenschaften
Gleichgrad.stetig :
Für alle [mm] $\epsilon [/mm] >0$wähle [mm] $\delta \le \bruch{\epsilon}{3}$ [/mm] :
$|f(x)-f(y)| [mm] \le max_{\lambda \in [0,1]}|f‘(\lambda)|*|x-y| \le max_{\lambda \in [0,1]}|2+sin(\pi \lambda)| [/mm] |x-y| [mm] \le [/mm] 3 * [mm] \delta \le \epsilon [/mm] $
Kann mir hier bitte jemand weiterhelfen? Stehe noch total auf dem Schlauch...
Liebe Grüße und vielen Dank
Noya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:53 Mo 14.05.2018 | | Autor: | fred97 |
> Untersuche die folgenden Mengen auf relative Kompaktheit in
> [mm]C([0,1],\parallel \cdot \parallel_{\infty})[/mm]
> [mm]A=\{f \in C[0,1] : f(x)=x^n, n \in \IN_0\}[/mm]
>
> [mm]B=\{f \in C^1[0,1] : f(0)=0, |f‘(x)| \le 2+sin(\pi x) \forall x \in [0,1]\}[/mm]
>
> Hallo ihr Lieben,
> Ich will hier folgenden Satz verwenden :
> Sei (K,d) ein kompakter metrischer Raum und sei [mm]A\subset[/mm]
> C(K), wobei C(K) wie üblich mit der Supremumsnorm versehen
> wird. Dann ist A genau dann relativ kompakt, wenn gilt
> (i) A ist punktweise beschränkt, d.h.
> für alle x [mm]\in[/mm] K [mm]\exists[/mm] c>0 : [mm]:|f(x)|\le[/mm] c füur alle f
> [mm]\in[/mm] A.
> (ii) A ist gleichgradig stetig auf K, d.h.
> [mm]\forall \epsilon>0 \exists \delta>0[/mm] :|f(x)-f(y)|< [mm]\epsilon[/mm]
> für alle x,y [mm]\in[/mm] K mit d(x,y) < [mm]\delta[/mm] und alle f [mm]\in[/mm] A.
>
> Zu A: (denke, dass A nicht relativ Komp. ist)
> Es ist klar, dass A pktw.beschr, denn [mm]x\in [0,1][/mm] und somit
> [mm]|f(x)| \le 1[/mm]
> Aber Gleichgr.stetig macht mir hier
> Schwierigkeiten.
> Betrachten muss ich ja [mm]|f(x)-f(y)|=|x^n-y^n|[/mm]Hier weiß ich
> nicht weiter.
> Am besten wähle ich mir ja ein epsilob und zeige, dass es
> nicht geht oder?
Ja, genau ! Bastele ein wenig !
>
>
> Zur B: (gehe von rel.kompaktheit aus)
> Da macht mir aber die pktw. Beschränktheit
> Schwierigkeiten :
> Denn ich weiß nicht wie ich hier eine obere Schranke
> finden soll aus den gegeben Eigenschaften
Eine solche Schranke gibt es nicht. Setze [mm] $f_n(x)=n [/mm] 2x- [mm] \frac{1}{\pi} \cos( \pi [/mm] x)$
Es ist [mm] f_n \in [/mm] B.
>
> Gleichgrad.stetig :
> Für alle [mm]\epsilon >0[/mm]wähle [mm]\delta \le \bruch{\epsilon}{3}[/mm]
> :
> [mm]|f(x)-f(y)| \le max_{\lambda \in [0,1]}|f‘(\lambda)|*|x-y| \le max_{\lambda \in [0,1]}|2+sin(\pi \lambda)| |x-y| \le 3 * \delta \le \epsilon[/mm]
Das ist O.K.
>
> Kann mir hier bitte jemand weiterhelfen? Stehe noch total
> auf dem Schlauch...
>
> Liebe Grüße und vielen Dank
> Noya
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Mo 14.05.2018 | | Autor: | Noya |
> > Zu A: (denke, dass A nicht relativ Komp. ist)
> > Es ist klar, dass A pktw.beschr, denn [mm]x\in [0,1][/mm] und somit
> > [mm]|f(x)| \le 1[/mm]
> > Aber Gleichgr.stetig macht mir hier
> > Schwierigkeiten.
> > Betrachten muss ich ja [mm]|f(x)-f(y)|=|x^n-y^n|[/mm]Hier weiß
> ich
> > nicht weiter.
> > Am besten wähle ich mir ja ein epsilon und zeige, dass es
> > nicht geht oder?
>
> Ja, genau ! Bastele ein wenig !
[mm] |x^n-y^n|\le |(x-y)^n|\le|x-y|^n \le \delta^n \le \epsilon [/mm] mit [mm] \delta [/mm] = [mm] \epsilon^{\bruch{1}{n}}
[/mm]
aber damit wäre es gleichgradig stetig oder nicht? :D
> >
> >
> > Zur B: (gehe von rel.kompaktheit aus)
> > Da macht mir aber die pktw. Beschränktheit
> > Schwierigkeiten :
> > Denn ich weiß nicht wie ich hier eine obere Schranke
> > finden soll aus den gegeben Eigenschaften
>
> Eine solche Schranke gibt es nicht. Setze [mm]f_n(x)=n 2x- \frac{1}{\pi} \cos( \pi x)[/mm]
>
okay. Aber müsste nicht gelten [mm] f_n(0)=0 [/mm] damit [mm] f_n \in [/mm] B?
hier wäre aber [mm] f_n(0)=-\bruch{1}{\pi}
[/mm]
> Es ist [mm]f_n \in[/mm] B.
> >
> > Gleichgrad.stetig :
> > Für alle [mm]\epsilon >0[/mm]wähle [mm]\delta \le \bruch{\epsilon}{3}[/mm]
> > :
> > [mm]|f(x)-f(y)| \le max_{\lambda \in [0,1]}|f‘(\lambda)|*|x-y| \le max_{\lambda \in [0,1]}|2+sin(\pi \lambda)| |x-y| \le 3 * \delta \le \epsilon[/mm]
>
> Das ist O.K.
Danke für deine Hilfe! :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Mo 14.05.2018 | | Autor: | fred97 |
> > > Zu A: (denke, dass A nicht relativ Komp. ist)
> > > Es ist klar, dass A pktw.beschr, denn [mm]x\in [0,1][/mm] und somit
> > > [mm]|f(x)| \le 1[/mm]
> > > Aber Gleichgr.stetig macht mir hier
> > > Schwierigkeiten.
> > > Betrachten muss ich ja [mm]|f(x)-f(y)|=|x^n-y^n|[/mm]Hier
> weiß
> > ich
> > > nicht weiter.
> > > Am besten wähle ich mir ja ein epsilon und zeige, dass es
> > > nicht geht oder?
> >
> > Ja, genau ! Bastele ein wenig !
>
> [mm]|x^n-y^n|\le |(x-y)^n|\le|x-y|^n \le \delta^n \le \epsilon[/mm]
> mit [mm]\delta[/mm] = [mm]\epsilon^{\bruch{1}{n}}[/mm]
> aber damit wäre es gleichgradig stetig oder nicht? :D
Nein, [mm] \delta [/mm] darf doch nicht von n abhängen !
>
> > >
> > >
> > > Zur B: (gehe von rel.kompaktheit aus)
> > > Da macht mir aber die pktw. Beschränktheit
> > > Schwierigkeiten :
> > > Denn ich weiß nicht wie ich hier eine obere
> Schranke
> > > finden soll aus den gegeben Eigenschaften
> >
> > Eine solche Schranke gibt es nicht. Setze [mm]f_n(x)=n 2x- \frac{1}{\pi} \cos( \pi x)[/mm]
>
> >
> okay. Aber müsste nicht gelten [mm]f_n(0)=0[/mm] damit [mm]f_n \in[/mm] B?
> hier wäre aber [mm]f_n(0)=-\bruch{1}{\pi}[/mm]
Pardon, mit meiner Wahl von [mm] f_n [/mm] hab ich mich vertan ! Muss nochmal drüber nachdenken.
> > Es ist [mm]f_n \in[/mm] B.
> > >
> > > Gleichgrad.stetig :
> > > Für alle [mm]\epsilon >0[/mm]wähle [mm]\delta \le \bruch{\epsilon}{3}[/mm]
> > > :
> > > [mm]|f(x)-f(y)| \le max_{\lambda \in [0,1]}|f‘(\lambda)|*|x-y| \le max_{\lambda \in [0,1]}|2+sin(\pi \lambda)| |x-y| \le 3 * \delta \le \epsilon[/mm]
>
> >
> > Das ist O.K.
> Danke für deine Hilfe! :)
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:32 Mo 14.05.2018 | | Autor: | Noya |
> > [mm]|x^n-y^n|\le |(x-y)^n|\le|x-y|^n \le \delta^n \le \epsilon[/mm]
> > mit [mm]\delta[/mm] = [mm]\epsilon^{\bruch{1}{n}}[/mm]
> > aber damit wäre es gleichgradig stetig oder nicht? :D
>
> Nein, [mm]\delta[/mm] darf doch nicht von n abhängen !
Ohje.
Hast du hier einen Tipp für mich?
>
> >
> > > >
> > >
> > okay. Aber müsste nicht gelten [mm]f_n(0)=0[/mm] damit [mm]f_n \in[/mm] B?
> > hier wäre aber [mm]f_n(0)=-\bruch{1}{\pi}[/mm]
>
>
> Pardon, mit meiner Wahl von [mm]f_n[/mm] hab ich mich vertan ! Muss
> nochmal drüber nachdenken.
Okay. aber ich freu mich, dass ich hier "das problem" erkannt habe.
> > > Es ist [mm]f_n \in[/mm] B.
[mm] f_n(x)=\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{wenn }x=0 \\
2nx-\bruch{1}{\pi}cos(x\pi), & \mbox{wenn }x\in(0,1]
\end{matrix}\right.
[/mm]
wäre das eine Option?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 16.05.2018 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Untersuche die folgenden Mengen auf relative Kompaktheit in
> [mm]C([0,1],\parallel \cdot \parallel_{\infty})[/mm]
> [mm]A=\{f \in C[0,1] : f(x)=x^n, n \in \IN_0\}[/mm]
>
> [mm]B=\{f \in C^1[0,1] : f(0)=0, |f‘(x)| \le 2+sin(\pi x) \forall x \in [0,1]\}[/mm]
>
> Hallo ihr Lieben,
> Ich will hier folgenden Satz verwenden :
> Sei (K,d) ein kompakter metrischer Raum und sei [mm]A\subset[/mm]
> C(K), wobei C(K) wie üblich mit der Supremumsnorm versehen
> wird. Dann ist A genau dann relativ kompakt, wenn gilt
> (i) A ist punktweise beschränkt, d.h.
> für alle x [mm]\in[/mm] K [mm]\exists[/mm] c>0 : [mm]:|f(x)|\le[/mm] c füur alle f
> [mm]\in[/mm] A.
> (ii) A ist gleichgradig stetig auf K, d.h.
> [mm]\forall \epsilon>0 \exists \delta>0[/mm] :|f(x)-f(y)|< [mm]\epsilon[/mm]
> für alle x,y [mm]\in[/mm] K mit d(x,y) < [mm]\delta[/mm] und alle f [mm]\in[/mm] A.
>
> Zu A: (denke, dass A nicht relativ Komp. ist)
> Es ist klar, dass A pktw.beschr, denn [mm]x\in [0,1][/mm] und somit
> [mm]|f(x)| \le 1[/mm]
> Aber Gleichgr.stetig macht mir hier
> Schwierigkeiten.
> Betrachten muss ich ja [mm]|f(x)-f(y)|=|x^n-y^n|[/mm]Hier weiß ich
> nicht weiter.
> Am besten wähle ich mir ja ein epsilob und zeige, dass es
> nicht geht oder?
Hallo,
A kann schon deshalb nicht relativ kompakt sein, weil die Folge [mm]f_n(x)=x^n[/mm] keine konvergente Teilfolge hat.
>
>
> Zur B: (gehe von rel.kompaktheit aus)
> Da macht mir aber die pktw. Beschränktheit
> Schwierigkeiten :
> Denn ich weiß nicht wie ich hier eine obere Schranke
> finden soll aus den gegeben Eigenschaften
>
> Gleichgrad.stetig :
> Für alle [mm]\epsilon >0[/mm]wähle [mm]\delta \le \bruch{\epsilon}{3}[/mm]
> :
> [mm]|f(x)-f(y)| \le max_{\lambda \in [0,1]}|f‘(\lambda)|*|x-y| \le max_{\lambda \in [0,1]}|2+sin(\pi \lambda)| |x-y| \le 3 * \delta \le \epsilon[/mm]
>
Für [mm]f\in B[/mm] ist [mm]|f'(x)|\le 3[/mm] und damit [mm]|f(x)-f(y)|\le 3|x-y|[/mm], insbesondere mit y=0 folgt [mm]|f(x)|\le 3x\le 3[/mm].
> Kann mir hier bitte jemand weiterhelfen? Stehe noch total
> auf dem Schlauch...
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> Liebe Grüße und vielen Dank
> Noya
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Mo 14.05.2018 | | Autor: | Noya |
> Hallo,
> A kann schon deshalb nicht relativ kompakt sein, weil die
> Folge [mm]f_n(x)=x^n[/mm] keine konvergente Teilfolge hat.
Ja. Könntest du mir sagen woraus man das folgert? Also warum : keine konv. TF [mm] \rightarrow [/mm] nicht relt. kompakt?
Finde dazu nichts bei uns im skript
> >
> Für [mm]f\in B[/mm] ist [mm]|f'(x)|\le 3[/mm] und damit [mm]|f(x)-f(y)|\le 3|x-y|[/mm],
genau. das benutze ich ja schon in meiner abschätzung zur gleichgrad. stetigkeit.
> insbesondere mit y=0 folgt [mm]|f(x)|\le 3x\le 3[/mm].
Das macht echt Sinn!
Vielen Dank
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> > Hallo,
> > A kann schon deshalb nicht relativ kompakt sein, weil
> die
> > Folge [mm]f_n(x)=x^n[/mm] keine konvergente Teilfolge hat.
>
> Ja. Könntest du mir sagen woraus man das folgert? Also
> warum : keine konv. TF [mm]\rightarrow[/mm] nicht relt. kompakt?
> Finde dazu nichts bei uns im skript
Hallo nochmal,
jeder kompakte metrische Raum ist folgenkompakt, d.h. jede Folge hat eine konvergente Teilfolge. Im Umkehrschluss kann [mm]\bar{A}[/mm] nicht kompakt sein, wenn es eine Folge ohne konvergente Teilfolge gibt.
Aber du kannst natürlich alternativ auch mit gleichgradiger Stetigkeit argumentieren, die an der Stelle [mm]x_0=1[/mm] nicht gegeben ist.
> > >
>
> > Für [mm]f\in B[/mm] ist [mm]|f'(x)|\le 3[/mm] und damit [mm]|f(x)-f(y)|\le 3|x-y|[/mm],
> genau. das benutze ich ja schon in meiner abschätzung zur
> gleichgrad. stetigkeit.
> > insbesondere mit y=0 folgt [mm]|f(x)|\le 3x\le 3[/mm].
> Das macht
> echt Sinn!
> Vielen Dank
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Mo 14.05.2018 | | Autor: | Noya |
> Hallo nochmal,
> jeder kompakte metrische Raum ist folgenkompakt, d.h. jede
> Folge hat eine konvergente Teilfolge. Im Umkehrschluss kann
> [mm]\bar{A}[/mm] nicht kompakt sein, wenn es eine Folge ohne
> konvergente Teilfolge gibt.
Hey! Super danke!
> Aber du kannst natürlich alternativ auch mit
> gleichgradiger Stetigkeit argumentieren, die an der Stelle
> [mm]x_0=1[/mm] nicht gegeben ist.
weißt du wie? Habe da irgendwie Porbleme
>
> Danke!!
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> > Hallo nochmal,
> > jeder kompakte metrische Raum ist folgenkompakt, d.h.
> jede
> > Folge hat eine konvergente Teilfolge. Im Umkehrschluss kann
> > [mm]\bar{A}[/mm] nicht kompakt sein, wenn es eine Folge ohne
> > konvergente Teilfolge gibt.
>
> Hey! Super danke!
>
> > Aber du kannst natürlich alternativ auch mit
> > gleichgradiger Stetigkeit argumentieren, die an der Stelle
> > [mm]x_0=1[/mm] nicht gegeben ist.
> weißt du wie? Habe da irgendwie Porbleme
Nimm z.B. [mm]\epsilon=\frac 12[/mm]. Zu jedem [mm]\delta>0[/mm] gibt es x mit [mm]1-\delta\frac 12[/mm].
> >
>
> > Danke!!
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Mo 14.05.2018 | | Autor: | Noya |
> Nimm z.B. [mm]\epsilon=\frac 12[/mm]. Zu jedem [mm]\delta>0[/mm] gibt es x
> mit [mm]1-\delta\frac 12[/mm].
Mal wieder brett vorm kopf!
[mm] |x^n-y^n|< \epsilon=\bruch{1}{2}
[/mm]
mit [mm] |x-y|<\delta
[/mm]
wähle nun [mm] 1-\delta [/mm] <x<1 und y=0
[mm] |1^n-0|=1>\bruch{1}{2} [/mm] und das ist ein widerspruch?
oder wie genau läuft das?
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> > Nimm z.B. [mm]\epsilon=\frac 12[/mm]. Zu jedem [mm]\delta>0[/mm] gibt es x
> > mit [mm]1-\delta\frac 12[/mm].
>
> Mal wieder brett vorm kopf!
> [mm]|x^n-y^n|< \epsilon=\bruch{1}{2}[/mm]
> mit [mm]|x-y|<\delta[/mm]
> wähle nun [mm]1-\delta[/mm] <x<1 und y=0
> [mm]|1^n-0|=1>\bruch{1}{2}[/mm] und das ist ein widerspruch?
> oder wie genau läuft das?
Also nochmal etwas genauer:
Gleichgradifg stetig würde implizieren, dass es insbesondere zu [mm]\epsilon=\frac 12[/mm] ein [mm]\delta=\delta(\frac 12)>0[/mm] geben würde, so dass für alle n und alle x mit [mm]1-\delta
Für [mm]x=1-\frac{\delta}{2}[/mm] ist aber [mm]\lim_{n\to\infty}|x^n-1|=|0-1|=1>\frac 12[/mm], so dass (*) falsch ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 So 20.05.2018 | | Autor: | Noya |
Vielen lieben Dank  )
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