matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFunktionalanalysisMenge relativ kompakt
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Funktionalanalysis" - Menge relativ kompakt
Menge relativ kompakt < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Menge relativ kompakt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:07 Mo 14.05.2018
Autor: Noya

Aufgabe
Untersuche die folgenden Mengen auf relative Kompaktheit in [mm] C([0,1],\parallel \cdot \parallel_{\infty}) [/mm]
[mm] A=\{f \in C[0,1] : f(x)=x^n, n \in \IN_0\} [/mm]

[mm] B=\{f \in C^1[0,1] : f(0)=0, |f‘(x)| \le 2+sin(\pi x) \forall x \in [0,1]\} [/mm]

Hallo ihr Lieben,
Ich will hier folgenden Satz verwenden :
Sei (K,d) ein kompakter metrischer Raum und sei $ [mm] A\subset [/mm] $ C(K), wobei C(K) wie üblich mit der Supremumsnorm versehen wird. Dann ist A genau dann relativ kompakt, wenn gilt
(i) A ist punktweise beschränkt, d.h.
für alle x $ [mm] \in [/mm] $ K $ [mm] \exists [/mm] $ c>0 : $ [mm] :|f(x)|\le [/mm] $ c füur alle f $ [mm] \in [/mm] $ A.
(ii) A ist gleichgradig stetig auf K, d.h.
$ [mm] \forall \epsilon>0 \exists \delta>0 [/mm] $ :|f(x)-f(y)|< $ [mm] \epsilon [/mm] $ für alle x,y $ [mm] \in [/mm] $ K mit d(x,y) < $ [mm] \delta [/mm] $ und alle f $ [mm] \in [/mm] $ A.

Zu A: (denke, dass A nicht relativ Komp. ist)
Es ist klar, dass A pktw.beschr, denn [mm] $x\in [/mm] [0,1]$ und somit $|f(x)| [mm] \le [/mm] 1$
Aber Gleichgr.stetig macht mir hier Schwierigkeiten.
Betrachten muss ich ja [mm] $|f(x)-f(y)|=|x^n-y^n|$Hier [/mm] weiß ich nicht weiter.
Am besten wähle ich mir ja ein epsilob und zeige, dass es nicht geht oder?


Zur B: (gehe von rel.kompaktheit aus)
Da macht mir aber die pktw. Beschränktheit Schwierigkeiten :
Denn ich weiß nicht wie ich hier eine obere Schranke finden soll aus den gegeben Eigenschaften

Gleichgrad.stetig :
Für alle [mm] $\epsilon [/mm] >0$wähle [mm] $\delta \le \bruch{\epsilon}{3}$ [/mm] :
$|f(x)-f(y)| [mm] \le max_{\lambda \in [0,1]}|f‘(\lambda)|*|x-y| \le max_{\lambda \in [0,1]}|2+sin(\pi \lambda)| [/mm] |x-y| [mm] \le [/mm] 3 * [mm] \delta \le \epsilon [/mm] $

Kann mir hier bitte jemand weiterhelfen? Stehe noch total auf dem Schlauch...

Liebe Grüße und vielen Dank
Noya


        
Bezug
Menge relativ kompakt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:53 Mo 14.05.2018
Autor: fred97


> Untersuche die folgenden Mengen auf relative Kompaktheit in
> [mm]C([0,1],\parallel \cdot \parallel_{\infty})[/mm]
>  [mm]A=\{f \in C[0,1] : f(x)=x^n, n \in \IN_0\}[/mm]
>  
> [mm]B=\{f \in C^1[0,1] : f(0)=0, |f‘(x)| \le 2+sin(\pi x) \forall x \in [0,1]\}[/mm]
>  
> Hallo ihr Lieben,
> Ich will hier folgenden Satz verwenden :
>  Sei (K,d) ein kompakter metrischer Raum und sei [mm]A\subset[/mm]
> C(K), wobei C(K) wie üblich mit der Supremumsnorm versehen
> wird. Dann ist A genau dann relativ kompakt, wenn gilt
> (i) A ist punktweise beschränkt, d.h.
> für alle x [mm]\in[/mm] K [mm]\exists[/mm] c>0 : [mm]:|f(x)|\le[/mm] c füur alle f
> [mm]\in[/mm] A.
> (ii) A ist gleichgradig stetig auf K, d.h.
> [mm]\forall \epsilon>0 \exists \delta>0[/mm] :|f(x)-f(y)|< [mm]\epsilon[/mm]
> für alle x,y [mm]\in[/mm] K mit d(x,y) < [mm]\delta[/mm] und alle f [mm]\in[/mm] A.
>
> Zu A: (denke, dass A nicht relativ Komp. ist)
> Es ist klar, dass A pktw.beschr, denn [mm]x\in [0,1][/mm] und somit
> [mm]|f(x)| \le 1[/mm]
>  Aber Gleichgr.stetig macht mir hier
> Schwierigkeiten.
>  Betrachten muss ich ja [mm]|f(x)-f(y)|=|x^n-y^n|[/mm]Hier weiß ich
> nicht weiter.
> Am besten wähle ich mir ja ein epsilob und zeige, dass es
> nicht geht oder?

Ja, genau ! Bastele ein wenig !

>
>
> Zur B: (gehe von rel.kompaktheit aus)
>  Da macht mir aber die pktw. Beschränktheit
> Schwierigkeiten :
>  Denn ich weiß nicht wie ich hier eine obere Schranke
> finden soll aus den gegeben Eigenschaften

Eine solche Schranke gibt es nicht. Setze [mm] $f_n(x)=n [/mm] 2x- [mm] \frac{1}{\pi} \cos( \pi [/mm] x)$

Es ist [mm] f_n \in [/mm] B.

>
> Gleichgrad.stetig :
>  Für alle [mm]\epsilon >0[/mm]wähle [mm]\delta \le \bruch{\epsilon}{3}[/mm]
> :
>  [mm]|f(x)-f(y)| \le max_{\lambda \in [0,1]}|f‘(\lambda)|*|x-y| \le max_{\lambda \in [0,1]}|2+sin(\pi \lambda)| |x-y| \le 3 * \delta \le \epsilon[/mm]

Das ist O.K.


>  
> Kann mir hier bitte jemand weiterhelfen? Stehe noch total
> auf dem Schlauch...
>  
> Liebe Grüße und vielen Dank
>  Noya
>  


Bezug
                
Bezug
Menge relativ kompakt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:04 Mo 14.05.2018
Autor: Noya


> > Zu A: (denke, dass A nicht relativ Komp. ist)
> > Es ist klar, dass A pktw.beschr, denn [mm]x\in [0,1][/mm] und somit
> > [mm]|f(x)| \le 1[/mm]
>  >  Aber Gleichgr.stetig macht mir hier
> > Schwierigkeiten.
>  >  Betrachten muss ich ja [mm]|f(x)-f(y)|=|x^n-y^n|[/mm]Hier weiß
> ich
> > nicht weiter.
> > Am besten wähle ich mir ja ein epsilon und zeige, dass es
> > nicht geht oder?
>
> Ja, genau ! Bastele ein wenig !

[mm] |x^n-y^n|\le |(x-y)^n|\le|x-y|^n \le \delta^n \le \epsilon [/mm] mit [mm] \delta [/mm] = [mm] \epsilon^{\bruch{1}{n}} [/mm]
aber damit wäre es gleichgradig stetig oder nicht? :D

>  >

> >
> > Zur B: (gehe von rel.kompaktheit aus)
>  >  Da macht mir aber die pktw. Beschränktheit
> > Schwierigkeiten :
>  >  Denn ich weiß nicht wie ich hier eine obere Schranke
> > finden soll aus den gegeben Eigenschaften
>
> Eine solche Schranke gibt es nicht. Setze [mm]f_n(x)=n 2x- \frac{1}{\pi} \cos( \pi x)[/mm]
>  

okay. Aber müsste nicht gelten [mm] f_n(0)=0 [/mm]  damit [mm] f_n \in [/mm] B?
hier wäre aber [mm] f_n(0)=-\bruch{1}{\pi} [/mm]

> Es ist [mm]f_n \in[/mm] B.
>  >

> > Gleichgrad.stetig :
>  >  Für alle [mm]\epsilon >0[/mm]wähle [mm]\delta \le \bruch{\epsilon}{3}[/mm]
> > :
>  >  [mm]|f(x)-f(y)| \le max_{\lambda \in [0,1]}|f‘(\lambda)|*|x-y| \le max_{\lambda \in [0,1]}|2+sin(\pi \lambda)| |x-y| \le 3 * \delta \le \epsilon[/mm]
>  
> Das ist O.K.

Danke für deine Hilfe! :)

Bezug
                        
Bezug
Menge relativ kompakt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:19 Mo 14.05.2018
Autor: fred97


> > > Zu A: (denke, dass A nicht relativ Komp. ist)
> > > Es ist klar, dass A pktw.beschr, denn [mm]x\in [0,1][/mm] und somit
> > > [mm]|f(x)| \le 1[/mm]
>  >  >  Aber Gleichgr.stetig macht mir hier
> > > Schwierigkeiten.
>  >  >  Betrachten muss ich ja [mm]|f(x)-f(y)|=|x^n-y^n|[/mm]Hier
> weiß
> > ich
> > > nicht weiter.
> > > Am besten wähle ich mir ja ein epsilon und zeige, dass es
> > > nicht geht oder?
> >
> > Ja, genau ! Bastele ein wenig !
>  
> [mm]|x^n-y^n|\le |(x-y)^n|\le|x-y|^n \le \delta^n \le \epsilon[/mm]
> mit [mm]\delta[/mm] = [mm]\epsilon^{\bruch{1}{n}}[/mm]
>  aber damit wäre es gleichgradig stetig oder nicht? :D

Nein, [mm] \delta [/mm] darf doch nicht von n abhängen !

>  
> >  >

> > >
> > > Zur B: (gehe von rel.kompaktheit aus)
>  >  >  Da macht mir aber die pktw. Beschränktheit
> > > Schwierigkeiten :
>  >  >  Denn ich weiß nicht wie ich hier eine obere
> Schranke
> > > finden soll aus den gegeben Eigenschaften
> >
> > Eine solche Schranke gibt es nicht. Setze [mm]f_n(x)=n 2x- \frac{1}{\pi} \cos( \pi x)[/mm]
>  
> >  

> okay. Aber müsste nicht gelten [mm]f_n(0)=0[/mm]  damit [mm]f_n \in[/mm] B?
>  hier wäre aber [mm]f_n(0)=-\bruch{1}{\pi}[/mm]


Pardon, mit meiner Wahl von [mm] f_n [/mm] hab ich mich vertan ! Muss nochmal drüber nachdenken.

>  > Es ist [mm]f_n \in[/mm] B.

>  >  >

> > > Gleichgrad.stetig :
>  >  >  Für alle [mm]\epsilon >0[/mm]wähle [mm]\delta \le \bruch{\epsilon}{3}[/mm]
> > > :
>  >  >  [mm]|f(x)-f(y)| \le max_{\lambda \in [0,1]}|f‘(\lambda)|*|x-y| \le max_{\lambda \in [0,1]}|2+sin(\pi \lambda)| |x-y| \le 3 * \delta \le \epsilon[/mm]
>  
> >  

> > Das ist O.K.
>  Danke für deine Hilfe! :)


Bezug
                                
Bezug
Menge relativ kompakt: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:32 Mo 14.05.2018
Autor: Noya


> > [mm]|x^n-y^n|\le |(x-y)^n|\le|x-y|^n \le \delta^n \le \epsilon[/mm]
> > mit [mm]\delta[/mm] = [mm]\epsilon^{\bruch{1}{n}}[/mm]
>  >  aber damit wäre es gleichgradig stetig oder nicht? :D
>  
> Nein, [mm]\delta[/mm] darf doch nicht von n abhängen !

Ohje.
Hast du hier einen Tipp für mich?

>  
> >  

> > >  >

> > >  

> > okay. Aber müsste nicht gelten [mm]f_n(0)=0[/mm]  damit [mm]f_n \in[/mm] B?
>  >  hier wäre aber [mm]f_n(0)=-\bruch{1}{\pi}[/mm]
>  
>
> Pardon, mit meiner Wahl von [mm]f_n[/mm] hab ich mich vertan ! Muss
> nochmal drüber nachdenken.

Okay. aber ich freu mich, dass ich hier "das problem" erkannt habe.

>  >  > Es ist [mm]f_n \in[/mm] B.

[mm] f_n(x)=\left\{\begin{matrix} 0, & \mbox{wenn }x=0 \\ 2nx-\bruch{1}{\pi}cos(x\pi), & \mbox{wenn }x\in(0,1] \end{matrix}\right. [/mm]
wäre das eine Option?

Bezug
                                        
Bezug
Menge relativ kompakt: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Mi 16.05.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Menge relativ kompakt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:48 Mo 14.05.2018
Autor: donquijote


> Untersuche die folgenden Mengen auf relative Kompaktheit in
> [mm]C([0,1],\parallel \cdot \parallel_{\infty})[/mm]
>  [mm]A=\{f \in C[0,1] : f(x)=x^n, n \in \IN_0\}[/mm]
>  
> [mm]B=\{f \in C^1[0,1] : f(0)=0, |f‘(x)| \le 2+sin(\pi x) \forall x \in [0,1]\}[/mm]
>  
> Hallo ihr Lieben,
> Ich will hier folgenden Satz verwenden :
>  Sei (K,d) ein kompakter metrischer Raum und sei [mm]A\subset[/mm]
> C(K), wobei C(K) wie üblich mit der Supremumsnorm versehen
> wird. Dann ist A genau dann relativ kompakt, wenn gilt
> (i) A ist punktweise beschränkt, d.h.
> für alle x [mm]\in[/mm] K [mm]\exists[/mm] c>0 : [mm]:|f(x)|\le[/mm] c füur alle f
> [mm]\in[/mm] A.
> (ii) A ist gleichgradig stetig auf K, d.h.
> [mm]\forall \epsilon>0 \exists \delta>0[/mm] :|f(x)-f(y)|< [mm]\epsilon[/mm]
> für alle x,y [mm]\in[/mm] K mit d(x,y) < [mm]\delta[/mm] und alle f [mm]\in[/mm] A.
>
> Zu A: (denke, dass A nicht relativ Komp. ist)
> Es ist klar, dass A pktw.beschr, denn [mm]x\in [0,1][/mm] und somit
> [mm]|f(x)| \le 1[/mm]
>  Aber Gleichgr.stetig macht mir hier
> Schwierigkeiten.
>  Betrachten muss ich ja [mm]|f(x)-f(y)|=|x^n-y^n|[/mm]Hier weiß ich
> nicht weiter.
> Am besten wähle ich mir ja ein epsilob und zeige, dass es
> nicht geht oder?

Hallo,
A kann schon deshalb nicht relativ kompakt sein, weil die Folge [mm]f_n(x)=x^n[/mm] keine konvergente Teilfolge hat.

>
>
> Zur B: (gehe von rel.kompaktheit aus)
>  Da macht mir aber die pktw. Beschränktheit
> Schwierigkeiten :
>  Denn ich weiß nicht wie ich hier eine obere Schranke
> finden soll aus den gegeben Eigenschaften
>
> Gleichgrad.stetig :
>  Für alle [mm]\epsilon >0[/mm]wähle [mm]\delta \le \bruch{\epsilon}{3}[/mm]
> :
>  [mm]|f(x)-f(y)| \le max_{\lambda \in [0,1]}|f‘(\lambda)|*|x-y| \le max_{\lambda \in [0,1]}|2+sin(\pi \lambda)| |x-y| \le 3 * \delta \le \epsilon[/mm]
>  

Für [mm]f\in B[/mm] ist [mm]|f'(x)|\le 3[/mm] und damit [mm]|f(x)-f(y)|\le 3|x-y|[/mm], insbesondere mit y=0 folgt [mm]|f(x)|\le 3x\le 3[/mm].

> Kann mir hier bitte jemand weiterhelfen? Stehe noch total
> auf dem Schlauch...
>  
> Liebe Grüße und vielen Dank
>  Noya
>  


Bezug
                
Bezug
Menge relativ kompakt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 Mo 14.05.2018
Autor: Noya


> Hallo,
>  A kann schon deshalb nicht relativ kompakt sein, weil die
> Folge [mm]f_n(x)=x^n[/mm] keine konvergente Teilfolge hat.

Ja. Könntest du mir sagen woraus man das folgert? Also warum : keine konv. TF [mm] \rightarrow [/mm] nicht relt. kompakt?
Finde dazu nichts bei uns im skript

> >

> Für [mm]f\in B[/mm] ist [mm]|f'(x)|\le 3[/mm] und damit [mm]|f(x)-f(y)|\le 3|x-y|[/mm],

genau. das benutze ich ja schon in meiner abschätzung zur gleichgrad. stetigkeit.

> insbesondere mit y=0 folgt [mm]|f(x)|\le 3x\le 3[/mm].

Das macht echt Sinn!
Vielen Dank


Bezug
                        
Bezug
Menge relativ kompakt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:04 Mo 14.05.2018
Autor: donquijote


>
> > Hallo,
>  >  A kann schon deshalb nicht relativ kompakt sein, weil
> die
> > Folge [mm]f_n(x)=x^n[/mm] keine konvergente Teilfolge hat.
>  
> Ja. Könntest du mir sagen woraus man das folgert? Also
> warum : keine konv. TF [mm]\rightarrow[/mm] nicht relt. kompakt?
>  Finde dazu nichts bei uns im skript

Hallo nochmal,
jeder kompakte metrische Raum ist folgenkompakt, d.h. jede Folge hat eine konvergente Teilfolge. Im Umkehrschluss kann [mm]\bar{A}[/mm] nicht kompakt sein, wenn es eine Folge ohne konvergente Teilfolge gibt.
Aber du kannst natürlich alternativ auch mit gleichgradiger Stetigkeit argumentieren, die an der Stelle [mm]x_0=1[/mm] nicht gegeben ist.


>  > >

>
> > Für [mm]f\in B[/mm] ist [mm]|f'(x)|\le 3[/mm] und damit [mm]|f(x)-f(y)|\le 3|x-y|[/mm],
> genau. das benutze ich ja schon in meiner abschätzung zur
> gleichgrad. stetigkeit.
>  > insbesondere mit y=0 folgt [mm]|f(x)|\le 3x\le 3[/mm].

>  Das macht
> echt Sinn!
>  Vielen Dank
>  


Bezug
                                
Bezug
Menge relativ kompakt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:26 Mo 14.05.2018
Autor: Noya


> Hallo nochmal,
>  jeder kompakte metrische Raum ist folgenkompakt, d.h. jede
> Folge hat eine konvergente Teilfolge. Im Umkehrschluss kann
> [mm]\bar{A}[/mm] nicht kompakt sein, wenn es eine Folge ohne
> konvergente Teilfolge gibt.

Hey! Super danke!

>  Aber du kannst natürlich alternativ auch mit
> gleichgradiger Stetigkeit argumentieren, die an der Stelle
> [mm]x_0=1[/mm] nicht gegeben ist.

weißt du wie? Habe da irgendwie Porbleme

>

>  Danke!!


Bezug
                                        
Bezug
Menge relativ kompakt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:40 Mo 14.05.2018
Autor: donquijote


>
> > Hallo nochmal,
>  >  jeder kompakte metrische Raum ist folgenkompakt, d.h.
> jede
> > Folge hat eine konvergente Teilfolge. Im Umkehrschluss kann
> > [mm]\bar{A}[/mm] nicht kompakt sein, wenn es eine Folge ohne
> > konvergente Teilfolge gibt.
>  
> Hey! Super danke!
>
> >  Aber du kannst natürlich alternativ auch mit

> > gleichgradiger Stetigkeit argumentieren, die an der Stelle
> > [mm]x_0=1[/mm] nicht gegeben ist.
>  weißt du wie? Habe da irgendwie Porbleme

Nimm z.B. [mm]\epsilon=\frac 12[/mm]. Zu jedem [mm]\delta>0[/mm] gibt es x mit [mm]1-\delta\frac 12[/mm].

>  >

>
> >  Danke!!

>  


Bezug
                                                
Bezug
Menge relativ kompakt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:16 Mo 14.05.2018
Autor: Noya


> Nimm z.B. [mm]\epsilon=\frac 12[/mm]. Zu jedem [mm]\delta>0[/mm] gibt es x
> mit [mm]1-\delta\frac 12[/mm].

Mal wieder brett vorm kopf!
[mm] |x^n-y^n|< \epsilon=\bruch{1}{2} [/mm]
mit [mm] |x-y|<\delta [/mm]
wähle nun [mm] 1-\delta [/mm] <x<1 und y=0
[mm] |1^n-0|=1>\bruch{1}{2} [/mm] und das ist ein widerspruch?
oder wie genau läuft das?

Bezug
                                                        
Bezug
Menge relativ kompakt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:03 Mo 14.05.2018
Autor: donquijote


>
> > Nimm z.B. [mm]\epsilon=\frac 12[/mm]. Zu jedem [mm]\delta>0[/mm] gibt es x
> > mit [mm]1-\delta\frac 12[/mm].
>  
> Mal wieder brett vorm kopf!
>  [mm]|x^n-y^n|< \epsilon=\bruch{1}{2}[/mm]
>  mit [mm]|x-y|<\delta[/mm]
>  wähle nun [mm]1-\delta[/mm] <x<1 und y=0
>  [mm]|1^n-0|=1>\bruch{1}{2}[/mm] und das ist ein widerspruch?
>  oder wie genau läuft das?

Also nochmal etwas genauer:
Gleichgradifg stetig würde implizieren, dass es insbesondere zu [mm]\epsilon=\frac 12[/mm] ein [mm]\delta=\delta(\frac 12)>0[/mm] geben würde, so dass für alle n und alle x mit [mm]1-\delta Für [mm]x=1-\frac{\delta}{2}[/mm] ist aber [mm]\lim_{n\to\infty}|x^n-1|=|0-1|=1>\frac 12[/mm], so dass (*) falsch ist.


Bezug
                                                                
Bezug
Menge relativ kompakt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:41 So 20.05.2018
Autor: Noya

Vielen lieben Dank :-))

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]