Menge in Gaußscher Zahlenebene < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beschreiben Sie die Menge
[mm] M= { z|z \in\IC:z\bar{z}-z(2+i)-\bar{z}(\bar{2+i})+1=0 [/mm]
in der Gaußschen Zahlenebene
(über dem zweiten (2+i) soll ein kompletter Querstrich sein, aber irgendwie wird der nicht richtig angezeigt) |
Okay, es gilt ja in den komplexen Zahlen:
z=a+ib => [mm] \bar{z}=a-ib
[/mm]
wenn ich das mal in die obrige Gleichung einsetze sieht das ja wie folgt aus:
=> (a+ib)(a-ib)-(a+ib)(2+i)-(a-ib)(2-i)+1=0
=> [mm] a^2+b^2-2a-2ib-ai+b-2a+ai+2ib+b+1=0
[/mm]
=> [mm] a^2+b^2-4a+2b+1=0
[/mm]
=> [mm] a^2-4a+(b+1)^2=0
[/mm]
macht das Sinn, was ich da gemacht habe, oder bin ich komplett aufm Holzweg? Sollte dies der Fall sein würde ich mich über ein paar Anregungen freuen.
Schöne Grüße,
Grafzahl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 Di 25.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Beschreiben Sie die Menge
> [mm]M= { z|z \in\IC:z\bar{z}-z(2+i)-\bar{z}(\bar{2+i})+1=0[/mm]
> in
> der Gaußschen Zahlenebene
> (über dem zweiten (2+i) soll ein kompletter Querstrich
> sein, aber irgendwie wird der nicht richtig angezeigt)
> Okay, es gilt ja in den komplexen Zahlen:
> z=a+ib => [mm]\bar{z}=a-ib[/mm]
> wenn ich das mal in die obrige Gleichung einsetze sieht
> das ja wie folgt aus:
> => (a+ib)(a-ib)-(a+ib)(2+i)-(a-ib)(2-i)+1=0
> => [mm]a^2+b^2-2a-2ib-ai+b-2a+ai+2ib+b+1=0[/mm]
> => [mm]a^2+b^2-4a+2b+1=0[/mm]
> => [mm]a^2-4a+(b+1)^2=0[/mm]
>
> macht das Sinn, was ich da gemacht habe
Ja, es ist alles richtig
> , oder bin ich
> komplett aufm Holzweg? Sollte dies der Fall sein würde ich
> mich über ein paar Anregungen freuen.
Ich rege an:
[mm]a^2-4a+(b+1)^2=0[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]a^2-4a+4+(b+1)^2=4[/mm]
Hilft das ?
FRED
> Schöne Grüße,
> Grafzahl
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Hallo,
erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort!
Das bringt mich auf jeden Fall einen Schritt weiter:
[mm] (a-2)^2+(b+1)^2=4
[/mm]
Mein Problem ist: Ich dachte ich brauche einen Real- und einen Imaginärteil (irgendwas in der Form x+iy) um etwas in der Gaußschen Zahlenebene zu beschreiben, aber das "i" fehlt hier doch irgendwie :-(
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Hallo Grafzahl,
das ist richtig.
Du hast nun Bedingungen an die reellen Zahlen a und b gefunden. Lösungen bzw. Elemente aus der Ausgangsmenge sind also all jene komplexen Zahlen z=a+b*i mit der von dir gefundenen Bedingung.
Welches Gebilde in der Ebene wird denn geometrisch durch dein Ergebnis beschrieben?
Gruß
schachuzipus
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