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Menge der Funktion, Kardinal.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:41 Mi 22.05.2013
Autor: Lu-

Aufgabe
Warum folgt aus der tatsache, dass die Menge der Funktionen von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IR [/mm] die Größe [mm] \IR [/mm] haben => Die menge der stetigen Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] ebenfalls die Größe [mm] \IR [/mm] hat?

Die Tatsache wird bei uns bei einem Beweis angenommen, ich verstehe jedoch nicht wie man darauf kommt.
Habt ihr eine Idee=?

LG ;)
        
Bezug
Menge der Funktion, Kardinal.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Mi 22.05.2013
Autor: Sax

Hi,

[mm] \IN [/mm] ist gleichmächtig zu [mm] \IQ [/mm]  ,  und wenn man eine stetige Funktion auf [mm] \IQ [/mm] kennt, dann kennt man sie auf ganz [mm] \IR. [/mm]

Gruß Sax.
Bezug
                
Bezug
Menge der Funktion, Kardinal.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:48 Mi 22.05.2013
Autor: Lu-

Hallo.Also du nimmst statt die Funktionen von N nach R die Funktionen von Q nach R her. Wenn der Definitionsbereich gleichmächtig ist gibt es auch genauso viele Funktionen jeweils. Das von dir aufgestellte Argument hat doch mit der Dichtheit von Q in R zu tun( beliebig Nahe an jeder rationalen Zahlen gibts irrationale Zahl und umgekehrt) Mit welcher Definition der Stetigkeit arbeitest du um dir das Argument klar zu machen? Mittels Umgebungen?
Bezug
                        
Bezug
Menge der Funktion, Kardinal.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:42 Do 23.05.2013
Autor: tobit09

Hallo Lu-,


> Hallo.Also du nimmst statt die Funktionen von N nach R die
> Funktionen von Q nach R her. Wenn der Definitionsbereich
> gleichmächtig ist gibt es auch genauso viele Funktionen
> jeweils. Das von dir aufgestellte Argument hat doch mit der
> Dichtheit von Q in R zu tun( beliebig Nahe an jeder
> rationalen Zahlen gibts irrationale Zahl und umgekehrt) Mit
> welcher Definition der Stetigkeit arbeitest du um dir das
> Argument klar zu machen? Mittels Umgebungen?

Ich würde mit der Folgen-Charakterisierung der Stetigkeit arbeiten.

Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine Folge rationaler Zahlen, die gegen x konvergiert.


Viele Grüße
Tobias
Bezug
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