Menge aller Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Sa 14.08.2010 | | Autor: | AndiK |
| Aufgabe | Seien X,Y Mengen.
Dann ist Abb(X,Y) die Menge aller Abbildungen von X nach Y. |
Hallo!
Ich habe da ein leichtes Verständnisproblem mit Abb(X,Y).
Nehmen wir gleich ein Beispiel.
Seien X = {x} und Y = {a,b}.
Dann sind doch die möglichen Abbildungen von X nach Y folgende drei:
f(x) = a
f(x) = b
[mm] f(x)=\begin{cases} a \\ b & \end{cases}
[/mm]
Stimmt das? Ist das letzte f(x) formal richtig?
Und wie gibt man Abb(X,Y) in aufzählender Form an (formal)?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Sa 14.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien X,Y Mengen.
> Dann ist Abb(X,Y) die Menge aller Abbildungen von X nach
> Y.
> Hallo!
>
> Ich habe da ein leichtes Verständnisproblem mit Abb(X,Y).
> Nehmen wir gleich ein Beispiel.
> Seien X = {x} und Y = {a,b}.
>
> Dann sind doch die möglichen Abbildungen von X nach Y
> folgende drei:
>
> f(x) = a
> f(x) = b
> [mm]f(x)=\begin{cases} a \\ b & \end{cases}[/mm]
>
> Stimmt das? Ist das letzte f(x) formal richtig?
> Und wie gibt man Abb(X,Y) in aufzählender Form an
> (formal)?
das ist leider falsch. Es ist für $a [mm] \not=b\,,$ $X=\{x\}$ [/mm] und [mm] $Y=\{a,b\}$
[/mm]
[mm] $$Abb\{X,Y\}=\{f_1,f_2\}\,,$$
[/mm]
wobei [mm] $f_1:\{x\}=X \to Y=\{a,b\}$ [/mm] durch [mm] $f_1(x):=a$ [/mm]
und
[mm] $f_2:\{x\}=X \to Y=\{a,b\}$ [/mm] durch [mm] $f_2(x):=b$ [/mm] ist.
Sofern sich - wie hier - die Menge $Abb(X,Y)$ "durchzählen" läßt (d.h. sofern $Abb(X,Y)$ abzählbar (endlich oder unendlich) ist), kannst Du das z.B. so wie oben getan aufschreiben, bzw. analog (man kann die Definitionen der einzelnen Funktionen auch alle in die Mengenklammer schreiben, aber das wird eher noch unübersichtlicher).
Dein obiges
[mm] $$\red{f(x)=\begin{cases} a \\ b & \end{cases}}$$
[/mm]
ist keine Abbildung. Denn wäre es eine Abbildung, so müßte es zu jedem $r [mm] \in [/mm] X$ genau ein $y [mm] \in [/mm] Y$ mit $f(r)=y$ geben (also mindestens und höchstens ein $y [mm] \in [/mm] Y$ mit $f(r)=y$). Bei Dir ist $r=x [mm] \in [/mm] X$ das einzig mögliche, und "es gibt mal mindestens ein [mm] $f(r)=f(x)\,$" [/mm] - d.h. für jedes $x [mm] \in [/mm] X$ gibt es mindestens ein [mm] $y=y_x$ [/mm] mit [mm] $f(x)=y\,.$ [/mm] Leider ist bei Dir für $r=x [mm] \in [/mm] X$ der Wert [mm] $f(r)\,$ [/mm] nicht eindeutig definiert, es gibt nämlich "zwei [mm] $f(r)\,,$" [/mm] also nicht höchstens eins.
P.S.:
Allgemein:
Ist $I$ eine Indexmenge so, dass eine Bijektion $Abb(X,Y) [mm] \to [/mm] I$ existiert, so kann man
[mm] $$Abb(X,Y)=\{f_i: i \in I\}$$
[/mm]
schreiben, wobei alle [mm] $f_i: [/mm] X [mm] \to Y\,.$ [/mm] Dabei kann aber [mm] $I\,$ [/mm] durchaus auch überabzählbar sein (triviales Beispiel: [mm] $X=\{0\}$ [/mm] und [mm] $Y:=\IR$ [/mm] - dann ist [mm] $Abb(X,Y)=\{f_i: f_i(0):=i \text{ mit einem }i \in \IR\}$ [/mm] offensichtlich mit der überabzählbaren Menge [mm] $\IR$ [/mm] gleichmächtig).
P.P.S.:
Beachte auch, dass ich oben verschiedene Abbildungen auch verschieden benannt habe. Während Du sowohl
[mm] $$(I)\;\;\;f: [/mm] X [mm] \to [/mm] Y [mm] \text{ mit }f(x)=a$$
[/mm]
als auch
[mm] $$(II)\;\;\;f: [/mm] X [mm] \to [/mm] Y [mm] \text{ mit }f(x)=b$$
[/mm]
beide mit [mm] $f\,$ [/mm] bezeichnest hast - d.h. es ist unklar, wenn Du nur von der Funktion [mm] $f\,$ [/mm] sprichst, ob Du nun die aus [mm] $(I)\,$ [/mm] oder die aus [mm] $(II)\,$ [/mm] meinst - habe ich die Funktion aus [mm] $(I)\,$ [/mm] mit [mm] $f_1$ [/mm] und die aus [mm] $(II)\,$ [/mm] mit [mm] $f_2$ [/mm] bezeichnet. Diese Nummerierung hier geht aber nur, weil für Deine obige Mengen [mm] $X=\{x\}$ [/mm] und [mm] $Y=\{a,b\}$ [/mm]
$$Abb(X,Y)$$
abzählbar (endlich) ist. Im allgemeinen muss man $Abb(X,Y)$ nicht "durchzählen" können - ähnlich zu dem Fakt, dass man das bei [mm] $\IQ$ [/mm] zwar kann, aber nicht mehr bei [mm] $\IR\,.$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Sa 14.08.2010 | | Autor: | AndiK |
Vielen Dank!
Aber eine Sache verstehe ich nicht:
Wenn [mm] {f(x)=\begin{cases} a \\ b & \end{cases}}
[/mm]
nicht erlaubt ist, dann exisiert auch keine Abbildung, die nicht injektiv ist. Oder sehe ich das falsch?
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Huhu,
ich glaube, hier verwechselst du was.
Eine Abbildung muss einem Element des Definitionsbereichs genau ein Element des Wertebereichs zuweisen. Ansonsten wäre es keine Funktion.
Eine Funktion heisst nicht injektiv, wenn ein Element des Wertebereichs von mehreren Elementen des Definitionsbereichs getroffen wird.
D.h. die Zuordnung [mm] $x_0 \mapsto f(x_0)$ [/mm] ist IMMER eindeutig, allerdings kann es mehrere Elemente geben, die auf [mm] f(x_0) [/mm] geworfen werden, z.b. [mm] $x_0 \mapsto f(x_0)$ [/mm] und [mm] $x_1 \mapsto f(x_0)$.
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Sa 14.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank!
>
> Aber eine Sache verstehe ich nicht:
> Wenn [mm]{f(x)=\begin{cases} a \\ b & \end{cases}}[/mm]
> nicht
> erlaubt ist, dann exisiert auch keine Abbildung, die nicht
> injektiv ist. Oder sehe ich das falsch?
neben dem eben erklärten Hinweis auf ein mögliches Missverständnis (eine Funktion $f: X [mm] \to [/mm] Y$ ist genau dann injektiv, wenn es zu jedem [mm] $\blue{y \in Y}$ [/mm] höchstens ein $x [mm] \in [/mm] X$ mit $f(x)=y$ gibt | diese Aussage ist zu unterscheiden von: zu jedem [mm] $\green{x \in X}$ [/mm] gibt es genau ein $y [mm] \in [/mm] Y$ mit $f(x)=y$, was die Definition einer Funktion ausmacht!):
Ist [mm] $X=\{x\}$ [/mm] einelementig, so hast Du in der Tat recht: Für $Y [mm] \not=\emptyset$ [/mm] ist jede Abbildung $f: X [mm] \to [/mm] Y$ injektiv. Ist nämlich $y [mm] \in Y\,,$ [/mm] so kann nur [mm] $|f^{-1}(\{y\})| \le [/mm] |X| [mm] \le [/mm] 1$ gelten, und eine Funktion ist (das kann man sich leicht überlegen) genau dann injektiv, wenn für jedes (beliebige) $y [mm] \in [/mm] Y$ gilt, dass [mm] $|f^{-1}(\{y\})| \le [/mm] 1$ ist.
P.S.:
Veranschaulische Dir mal die Funktionsdefinition anhand der Graphen für Funktionen $M [mm] \to N\,,$ [/mm] $M,N [mm] \subseteq \IR$. [/mm] Die "Funktionsdefinition" kannst Du dann so prüfen, indem Du zu jedem $m [mm] \in [/mm] M$ die Gerade $x=m$ (die Parallele zur [mm] $y\,$-Achse) [/mm] zeichnest. Wenn eine Funktion vorliegt, dann darf es dann bei jedem [mm] $m\,$ [/mm] höchstens einen Schnittpunkt des Graphen mit dieser Geraden geben, und es muss auch mindestens einen geben (d.h. es muss dann immer genau ein Schnittpunkt aufzufinden sein.
Die Injektivität kannst Du anhand paralleler Geraden zur [mm] $x\,$-Achse [/mm] prüfen. Z.B. wenn Du $f: [-2,1) [mm] \cup [/mm] (1,3)=:M [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] ($x [mm] \in [/mm] M$) zeichnest, und dann die Gerade [mm] $y=4\,$. [/mm] Du siehst: Hier gibt es zwei Schnittpunkte (also mehr als einen). Es gilt nämlich [mm] $f^{-1}(\{4\})=\{-2,2\}\,,$ [/mm] und wäre [mm] $f\,$ [/mm] injektiv, so dürfte aber auch [mm] $f^{-1}(\{4\})$ [/mm] nur einelementig oder leer sein.
Z.B. ist $g: [-4,-2] [mm] \cup [/mm] (4,10)=:M [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x):=x^2$ [/mm] ($x [mm] \in [/mm] M$) injektiv.
Beste Grüße,
Marcel
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