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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Do 10.05.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | [mm] G:=\{x\in\IR | x=\bruch{1}{n}+\bruch{1}{m}, m,n\in\IN \}
[/mm]
Prüfe, ob G offen, abgeschlossen oder weder abgeschlossen, noch offen ist. |
Hi,
ich habe mir gedacht, ich kann ja sagen, dass für m=n=1:
x=1+1=2
und für
[mm] x=\limes_{n,m\rightarrow\infty}=\bruch{1}{n}+\bruch{1}{m}\to0
[/mm]
Das würde bedeuten, [mm] x\in(0,2].
[/mm]
Also ist G weder offen, noch abgeschlossen. Meine Frage, stimmt das? Ist das formal richtig gezeigt?
MfG
barsch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Do 10.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo barsch!
> [mm]G:=\{x\in\IR | x=\bruch{1}{n}+\bruch{1}{m}, m,n\in\IN \}[/mm]
>
> Prüfe, ob G offen, abgeschlossen oder weder abgeschlossen,
> noch offen ist.
> Hi,
>
> ich habe mir gedacht, ich kann ja sagen, dass für m=n=1:
>
> x=1+1=2
>
> und für
>
> [mm]x=\limes_{n,m\rightarrow\infty}=\bruch{1}{n}+\bruch{1}{m}\to0[/mm]
>
> Das würde bedeuten, [mm]x\in(0,2].[/mm]
>
> Also ist G weder offen, noch abgeschlossen. Meine Frage,
> stimmt das? Ist das formal richtig gezeigt?
Damit hast du erstmal nur gezeigt, dass $G$ in einer Menge enthalten ist, die weder abgeschlossen noch offen ist. Aber das sagt nichts darueber aus, ob $G$ das auch ist.
Die Aussage, dass $G$ weder offen noch abgeschlossen ist, stimmt jedoch. Dazu zeige folgendes:
(1) Es gibt einen Haeufungspunkt von $G$, der nicht in $G$ liegt (den hast du oben schon ausgerechnet).
(2) Es gibt ein Element [mm] $x_0 \in [/mm] G$ so, dass es zu jeder Umgebung von [mm] $x_0$ [/mm] (etwa eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung) [/mm] ein Element aus [mm] $\IR \setminus [/mm] G$ gibt, welches in der Umgebung liegt.
Damit folgt, dass (nach (1)) $G$ nicht abgeschlossen und (nach (2)) nicht offen sein kann.
LG Felix
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