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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Di 24.01.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo alle miteinander...
ich habe leider ein kleines Problem mit der folgenden Aufgabe:
Es soll [mm] \integral_0^2 \integral_0^{\wurzel{4-x^2}} exp(x^2+y^2)dydx=\integral_0^2 \integral_0^{\wurzel{4-x^2}} e^{x^2+y^2}dydx [/mm] berechnet werden...
Das ganze erweckt für mich nun den Anschein, dass eine Koordinatentransformation in Polarkoordinaten besser geeignet wäre, um diese Aufgabe zu lösen.
Nun aber leider zu meinem ersten Verständnisproblem:
Allgemein gilt doch [mm] dxdy=rdrd\varphi
[/mm]
Meine Integrationsreihenfolge ist ja aber dydx
Muss ich nun zunächst die Integrationsreihenfolge auf dxdy ändern, damit ich gescheit integrieren kann?
mfg thadod
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Di 24.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo alle miteinander...
>
> ich habe leider ein kleines Problem mit der folgenden
> Aufgabe:
> Es soll [mm]\integral_0^2 \integral_0^{\wurzel{4-x^2}} exp(x^2+y^2)dydx=\integral_0^2 \integral_0^{\wurzel{4-x^2}} e^{x^2+y^2}dydx[/mm]
> berechnet werden...
Wenn ich es richtig interpretiere, soll also berechnet werden:
[mm] \integral_{A}^{}{exp(x^2+y^2) d(x,y)},
[/mm]
wobei [mm] $A=\{(x,y) \in \IR^2: x^2+y^2 \le 4, ~ x \le 0 \}$
[/mm]
Edit. es lauet natürlich: [mm] $A=\{(x,y) \in \IR^2: x^2+y^2 \le 4, ~ x \ge 0 ~ y \ge 0 \}$
[/mm]
>
> Das ganze erweckt für mich nun den Anschein, dass eine
> Koordinatentransformation in Polarkoordinaten besser
> geeignet wäre, um diese Aufgabe zu lösen.
So ist es.
>
> Nun aber leider zu meinem ersten Verständnisproblem:
>
> Allgemein gilt doch [mm]dxdy=rdrd\varphi[/mm]
>
> Meine Integrationsreihenfolge ist ja aber dydx
Das macht doch nichts. Die Reihenfolge ist nach Fubini wurscht.
>
> Muss ich nun zunächst die Integrationsreihenfolge auf dxdy
> ändern, damit ich gescheit integrieren kann?
Nein
FRED
>
> mfg thadod
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Di 24.01.2012 | | Autor: | thadod |
Dank für deine Unterstützung Fred...
> Das macht doch nichts. Die Reihenfolge ist nach Fubini wurscht.
Das wusste ich leider nicht.
Heißt das dann aber auch, dass trotzdem [mm] dydx=rdrd\varphi [/mm] gilt?
mfg thadod
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Di 24.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Dank für deine Unterstützung Fred...
>
> > Das macht doch nichts. Die Reihenfolge ist nach Fubini
> wurscht.
>
> Das wusste ich leider nicht.
> Heißt das dann aber auch, dass trotzdem [mm]dydx=rdrd\varphi[/mm]
> gilt?
Ja
FRED
>
> mfg thadod
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Di 24.01.2012 | | Autor: | thadod |
Okay Dankeschön für die Aufklärung...
Ich wollte nun zunächst die Menge bzw. den Integrationsbereich definieren.
Leider tu ich mich hiermit sehr schwer...
Ich schreibe nun zunächst:
[mm] \integral_0^2 \integral_0^{\wurzel{4-x^2}} exp(x^2+y^2)dydx=\integral_0^2 \integral_0^{\wurzel{4-x^2}} e^{x^2+y^2}dydx=\integral_0^2 \integral_0^{\wurzel{4-x^2}} e^{x^2+y^2}dxdy
[/mm]
Was ich nun über Polarkoordinaten weiß, ist ja absolut nichts neues.
Es gilt:
[mm] x^2+y^2=r^2
[/mm]
[mm] x=rcos\varphi
[/mm]
[mm] y=rsin\varphi
[/mm]
[mm] \varphi=arctan\bruch{y}{x}
[/mm]
Wie aber kann ich nun meinen Radius r und meinen Winkel [mm] \varphi [/mm] bestimmen um eine vernünftige Integration durchzuführen?
Was ich nun aus meinen Integralen herauslese ist ja eigentlich, [mm] y^2=\wurzel{4-x^2} [/mm] und somit ergibt sich [mm] x^2+y^2=4 [/mm] und somit gilt ja wiederum [mm] r^2=4 [/mm] und somit r=2
Aber wie kann ich das ganze auf mein Problem anwenden. Irgendwie steh ich grad auf dem schlauch...
hoffe ihr könnt mich nochmal aufwecken :)
mfg thadod
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> Okay Dankeschön für die Aufklärung...
>
> Ich wollte nun zunächst die Menge bzw. den
> Integrationsbereich definieren.
>
> Leider tu ich mich hiermit sehr schwer...
>
> Wie aber kann ich nun meinen Radius r und meinen Winkel
> [mm]\varphi[/mm] bestimmen um eine vernünftige Integration
> durchzuführen?
>
> Was ich nun aus meinen Integralen herauslese ist ja
> eigentlich, [mm]y^2=\wurzel{4-x^2}[/mm]
Fast. Du meinst sicher $y = [mm] \wurzel{4-x^2}$
[/mm]
Das ist aber nur halb korrekt. Es gilt nämlich $0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le \wurzel{4-x^2}$.
[/mm]
> und somit ergibt sich [mm]x^2+y^2=4[/mm] und somit gilt ja wiederum [mm]r^2=4[/mm] und somit r=2
Fast. $r [mm] \le [/mm] 2$
> Aber wie kann ich das ganze auf mein Problem anwenden.
> Irgendwie steh ich grad auf dem schlauch...
Warum nicht? Dir fehlt ja nur noch dein [mm] $\varphi$
[/mm]
Dazu macht dir erstmal folgendes klar.
Was ist denn die Menge [mm] $\{(x,y) \in\IR^2 | x^2 + y^2 \le 4\}$ [/mm] anschaulich gesehen ?
Nun ist es nur noch ein kleines dir klar zu machen, welche Menge dein Integrationsbereich [mm] $\{(x,y) \in\IR^2 | x^2 + y^2 \le 4, x \ge 0, y \ge 0\}$ [/mm] ist.
Und Welche Paare [mm] $(r,\varphi)$ [/mm] beschreiben nun die gleiche Menge? Dein r hast du ja nun schon bestimmt, bleibt nur noch, welche Werte dein [mm] \varphi [/mm] annehmen kann.
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Di 24.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Okay Dankeschön für die Aufklärung...
>
> Ich wollte nun zunächst die Menge bzw. den
> Integrationsbereich definieren.
>
> Leider tu ich mich hiermit sehr schwer...
>
> Ich schreibe nun zunächst:
>
> [mm]\integral_0^2 \integral_0^{\wurzel{4-x^2}} exp(x^2+y^2)dydx=\integral_0^2 \integral_0^{\wurzel{4-x^2}} e^{x^2+y^2}dydx=\integral_0^2 \integral_0^{\wurzel{4-x^2}} e^{x^2+y^2}dxdy[/mm]
Das 2. "=" stimmt aber gar nicht !
FRED
>
> Was ich nun über Polarkoordinaten weiß, ist ja absolut
> nichts neues.
>
> Es gilt:
>
> [mm]x^2+y^2=r^2[/mm]
>
> [mm]x=rcos\varphi[/mm]
>
> [mm]y=rsin\varphi[/mm]
>
> [mm]\varphi=arctan\bruch{y}{x}[/mm]
>
> Wie aber kann ich nun meinen Radius r und meinen Winkel
> [mm]\varphi[/mm] bestimmen um eine vernünftige Integration
> durchzuführen?
>
> Was ich nun aus meinen Integralen herauslese ist ja
> eigentlich, [mm]y^2=\wurzel{4-x^2}[/mm] und somit ergibt sich
> [mm]x^2+y^2=4[/mm] und somit gilt ja wiederum [mm]r^2=4[/mm] und somit r=2
>
> Aber wie kann ich das ganze auf mein Problem anwenden.
> Irgendwie steh ich grad auf dem schlauch...
>
> hoffe ihr könnt mich nochmal aufwecken :)
>
> mfg thadod
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Di 24.01.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo
> Das 2. "=" stimmt aber gar nicht !
Verzeihung. Habe die Integrationsreihenfolge ausversehen vertauscht.
Also das Integral bleibt nun in kartesischen Koordinaten wie folgt definiert:
[mm] \integral_0^2 \integral_0^{\wurzel{4-x^2}} exp(x^2+y^2)dydx=\integral_0^2 \integral_0^{\wurzel{4-x^2}} e^{x^2+y^2}dydx
[/mm]
Mit der Hilfe von Gono (vielen Dank) haben wir nun folgendes für die Koordinatentransformation in Polarkoordinaten gefunden:
Es gilt
[mm] y=\wurzel{4-x^2}
[/mm]
[mm] y^2=4-x^2
[/mm]
[mm] x^2+y^2=4
[/mm]
[mm] r^2=4
[/mm]
r=2
Und es ergibt sich somit für den Radius: 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 2
[mm] x^2+y^2 \le [/mm] 4 beschreibt einen Kreis (genauer VOLLKREIS) wodurch sich somit für den Winkel [mm] \varphi [/mm] folgendes ergeben dürfte:
0 [mm] \le \varphi \le 2\pi
[/mm]
Somit erhalte nach erfolgter Koordinatentransformation folgendes Integral:
[mm] \integral_0^{2} \integral_0^{2\pi} e^{r^2} [/mm] r dr [mm] d\varphi
[/mm]
mfg thadod
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Hiho,
> Und es ergibt sich somit für den Radius: 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] 2
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]x^2+y^2 \le[/mm] 4 beschreibt einen Kreis (genauer VOLLKREIS)
> wodurch sich somit für den Winkel [mm]\varphi[/mm] folgendes
> ergeben dürfte:
>
> 0 [mm]\le \varphi \le 2\pi[/mm]
Ja UND Nein.
Für den Vollkreis stimmt das, allerdings ist deine Menge ja gar kein Vollkreis!
Denn deine Menge ist ja nicht $A = [mm] \{(x,y) \in \IR^2: x^2 + y^2 \le 2\}$ [/mm] sondern $A = [mm] \{(x,y) \in \IR^2: x^2 + y^2 \le 2, x\ge 0, y \ge 0\}$
[/mm]
Das würdest du auch feststellen, wenn du dir die Integrationsgrenzen angeschaut hättest, die jeweils bei 0 starten!
Damit ergibt sich für [mm] $\varphi$ [/mm] welcher Bereich?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Di 24.01.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo Gono und wirklich tausend Dank für deine Hilfe...
Für [mm] \varphi [/mm] ergibt sich dann 0 [mm] \le \varphi \le \bruch{\pi}{2}
[/mm]
mfg thadod
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Hiho,
> Für [mm]\varphi[/mm] ergibt sich dann 0 [mm]\le \varphi \le \bruch{\pi}{2}[/mm]
MFG;
Gono.
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Ich frage mich grade, ob [mm] \integral_0^{2} \integral_0^{2\pi} e^{r^2} [/mm] r wirklich richtig ist?
Ich habe als Anfang
[mm] \integral_0^{2} \integral_0^{r sin \phi} e^{r^2} [/mm] r dr [mm] d\phi.
[/mm]
Stimmt das?
Wenn nicht, warum das oben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Mi 25.01.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo...
Ich hoffe, ich mach jetzt nichts falsch...
Das Integral [mm] \integral_0^2 \integral_0^{\wurzel{4-x^2}}e^{x^2+y^2} [/mm] dxdy beschreibt ja in kartesischen Koordinaten einen Viertelkreis im 1. Quadranten.
Hier ma eine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn du jetzt in Polarkoordinaten transformierst, erhälst du aber ein Rechteck im Polarkoordinatensystem im 1. Quadranten.
Hier ma eine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und deshalb ergibt sich [mm] \integral_0^2 \integral_0^{\bruch{\pi}{2}} e^{r^2} [/mm] r [mm] drd\varphi
[/mm]
es ist übrigens [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] und nicht [mm] 2\pi, [/mm] da der Winkel zwischen 0 [mm] \le \varphi \le \bruch{\pi}{2} [/mm] liegt, da ja nur ein Viertelkreis im 1. Quadranten beschrieben wird.
So hab ich das zumindest gelernt...
mfg thadod
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Ich checks einfach nicht.
Bist du dir sicher, dass vorallem die Integrationsreihenfolge so stimmt?
Denn es gilt ja 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 2 und bei der Reihenfolge wäre 0 [mm] \le 2\pi?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Mi 25.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich checks einfach nicht.
>
> Bist du dir sicher, dass vorallem die
> Integrationsreihenfolge so stimmt?
Die stimmt. Nochmal: die Reihenfolge ist wurscht.
> Denn es gilt ja 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] 2 und bei der Reihenfolge
> wäre 0 [mm]\le 2\pi?[/mm]
Hä ? ist denn 2 [mm] \pi [/mm] <0 ???
FRED
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Sorry ich meinte [mm] 0\le [/mm] r [mm] \le 2\pi
[/mm]
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