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| Aufgabe | Sei [mm] $f:[0,1]\times [0,1]\to\mathbb{R}$ [/mm] definiert durch:
[mm] $f(x,y):=\begin{cases} y^{-2}, \quad0
Zeigen Sie, dass
[mm] $\int_0^1\int_0^1 f(x,y)\, dx\, dy\neq \int_0^1\int_0^1 f(x,y)\, dy\, [/mm] dx$ |
Hallo,
ich habe gerade Probleme diese Mehrfachintegrale zu bestimmen.
Was mich am meisten stört ist die Definition der Funktion.
Ich habe versucht mir den Sachverhalt zu skizzieren um meine Grenzen anzupassen.
Ich möchte die Grenzen im inneren Integral von
[mm] \int_0^1\int_0^1 f(x,y)\, dx\, [/mm] dy
in Abhängigkeit von y angeben, damit ich das innere Integral dann über x, integrieren kann und im darauffolgenden Schritt über y.
Dies gelingt mir aber nicht. Auch zweifel ich leider an meiner Skizze...
Was müsste hier der erste Schritt sein, um das Integral zu bestimmen?
Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:36 Mo 07.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f:[0,1]\times [0,1]\to\mathbb{R}[/mm] definiert durch:
>
> [mm]f(x,y):=\begin{cases} y^{-2}, \quad0
>
> Zeigen Sie, dass
>
> [mm]\int_0^1\int_0^1 f(x,y)\, dx\, dy\neq \int_0^1\int_0^1 f(x,y)\, dy\, dx[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe gerade Probleme diese Mehrfachintegrale zu
> bestimmen.
> Was mich am meisten stört ist die Definition der
> Funktion.
>
> Ich habe versucht mir den Sachverhalt zu skizzieren um
> meine Grenzen anzupassen.
>
> Ich möchte die Grenzen im inneren Integral von
>
> [mm]\int_0^1\int_0^1 f(x,y)\, dx\,[/mm] dy
>
> in Abhängigkeit von y angeben, damit ich das innere
> Integral dann über x, integrieren kann und im
> darauffolgenden Schritt über y.
> Dies gelingt mir aber nicht. Auch zweifel ich leider an
> meiner Skizze...
>
> Was müsste hier der erste Schritt sein, um das Integral zu
> bestimmen?
>
> Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
> Vielen Dank im voraus.
Bei festem $y [mm] \in [/mm] (0,1)$ ist
$ [mm] \int_0^1 f(x,y)\, dx=\integral_{0}^{y}{\bruch{1}{y^2} dx}+\integral_{y}^{1}{(-\bruch{1}{x^2}) dx}$
[/mm]
FRED
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Vielen Dank.
Somit erhalte ich für
[mm] $\int_0^1\int_0^1 f(x,y)\, dx\, [/mm] dy=1$ und
[mm] $\int_0^1\int_0^1 f(x,y)\, dy\, [/mm] dx=-1$
Wenn ich das zweite Mehrfachintegral berechne, lasse ich [mm] $x\in(0,1)$ [/mm] fest. Dann ist
[mm] $\int_0^1 f(x,y)\, dy=\int_0^x -\frac{1}{x^2}\, dy+\int_x^1 \frac{1}{y^2}\, [/mm] dy$
Eine Frage dazu hätte ich aber noch.
Warum genau reduziert sich das Mehrfachintegral auf ein einzelnes, wenn man eine Variable festhält?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:30 Mo 07.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank.
>
> Somit erhalte ich für
>
> [mm]\int_0^1\int_0^1 f(x,y)\, dx\, dy=1[/mm] und
>
> [mm]\int_0^1\int_0^1 f(x,y)\, dy\, dx=-1[/mm]
>
> Wenn ich das zweite Mehrfachintegral berechne, lasse ich
> [mm]x\in(0,1)[/mm] fest. Dann ist
>
> [mm]\int_0^1 f(x,y)\, dy=\int_0^x -\frac{1}{x^2}\, dy+\int_x^1 \frac{1}{y^2}\, dy[/mm]
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> Eine Frage dazu hätte ich aber noch.
> Warum genau reduziert sich das Mehrfachintegral auf ein
> einzelnes, wenn man eine Variable festhält?
??????
Ein Integral der Form [mm]\int_0^1\int_0^1 f(x,y)\, dx\, dy[/mm] reduziert sich nicht auf ein Integral, sondern auf 2:
Setzt man [mm] g(y):=\int_0^1 f(x,y)\, dx\, [/mm] , so ist
[mm]\int_0^1\int_0^1 f(x,y)\, dx\, dy=\integral_{0}^{1}{g(y) dy} [/mm]
Vielleicht liegt Deine Frage am schludrigen Umgang mit Klammern: es ist
$ [mm] \int_0^1\int_0^1 f(x,y)\, dx\, [/mm] dy [mm] =\int_0^1(\int_0^1 f(x,y)\, dx\, [/mm] )dy $
FRED
FRED
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Vielen Dank. Nun ist alles klar.
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