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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 Sa 14.01.2006 | | Autor: | Ursus |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der von oben durch die Ebene z=y und von unten vom Paraboloid z= [mm] x^{2} +y^{2} [/mm] eingeschlossen wird. |
Hi Mathematikgenies!
Mein Ansatz:
Integriere über Normalbereich bezügl. z-Achse:
P={(x,y,z) [mm] \in \IR^{3} [/mm] | [mm] (x,y)\in [/mm] D, [mm] x^{2} +y^{2} \le [/mm] z [mm] \le [/mm] y}
Schneide z=y und z= [mm] x^{2} +y^{2}
[/mm]
y = [mm] x^{2} +y^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] \pm \wurzel{y-y^{2}}
[/mm]
Normalbereich bezügl. x-Achse:
D={(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] | 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1, [mm] -\wurzel{y-y^{2}} \le [/mm] x [mm] \le \wurzel{y-y^{2}} [/mm] }
[mm] \integral_{P}^{ } [/mm] {1 d(x,y,z)}
= [mm] \integral_{D}^{ } \integral_{x^2+y^2}^{y} [/mm] {1 dz} {f(x) d(x,y)}
= [mm] \integral_{D}^{ } {y-x^{2}-y^{2} d(x,y)}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1} \integral_{-\wurzel{y-y^{2}}}^{\wurzel{y-y^{2}}} {y-x^{2}-y^{2} dx} [/mm] {dy}
So und jetzt weiß ich nicht mehr weiter.
Ich hoffe, es passt bis hierher.
Wie muss ich meine Transformation wählen, damit ich das Doppelintegral ausrechnen kann?
Wie schaut die Schnittfigur x = [mm] \pm \wurzel{y-y^{2}} [/mm] aus?
Ist das eine Ellipse?
Vielen Dank für eure Hilfe!
mfg URSUS
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Hi, Ursus,
> Wie schaut die Schnittfigur x = [mm]\pm \wurzel{y-y^{2}}[/mm]
> aus?
> Ist das eine Ellipse?
Sogar ein Kreis!
Quadriere beide Seiten:
[mm] x^{2} [/mm] = y - [mm] y^{2}
[/mm]
[mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] - y = 0
Quadratische Ergänzung:
[mm] x^{2} [/mm] + [mm] (y-0,5)^{2} [/mm] = 0,25
Das ist die Mittelpunktsform eines Kreises mit M(0; 0,5) und Radius r=0,5.
mfG!
Zwerglein
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Falls du die Substitutionsregel für Bereichsintegrale schon kennst, geht es auch einfacher. Falls nicht, so vergiß diese Mitteilung.
Das zu bestimmende Volumen wird in einem [mm]xyz[/mm]-Koordinatensystem durch die Ungleichungen
[mm]x^2 + y^2 \leq z \ \ \wedge \ \ z \leq y[/mm]
beschrieben. Wenn man jetzt mittels der linearen Substitution
[mm]x = u \, , \ \ y = v + \frac{1}{2} \, , \ \ z = v + w + \frac{1}{4}[/mm]
neue Koordinaten einführt, so schreiben sich diese Ungleichungen als
[mm]u^2 + v^2 \leq w \ \ \wedge \ \ w \leq \frac{1}{4}[/mm]
Wegen [mm]\left| \frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(u,v,w)}} \right| = 1[/mm] folgt:
[mm]\int_{x^2 + y^2 \leq z, \, z \leq y}~~\mathrm{d}(x,y,z) \ = \ \int_{u^2 + v^2 \leq w, \, w \leq \frac{1}{4}}~~\mathrm{d}(u,v,w) \ = \ \int_0^{\frac{1}{4}}~\left( \int_{u^2 + v^2 \leq w}~~\mathrm{d}(u,v) \right)~\mathrm{d}w[/mm]
Hier berechnet das innere Integral einen Kreis vom Radius [mm]\sqrt{w}[/mm]. Dieser hat aber den Flächeninhalt [mm]\pi w[/mm]. Und eine letzte Integration nach [mm]w[/mm] schließt das Ganze ab.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Sa 14.01.2006 | | Autor: | Ursus |
Hallo Genies!
Vielen Dank für die schnellen Antworten.
Jetzt ist mir alles klar.
Bis bald, URSUS
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