Mehrfachintegrale < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Mi 03.08.2005 | | Autor: | taipan |
Hallo zusammen,
hab mal wieder ne Frage:
Berechnen Sie das Volumen des Körpers der durch die Ebenen 2*y- z=0 und 4*y-z=0 sowie den Zylinder [mm] x^2+y^2=4*y
[/mm]
Hilfe:Benutzen Sie Zylinderkoordinaten
Erstmal umschreiben:
1. 2*r*sin(Phi)=Z
2. 4*r*sin(Phi)=Z
3. [mm] (r*cos(Phi))^2+(r*sin(Phi))^2=4*r*sin(Phi)
[/mm]
So die erste Grenze Z steht fest von 1 nach 2 integrieren für Z
Nehm ich die dritte Gleichung und löse sie nach r um um die beiden zweiten Integrationsgrenzen zu bekommen?
Was hier dann währe r=4*sin(Phi) und R=0
Ist die letzte Integration dann immer von 0 nach 2 Pi!
Oder wie berechne ich das alles dann? Gibts dafür nen Schema zur Berechnung?
Danke im Voraus
|
|
| |
|
Der zu integrierende Bereich [mm]B[/mm] wird durch drei Ungleichungen beschrieben:
[mm]B: \ \ x^2 + y^2 \leq 4y \, , \ z \geq 2y \, , z \leq 4y[/mm]
Die erste Ungleichung kann man als [mm]x^2 + (y-2)^2 \leq 4[/mm] schreiben. In der [mm]xy[/mm]-Ebene stellt das eine Kreisscheibe vom Radius 2 um [mm](0,2,0)[/mm] dar. Das Volumen des Zylinders ändert sich nicht, wenn man ihn so verschiebt, daß die [mm]z[/mm]-Achse seine Symmetrieachse ist. Substituiert man daher in den drei obigen Ungleichungen [mm]y[/mm] durch [mm]y'+2[/mm] (während [mm]x=x', \, y=y'[/mm] bleiben), so findet man für den volumengleichen Bereich [mm]B'[/mm] die Ungleichungen
[mm]B': \ \ x'^{\, 2} + y'^{\, 2} \leq 4 \, , \ z' \geq 2y'+4 \, , \ z' \leq 4y'+8[/mm]
Das Bild zeigt, wie das aussieht (die [mm]x'[/mm]-Achse zeigt aus dem Bild heraus auf einen zu). Zu berechnen ist das Volumen des lilafarbenen Zylinderteils.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Durch die obere Schräge wird der gesamte Zylinder der Höhe [mm]H=16[/mm] halbiert. Davon ist noch das Volumen des durch die untere Schräge halbierten Zylinders der Höhe [mm]h=8[/mm] abzuziehen. Mit anderen Worten: Das lilafarbene Volumen ist gerade ein Viertel des gesamten Zylindervolumens. Damit hat das gesuchte Volumen den Wert
[mm]V(B) = V(B') = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 2^2 \cdot 16 = 16 \pi[/mm]
Ich finde, man sollte bei elementaren Aufgaben auch elementar rechnen. Wenn es aber denn unbedingt Integralrechnung sein muß, so ist auch hier zu empfehlen, die Kreisverschiebung bei Einführung neuer Koordinaten zu berücksichtigen. Es sind also gewissermaßen modifizierte Zylinderkoordinaten:
[mm]x = r \cos{\varphi} \, , \ y = 2 + r \sin{\varphi}[/mm] ([mm]z[/mm] bleibt)
Wie auch bei Zylinderkoordinaten ist die Funktionaldeterminante [mm]r[/mm]. Für das Volumen gilt daher
[mm]V(B) = \int_0^2~r \int_0^{2 \pi}~\int_{4+2r \sin{\varphi}}^{8+4r \sin{\varphi}}~~\mathrm{d}z~\mathrm{d} \varphi~\mathrm{d}r[/mm]
Und bei gewöhnlichen Zylinderkoordinaten muß man folgendermaßen rechnen:
[mm]V(B) = \int_0^{\pi}~\int_0^{4 \sin{\varphi}}~r \int_{2r \sin{\varphi}}^{4r \sin{\varphi}}~~\mathrm{d}z~\mathrm{d}r~\mathrm{d} \varphi[/mm]
Beachte hier, daß die Ungleichung [mm]r \leq 4 \sin{\varphi}[/mm] für [mm]\varphi \in (\pi,2\pi)[/mm] nicht erfüllbar ist. Daher die obere Grenze am [mm]\varphi[/mm]-Integral.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Do 04.08.2005 | | Autor: | taipan |
Super hab ich nachgerechnet. Danke für die Hilfe!
|
|
|
|
