Mehrfachintegral - Grenzen? < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Di 19.08.2008 | | Autor: | tom111 |
Hi,
ich habe hier vor mir ein Integral das als Grenze 0<a<b<c<d<1 angegeben hat und es wird über a,b,c,d integriert. In der Lösung steht nun, dass
man das ganze so aufspalten kann:
[mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{a}^{1}{\integral_{b}^{1}{\integral_{c}^{1}{ dd} dc} db} da}
[/mm]
Kann mir jemand erklären warum das so geht? Eigentlich dürfte zB b nur zwischen a und c liegen nicht zwischen a und 1. Aber dann könnte ich nicht integrieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Di 19.08.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Hi!
Bei stetigen Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen kannst du die Grenzen beliebig vertauschen (Satz von Fubini).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Di 19.08.2008 | | Autor: | tom111 |
Das erklärt mir irgendwie nicht, warum alle Integrale bis 1 laufen können.
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hier hatte ich mich geirrt...
LG al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Di 19.08.2008 | | Autor: | tom111 |
hm, ja stimmt, ich hab da was sehr mißverständlich beschrieben..also ich meine:
$ \ [mm] \integral_{0}^1\integral_{z}^1\integral_{y}^1\integral_{x}^1 [/mm] dw \ dx \ dy \ dz $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 Di 19.08.2008 | | Autor: | tom111 |
Es steht hier genauso da und der Sinn dabei ist, dass eben beim integrieren des innersten Integrals etwas rauskommt, was man mit dem nächsten mitintegrieren muss. Wären das unterschiedliche "Buchstaben", könnte ich das als Produkt schreiben und die einzelnen Integrale hätten nichts mehr miteinander zu tun.
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du hast Recht
ich habe mich geirrt - bitte um Entschuldigung !
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> Hi,
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> ich habe hier vor mir ein Integral das als Grenze
> 0<a<b<c<d<1 angegeben hat und es wird über a,b,c,d
> integriert. In der Lösung steht nun, dass
> man das ganze so aufspalten kann:
> [mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{a}^{1}{\integral_{b}^{1}{\integral_{c}^{1}{ dd} dc} db} da}[/mm]
>
> Kann mir jemand erklären warum das so geht? Eigentlich
> dürfte zB b nur zwischen a und c liegen nicht zwischen a
> und 1. Aber dann könnte ich nicht integrieren.
Um deutlich zu machen, was hier wirklich gefragt
ist, sollte man Klammern (und Abstände) benützen.
Zum Beispiel so:
[mm]\integral_{0}^{1}\left(\integral_{a}^{1}\left(\integral_{b}^{1}\left(\integral_{c}^{1}{ dd\right) dc\right) db\right) da}[/mm]
oder so:
[mm]\integral_{0}^{1} da *\left(\integral_{a}^{1}db*\left(\integral_{b}^{1}dc*\left(\integral_{c}^{1} dd\right) \right) \right) [/mm]
oder, noch deutlicher:
[mm]\integral_{a=0}^{1} da *\left(\ \integral_{b=a}^{1}db*\left(\ \integral_{c=b}^{1}dc*\left(\ \integral_{d=c}^{1} dd\right) \right) \right) [/mm]
LG
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> Hi,
>
> ich habe hier vor mir ein Integral das als Grenze
> 0<a<b<c<d<1 angegeben hat und es wird über a,b,c,d
> integriert. In der Lösung steht nun, dass
> man das ganze so aufspalten kann:
> [mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{a}^{1}{\integral_{b}^{1}{\integral_{c}^{1}{ dd}\ dc}\ db}\ da}[/mm]
>
> Kann mir jemand erklären warum das so geht? Eigentlich
> dürfte zB b nur zwischen a und c liegen nicht zwischen a
> und 1. Aber dann könnte ich nicht integrieren.
Hallo Tom,
nachträglich (und nachdem ich selber auch gepatzt
habe), ist mir deine Irritation über die Angabe
0<a<b<c<d<1 verständlicher als am Anfang.
Diese Ungleichungskette kann gar nicht
für alle Kombinationen der Werte von a,b,c und d
gelten, welche in der Integration insgesamt
explizit oder implizit(als Integrationsvariablen !) vor-
kommen. Man kann a,b,c,d hier nicht als vier vorge-
gebene konstante Zahlenwerte mit einer eindeutigen
Anordnung auffassen ! Vielleicht wäre also die
Aufgabenstellung verbesserungsbedürftig.
Es ist mir eine Analogie eingefallen:
PROGRAM Summe;
var a,b,c,d,s: integer;
BEGIN
s:=0;
for a:=0 to 10 do
for b:=a to 10 do
for c:=b to 10 do
for d:=c to 10 do
s:=s+1;
write(s)
END.
In diesem Programm (Pascal) nimmt a am Ende den
Wert a=10 an.
b kann den Wert 7 annehmen (allerdings nur, falls
der aktuelle Wert von a kleiner oder gleich 7 ist).
c kann den Wert 3 annehmen und d den Wert 0 .
Die zu einem bestimmten Zeitpunkt während des
Programmlaufs aktuellen Werte von a,b,c,d erfüllen
stets die Ungleichungskette [mm] a\le [/mm] b [mm] \le [/mm] c [mm] \le [/mm] d, während
dies für die überhaupt möglichen Werte von a,b,c,d
nicht zutrifft.
Nebenfrage für Interessierte:
Welche Summe s liefert das Programm als Ergebnis ?
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:39 Mi 20.08.2008 | | Autor: | tom111 |
hm..ich hab einfach ein Problem mit solchen Angaben von Integralgrenzen:
[mm] \integral_{0
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Ich habe meine unten stehende - etwas emotional geratene -
Ansicht revidiert (siehe spätere posts). Trotzdem lasse ich meinen
Text hier stehen: damit alle, die darauf stossen, auch noch was zu
lachen haben. Al-Chw. 
> hm..ich hab einfach ein Problem mit solchen Angaben von
> Integralgrenzen:
>
> [mm]\integral_{0
du meintest wohl die umgekehrte Reihenfolge
der Differentiale, wie vorher gehabt:
[mm]\green{\integral_{0
Ich auch.
Ehrlich gesagt: Ich finde es absoluten BullShit !
Die scheinbare Eleganz der Schreibweise mit nur einem
einzigen [mm] \integral [/mm] - Symbol ist ein armseliger Trost
dafür, dass überhaupt nicht mehr klar ist, was die Unter-
und Obergrenzen der einzelnen Integrale sein sollen.
Man könnte dieses hirnrissige "Integral" z.B. ebensogut als
[mm]\integral_0^{a}\integral_0^{b}\integral_0^{c}\integral_0^{1}{ dd\ dc\ db\ da}[/mm]
oder meinetwegen als
[mm]\integral_0^{a}\integral_a^{b}\integral_b^{c}\integral_c^{1}{ dd\ dc\ db\ da}[/mm]
interpretieren. In einem mathematischen Zusammenhang
ist so eine Schreibselei also einfach schwachsinnig.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 03:28 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Al-Chwarizmi |
(tom111:)
> > hm..ich hab einfach ein Problem mit solchen Angaben von
> > Integralgrenzen:
> >
> > [mm]\integral_{0
(Al-Chwarizmi:)
> Ich auch.
>
> Ehrlich gesagt: Ich finde es absoluten BullShit !
>
>
> Die scheinbare Eleganz der Schreibweise mit nur einem
> einzigen [mm]\integral[/mm] - Symbol ist ein armseliger Trost
> dafür, dass überhaupt nicht mehr klar ist, was die Unter-
> und Obergrenzen der einzelnen Integrale sein sollen.
> Man könnte dieses hirnrissige "Integral" z.B. ebensogut als
>
> [mm]\integral_0^{a}\integral_0^{b}\integral_0^{c}\integral_0^{1}{ dd\ dc\ db\ da}[/mm]
>
> oder meinetwegen als
>
> [mm]\integral_0^{a}\integral_a^{b}\integral_b^{c}\integral_c^{1}{ dd\ dc\ db\ da}[/mm]
>
> interpretieren. In einem mathematischen Zusammenhang
> ist so eine Schreibselei also einfach schwachsinnig.
(Al-Chwarizmi:)
Bin ich mit meiner oben vehement geäusserten
Meinung doch daneben ?
Wenn wir die Ungleichungskette 0<a<b<c<d<1
als Und-Verknüpfung betrachten:
0<a [mm] \wedge [/mm] a<b [mm] \wedge [/mm] b<c [mm] \wedge [/mm] c<d [mm] \wedge [/mm] d<1
dann können wir dies als eine Bedingung auffassen,
die in gewissen Punkten P(a/b/c/d) des Raumes [mm] \IR^4
[/mm]
erfüllt ist und in anderen nicht. Die Menge der Punkte
P [mm] \in \IR^4, [/mm] welche sie erfüllen(und alle weiteren Unglei-
chungen, welche daraus gefolgert werden können, wie
0<b, 0<c, 0<d, a<c, a<d, ... etc. , füllen ein gewisses
4D-Volumen. Dieses wird durch das Integral berechnet.
(Simplexvolumen ?)
Weitere Meinungen willkommen. 
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> Bin ich mit meiner oben vehement geäusserten
> Meinung doch daneben ?
>
> Wenn wir die Ungleichungskette 0<a<b<c<d<1
> als Und-Verknüpfung betrachten:
>
> 0<a [mm] \wedge [/mm] a<b [mm] wedgeb
>
> dann können wir dies als eine Bedingung auffassen,
> die in gewissen Punkten P(a/b/c/d) des Raumes [mm] \IR^4
[/mm]
> erfüllt ist und in anderen nicht. Die Menge der Punkte
> [mm] P\in \IR^4, [/mm] welche sie erfüllen(und alle weiteren
> Unglei-
> chungen, welche daraus gefolgert werden können, wie
> 0<b, 0<c, 0<d, a<c, a<d, ... etc. , füllen ein gewisses
> 4D-Volumen. Dieses wird durch das Integral berechnet.
> (Simplexvolumen ?)
>
>
> Weitere Meinungen willkommen.
Hallo,
da ich etwas einfach gestrickt bin, hole in das mal runter in Dimensionen, in denen meine Vorstellungskraft gut folgen kann.
Ich stelle mir vor, daß ich den Auftrag habe, das Integral der Funktion f=1 über der Fläche [mm] F=\{(x,y)| 0\le y \le x \le 1 \} [/mm] zu berechnen, [mm] \integral_{F}1dF.
[/mm]
(Bevor ich jetzt von irgendwoher fürchterliche Schelte beziehe: ja, ich weiß, wie normale Menschen Dreiecke berechnen! )
Wenn ich nun zuerst nach y integrieren will, überlege ich mir, daß mein y zwischen 0 und x läuft, das x dann zwischen 0 und 1, also rechne ich
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{x}dydx.
[/mm]
Wenn ich zuerst nach x integrieren wollte, würde ich mir überlegen, daß mein x nach unten durch y begrenzt ist und nach oben durch 1, [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{y}^{1}dxdy.
[/mm]
Nun wage ich mich etwas weiter vor: ich integriere f=1 über [mm] V:=\{(x,y,z)| 0 \le z\ le y\le x\le 1}. [/mm]
Das ist ein Tetraeder mit den Ecken (0,0,0), (1,0,0),(1,1,0), (1,1,1), und per Integration über V bekomme ich das Tetraedervolumen.
z läuft zwischen 0 und y
y läuft zwischen 0 und x
x läuft zwischen 0 und 1
also [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{x}\integral_{0}^{y}dzdydx,
[/mm]
oder andersrum
x läuft zwischen y und 1
y läuft zwischen z und 1
z läuft zwischen 0 und 1,
also also [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{z}^{1}\integral_{y}^1dxdydz,
[/mm]
Zweierlei läßt mich nun noch grübeln:
1. Habe ich die gestellte Frage beantwortet?
2. Habe ich eine Meinung geäußert?
Trotzdem ein Schlußwort:
mit $ [mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{a}^{1}{\integral_{b}^{1}{\integral_{c}^{1}{ dd} dc} db} da} [/mm] $ berechnet tom111
das Volumen eines Simplex mit den Ecken (1,1,1,1), (0,1,1,1), (0,0,1,1), (0,0,0,1), (0,0,0,0).
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Mi 20.08.2008 | | Autor: | tom111 |
Genau das meinte ich.
Bei 0<y<x<1 hab ich ja auch noch keine Probleme gehabt.
Aber sobald das mehr Variablen hat, war es mir zwar klar, wie ich die Integrale begrenzen soll, aber eben nicht warum das so funktioniert.
Ich habe auch versucht mir das an einem Tetraeder vorzustellen. Allerdings hatte ich mir die falschen Ecken ausgesucht.
Danke Angela (jetzt macht es Sinn :))
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danke Angela,
genau so (mit einer Betrachtung in der x-y-Ebene)
bin ich auch dazu gekommen, an meiner früher
geäusserten Meinung zu zweifeln. Man kann also
dem (doch irgendwie sehr salopp notierten !)
Mehrfachintegral doch einen Sinn zuordnen.
Man lernt nie aus...
Trotzdem frage ich mich, ob es didaktisch sinnvoll
ist, den Studenten derartige "stenographische"
Terme zuzumuten.
LG al-Chwarizmi>
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