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Mehrfache Nullstelle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:54 Mo 27.06.2005
Autor: Pit

Hallo,

ich habe gerade im dtv-atlas Mathematik Band 1 gelesen,daß eine zweifache Nullstelle von f(x) aus K[x] mindestens(!) einfache Nullstelle von f`(x) ist.
Wäre sie (z.B) zweifache Nullstelle von f´(x),dann würde doch noch f```(a)=0 gelten und somit wäre a dreifache Nullstelle von f(x).
Versteht das jemand ?

        
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Mehrfache Nullstelle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 Mo 27.06.2005
Autor: banachella

Hallo!

Das stimmt leider nicht ganz! Wähle zum Beispiel [mm] $f(x)=x^3+1$. [/mm] Dann ist [mm] $f'(x)=3x^2,\ [/mm] f''(x)=6x$ und $f'''(x)=6$.
Die $0$ ist doppelte Nullstelle von $f'$, aber keine Nullstelle von $f'''$. Aber sie ist Nullstelle von $f''$, wie dein Satz es dir ja auch angibt.
Du kannst daraus aber keine Rückschlüsse darauf ziehen, ob $0$ Nullstelle von $f$ ist. Und wie du siehst ist $f(0)=1$...

Gruß, banachella

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Mehrfache Nullstelle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:40 Mo 27.06.2005
Autor: Pit

Ich gehe jetzt mal von der Annahme aus,daß f  in a eine 2-fache Nullstelle hat,also f(a)=0,f`(a)=0,f``(a) [mm] \not=0 [/mm] gilt. Dann sagt der Satz,daß f`auch eine 2-fache Nullstelle haben kann,also f`(a)=0,f``(a)=0,f```(a) [mm] \not=0 [/mm]  im Widerspruch zu oben. Damit ist doch sofort klar,daß f`(a) nur eine einfache Nullstelle haben kann,oder nicht ?

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Mehrfache Nullstelle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:28 Di 28.06.2005
Autor: Hexe

Hm also das einzige was mir dazu einfallen würde, wäre das mit f hat 2fache Nullstelle eine mindestens 2fache Nullstelle gemeint ist, damit ist dann der Rest des Satzes klar

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Mehrfache Nullstelle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:47 Do 30.06.2005
Autor: Julius

Hallo Pit!

Zunächst einmal ist der Satz ja nicht falsch. Denn die Aussage: "$f'$ hat in $a$ eine mindestens einfache Nullstelle" ist ja eine schwächere Aussage als "$f'$ hat in $a$ eine (genau) einfache Nullstelle".

Ansonsten gehe ich aber wie Katrin (Hexe) davon aus, dass von vorneherein gemeint war, dass $f$ eine mindestens zweifache Nullstelle in $a$ besitzt.

Insgesamt stimme ich dir zu, dass das Ganz im dtv-Atlas nicht wirklich gut und sogar verwirrend beschrieben ist.

Viele Grüße
Julius

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Mehrfache Nullstelle: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:44 Mo 27.06.2005
Autor: Pit

Sorry,ich meinte:

Voraussetzung : f hat zweifache Nullstelle!

Hätte ich dazu schreiben sollen!

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