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| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral durch zweimalige partielle Integration:
[mm] \integral_{0}^{1}{2^x*x² dx} [/mm] |
Hallo,
die erste Integration ist kein Problem.
Nach der Regel:
[mm] \integral_{a}^{b}{u(x)*v(x) dx}= [u(x)*V(x)]-\integral_{a}^{b}{u'(x)*V(x) dx}
[/mm]
komme ich auf:
[x² * [mm] 2^x/ [/mm] ln(2)] - [mm] \integral_{0}^{1}{2x * 2^x/ ln (2) dx}
[/mm]
( für x²=u(x) & [mm] 2^x=v(x); [/mm] mit oberer/unterer Grenze hinter den [])
Wenn ich das ganze richtig verstanden habe, muss hier wegen der noch bestehenden Verknüpfung ein weiteres mal partiell Integriert werden.
Also wende ich die Regel wieder auf
[mm] \integral_{0}^{1}{2x * 2^x/ ln (2) dx} [/mm] an.
Dabei wähle ich: u(x)=2x & v(x)= [mm] 2^x/ln(2)
[/mm]
Mein Problem ist nun aber, dass ich nicht weiss, wie die Stammfunktion von v(x) zu bilden ist.
Kann mir jemand helfen?
vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Mo 02.02.2009 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Also das [mm] \bruch{1}{ln(x)} [/mm] und die 2 sind Konstanten, die du erstmal vor das Integral ziehen kannst.
Also ist deine eigentliche Frage ja jetzt sicherlich nur, wie man [mm] 2^x [/mm] integriert.
Und das hast du ja in der ersten Integration schonmal gemacht, also kommt
[mm] \bruch{2^x}{ln(2)} [/mm] raus.
Von daher versteh ich grad das Problem nicht wirklich.
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Ok, Danke, damit komme ich auf:
[x² * [mm] 2^x/ln(2)] [/mm] - 2/ln(2) [mm] [2^x/ln(2) [/mm] * x] - 1/ln(2)* [mm] [2^x/ln(2)]
[/mm]
Und damit komme ich auf:
2/ln(2) - 4/(ln(2))² - 2/(ln(2))²
Leider muss es wohl +2/(ln(2))² heißen.
Ich sehe aber nicht woher das zusätzliche Minus für einen VZW bei
[mm] \integral_{0}^{1}{2^x dx} [/mm]
kommen soll.
vielen Dank
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Hallo kernmeter,
du hast eine Minusklammer unterschlagen, und zwar die nach der ersten partiellen Integration.
Ohne Grenzen:
[mm] $\int{x^2\cdot{}2^x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] x^2\cdot{}\frac{2^x}{\ln(2)} [/mm] \ - \ [mm] \frac{2}{\ln(2)}\cdot{}\red{\left[}\int{x\cdot{}2^x \ dx}\red{\right]} [/mm] \ = \ [mm] x^2\cdot{}\frac{2^x}{\ln(2)} [/mm] \ - \ [mm] \frac{2}{\ln(2)}\cdot{}\red{\left[}x\cdot{}\frac{2^x}{\ln(2)} [/mm] \ - \ [mm] \frac{1}{\ln(2)}\cdot{}\int{2^x \ dx}\red{\right]} [/mm] \ = \ ...$
Damit kommst du bei der zweiten partiellen Integration auf das nötige "+"
LG
schachuzipus
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Ok, ich kriegs einfach nicht,
Nehme ich deine letzte Umformung:
[mm] x^2\cdot{}\frac{2^x}{\ln(2)} [/mm] \ - \ [mm] \frac{2}{\ln(2)}\cdot{}\red{\left[}x\cdot{}\frac{2^x}{\ln(2)} [/mm] \ - \ [mm] \frac{1}{\ln(2)}\cdot{}\int{2^x \ dx}\red{\right]} [/mm] \ = \ ...
Bekomme ich für ... :
[mm] [x²*2^x/ln(2)] [/mm] - 2/ln(2) [mm] [x*2^x(ln(2)] [/mm] - 1/ln(2) [mm] [2^x/ln(2)] [/mm] = 2/ln(2) - 4/(ln(2))² - 1/ln(2) (2/ln(2) - 1/ln(2)) = 2/ln(2) - 5/(ln(2))²
Ich sehe einfach den Fehler nicht. Für das letzte Integral muss ich doch genau das gleiche machen wie vorher auch...
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Hallo kernmeter,
das ist leider beinahe unleserlich, aber du hast schon wieder die Klammer unterschlagen, auf die ich extra hingewiesen habe
> Ok, ich kriegs einfach nicht,
>
> Nehme ich deine letzte Umformung:
>
> [mm]x^2\cdot{}\frac{2^x}{\ln(2)}[/mm] \ - \
> [mm]\frac{2}{\ln(2)}\cdot{}\red{\left[}x\cdot{}\frac{2^x}{\ln(2)}[/mm]
> \ - \ [mm]\frac{1}{\ln(2)}\cdot{}\int{2^x \ dx}\red{\right]}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\
> = \ ...
>
> Bekomme ich für ... :
>
> $[x²*2^x/ln(2)] - 2/ln(2) \red{\left(}[x*2^x(ln(2)] - 1/ln(2) [2^x/ln(2)]\red{\left)}$
Wenn du nun hier obere - untere Grenze einsetzt, ergibt das
$\underbrace{\frac{2}{\ln(2)}-\frac{4}{\ln^2(2)}+\frac{4}{\ln^3(2)}}_{\text{1 eingesetzt}} \ - \ \underbrace{\frac{2}{\ln^3(2)}}_{\text{0 eingesetzt}}$
$=\frac{2}{\ln(2)}-\frac{4}{\ln^2(2)}+\frac{2}{\ln^3(2)}$
> = 2/ln(2) - 4/(ln(2))² - 1/ln(2) (2/ln(2) - 1/ln(2)) = 2/ln(2) - 5/(ln(2))²$
>
> Ich sehe einfach den Fehler nicht. Für das letzte Integral
> muss ich doch genau das gleiche machen wie vorher auch...
Ja!
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Di 03.02.2009 | | Autor: | kernmeter |
Vielen Dank, endlich sehe ich es auch.
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