Mehrdimensionale Kettenregel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 Mo 01.07.2013 | | Autor: | Peitho |
| Aufgabe | Es sei
[mm] {f(x_{1}, x_{2})} [/mm] = [mm] x_{1}^{3} [/mm] - [mm] x_{1}x_{2} [/mm] + [mm] x_{2}^{3}
[/mm]
und [mm] x_{1} [/mm] = [mm] rcos(\alpha) [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] = [mm] rsin(\alpha) [/mm]
man berechne: [mm] \bruch{\partialf}{\partialr} [/mm] und [mm] \bruch{\partial f}{\partial \alpha} [/mm] |
Ich verstehe leider gar nicht wie ich vorgehen soll - der Ansatz fällt also recht dürftig aus.
Die alte Kettenregel kenne ich - Äußere mal Innere Ableitung, und ich weiß es funktioniert hier so ähnlich. Aber nur wie genau?
Mein [mm] \bruch{\partialf}{\partialr} [/mm] sieht so aus:
[mm] \begin{pmatrix}
\bruch{ \partial f (x_{1})}{\partial x_{1} (r)} & \bruch{ \partial f (x_{1})}{\partial x_{2} (r)} \\
\bruch{ \partial f (x_{2})}{\partial x_{1} (r)} & \bruch{ \partial f (x_{2})}{\partial x_{2} (r)}
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
(3x_{1}^{2} - x_{2}) * cos(\alpha) & ( 3x_{1}^{2} - x_{2}) * sin( \alpha) \\
( x_{2} + 3x_{2}^{2}) * cos(\alpha) & (x_{2} + 3x_{2}^{2} ) * (sin( \alpha)
\end{pmatrix}
[/mm]
oder sollte ich einfach [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] in f(x) einsetzten.
Für Erklärungen wie die Kettenregel nun richtig funktioniert wäre ich sehr dankbar.
Vielen Dank & liebe Grüße
peitho
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 Di 02.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
einfach einsetzen ist ne gute Möglichkeit,
hier die einfachste,
Gruss leduart
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Hallo,
natürlich geht das ganze mit dem Verfahren des Einsetzens, wie es leduart beschrieben hat. Doch da lernst du das Verfahren ja nicht. Deswegen hier noch einmal eine Erklärung.
Zu berechnen ist [mm] \frac{\partial f}{\partial \alpha}.
[/mm]
Nun gehen wir mal gaaaaaaaanz wüst hier mit den Rechenregeln um, und erweitern rein symbolisch (!!!) mit [mm] \partial{x_1}, [/mm] dann haben:
[mm] \frac{\partial f}{\partial \alpha}=\frac{\partial f}{\partial \alpha}\frac{\partial x_1}{\partial x_1}=\frac{\partial f}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial \alpha}
[/mm]
Und damit haben wir es im Prinzip auch schon. Da wir hier zwei Variablen haben, machen wir den Spaß auch noch mit [mm] x_2. [/mm] Das ergibt sich dann aber auch direkt aus dem Satz zur mehrdimensionalen Kettenregel. Obiges ist nur so eine kleine Merkstütze.
Oder wie man Prof immer sagte:
"Stellen Sie sich vor: Sie sind auf dem Flur, sie gehen in ein Zimmer hinein. Und im Zimmer greifen sie in die Schublade. Dann gehen sie wieder aus dem Zimmer heraus, und gehen in ein anderes Zimmer und greifen dort in eine Schublade hinein."
Die Übersetzung:
Der Flur ist die Funktion f. Dann gehst du in das Zimmer (Variable von f), also differenzierst du. Dann bist du ja in der Variablen drin (sprich: Zimmer) und greifst in die Schublade (also hier [mm] \alpha). [/mm] Da du hineingreifst differenzierst du.
Wenn du in das andere Zimmer gehst, hast du dann die andere Variable, sprich [mm] x_2.
[/mm]
Der Spruch mit innere mal äußere Ableitung hat also auch hier seine Gültigkeit, nur ist das ein bisschen versteckt... und eventuell auch verwirrend, da man ja mehrere Variablen hat.
Du kannst ja mal versuchen mit der Kettenregel deine Aufgabe zu lösen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Di 02.07.2013 | | Autor: | Peitho |
Erstmal, vielen Dank euch für die schnellen Antworten.
Ich habe erst mal [mm] f(x_{1} [/mm] , [mm] x_{2} [/mm] ) jeweils nach [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] abgeleitet.
Dann jeweils analog für x ( r , [mm] \alpha [/mm] )
Für [mm] \bruch{ \partial f }{ \partial r } [/mm] = [mm] \bruch{ \partial f }{ \partial x_{1} } [/mm] * [mm] \bruch{ \partial x_{1} }{ \partial r } [/mm] + [mm] \bruch{ \partial f }{ \partial x_{2} } [/mm] * [mm] \bruch{ \partial x_{2} }{ \partial r } [/mm] = 3 [mm] x_{1}^{2} [/mm] cos [mm] (\alpha [/mm] ) - [mm] x_{2} [/mm] cos ( [mm] \alpha [/mm] ) + [mm] x_{2} [/mm] sin ( [mm] \alpha) [/mm] + [mm] 3x_{2}^{2}sin(\alpha)
[/mm]
Für [mm] \bruch{ \partial f }{ \partial \alpha} [/mm] = [mm] -3x_{1}^{2} [/mm] + [mm] rx_{2} [/mm] sin [mm] (\alpha) [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] r cos ( [mm] \alpha) [/mm] + [mm] 3x_{2}^{2} [/mm] r cos ( [mm] \alpha)
[/mm]
ich hoffe ich hab das jetzt richtig verstanden.
Liebe Grüße,
peitho
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Hi
> Erstmal, vielen Dank euch für die schnellen Antworten.
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> Ich habe erst mal [mm]f(x_{1}[/mm] , [mm]x_{2}[/mm] ) jeweils nach [mm]x_{1}[/mm] und
> [mm]x_{2}[/mm] abgeleitet.
>
> Dann jeweils analog für x ( r , [mm]\alpha[/mm] )
>
> Für [mm]\bruch{ \partial f }{ \partial r }[/mm] = [mm]\bruch{ \partial f }{ \partial x_{1} }[/mm]
> * [mm]\bruch{ \partial x_{1} }{ \partial r }[/mm] + [mm]\bruch{ \partial f }{ \partial x_{2} }[/mm]
> * [mm]\bruch{ \partial x_{2} }{ \partial r }[/mm] = 3 [mm]x_{1}^{2}[/mm] cos
> [mm](\alpha[/mm] ) - [mm]x_{2}[/mm] cos ( [mm]\alpha[/mm] [mm] )\red{+}[/mm] [mm]x_{2}[/mm] sin ( [mm]\alpha)[/mm] +
> [mm]3x_{2}^{2}sin(\alpha)[/mm]
+ ? Meiner Meinung nach ist ein - da eher angebracht.
>
>
> Für [mm]\bruch{ \partial f }{ \partial \alpha}[/mm] = [mm]-3x_{1}^{2}[/mm] +
> [mm]rx_{2}[/mm] sin [mm](\alpha)[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] r cos ( [mm]\alpha)[/mm] + [mm]3x_{2}^{2}[/mm] r
> cos ( [mm]\alpha)[/mm]
bei dem 1. Summand fehlt doch noch was...
>
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> ich hoffe ich hab das jetzt richtig verstanden.
Das hast du.
Du kannst auch ruhig die Klammern stehen lassen. Keiner sagt, dass du alles ausmultiplizieren musst. Das ist womöglich sogar kontraproduktiv.
>
> Liebe Grüße,
>
> peitho
>
Etwas anderes noch: Bitte lass bei deinen Formeln keine Leerzeichen. Du sorgst damit, dass alle Formeln sauber formatiert werden. Dies hilft der Lesbarkeit und auch einer möglichen Korrektor.
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