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Mehrdimensionale Kettenregel: Idde und Erklärungen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:25 Di 29.01.2008
Autor: fittipaldi

Aufgabe
g: [mm] \IR^{n} \to \IR^{p} [/mm]
f: [mm] \IR^{p} \to \IR^{m} [/mm]

h(x) = f(g(x))

h: [mm] \IR^{n} \to \IR^{m} [/mm]

bestimmen Sie h'(x) mit der Kettenregel, indem:

n=m=p=2 f(u,v) = [mm] \vektor{sin(u-v) \\ cos(u-v)} [/mm] und g(x,y) = [mm] \vektor{x^{2} + y^{2} \\ 2xy } [/mm]

OK, bitte zu erst kann mir jemand gut diese mehrdimensionale Kettenregel erklären anhand des Beispiels oben ... bitte.

Zweitens, ich habe bemerkt, dass:

g: [mm] \IR^{n} \to \IR^{p} [/mm]
f: [mm] \IR^{p} \to \IR^{m} [/mm]
daraus folgt -  h: [mm] \IR^{n} \to \IR^{m} [/mm]
aber was ich nicht verstehe, warum ist dann es umgekehrt definiert:

h(x) = f(g(x)) ... muss es nicht umgekehrt sein?!

Danke im Voraus


        
Bezug
Mehrdimensionale Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:45 Di 29.01.2008
Autor: MathePower

Hallo,

> g: [mm]\IR^{n} \to \IR^{p}[/mm]
>  f: [mm]\IR^{p} \to \IR^{m}[/mm]
>  
> h(x) = f(g(x))
>  
> h: [mm]\IR^{n} \to \IR^{m}[/mm]
>  
> bestimmen Sie h'(x) mit der Kettenregel, indem:
>  
> n=m=p=2 f(u,v) = [mm]\vektor{sin(u-v) \\ cos(u-v)}[/mm] und g(x,y) =
> [mm]\vektor{x^{2} + y^{2} \\ 2xy }[/mm]
>  OK, bitte zu erst kann mir
> jemand gut diese mehrdimensionale Kettenregel erklären
> anhand des Beispiels oben ... bitte.

Es ist g(x,y) = [mm]\vektor{u(x,y) \\ v(x,y) }[/mm].

Dann haben wir also h(x,y) =f( u(x,y), v(x,y) )

Dann ergeben sich die partiellen Ableitungen zu:

[mm]\bruch{\partial h}{\partial x}\ =\ \bruch{\partial f}{\partial u}\ \bruch{\partial u}{\partial x}\ +\ \bruch{\partial f}{\partial v}\ \bruch{\partial v}{\partial x}[/mm]

[mm]\bruch{\partial h}{\partial y}\ =\ \bruch{\partial f}{\partial u}\ \bruch{\partial u}{\partial y}\ +\ \bruch{\partial f}{\partial v}\ \bruch{\partial v}{\partial y}[/mm]

>  
> Zweitens, ich habe bemerkt, dass:
>  
> g: [mm]\IR^{n} \to \IR^{p}[/mm]
>  f: [mm]\IR^{p} \to \IR^{m}[/mm]
>  daraus
> folgt -  h: [mm]\IR^{n} \to \IR^{m}[/mm]
>  aber was ich nicht
> verstehe, warum ist dann es umgekehrt definiert:
>  
> h(x) = f(g(x)) ... muss es nicht umgekehrt sein?!

Ja, nach den Buchstaben zu urteilen schon.

>  
> Danke im Voraus
>  

Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Mehrdimensionale Kettenregel: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 21:02 Di 29.01.2008
Autor: rainerS

Hallo!

> > Zweitens, ich habe bemerkt, dass:
>  >  
> > g: [mm]\IR^{n} \to \IR^{p}[/mm]
>  >  f: [mm]\IR^{p} \to \IR^{m}[/mm]
>  >  
> daraus
> > folgt -  h: [mm]\IR^{n} \to \IR^{m}[/mm]
>  >  aber was ich nicht
> > verstehe, warum ist dann es umgekehrt definiert:
>  >  
> > h(x) = f(g(x)) ... muss es nicht umgekehrt sein?!
>  
> Ja, nach den Buchstaben zu urteilen schon.

Nein, es ist völlig richtig. g geht von [mm]\IR^{n} \to \IR^{p}[/mm], und f hat sein Argument auch aus dem [mm]\IR^{p}[/mm] und seine Werte im [mm]\IR^{m}[/mm]. x ist ein Element des [mm]\IR^{n}[/mm], und h hat seine Werte im [mm]\IR^{m}[/mm]. Stimmt.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
Mehrdimensionale Kettenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:35 Di 29.01.2008
Autor: fittipaldi

Also dann passiert es in meinem Fall so:

h(x,y) = [mm] f(x^{2} [/mm] + [mm] y^{2}, [/mm] 2xy) = [mm] \vektor{sin(x^{2} + y^{2} - 2xy) \\ cos(x^{2} + y^{2} - 2xy)} [/mm]

stimmt das?!

wir haben also: u = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] und v = 2xy.

[mm] \bruch{\partial h}{\partial x}\ [/mm] = [mm] \bruch{\partial f}{\partial u}\ \bruch{\partial u}{\partial x}\ [/mm] + [mm] \bruch{\partial f}{\partial v}\ \bruch{\partial v}{\partial x} [/mm]

wie berechnet man [mm] \bruch{\partial f}{\partial u} [/mm]

wenn f ein polynom war, ok, aber f ist jetzt schon ein vektor!!!

Bezug
                        
Bezug
Mehrdimensionale Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 Mi 30.01.2008
Autor: MathePower

Hallo fittipaldi,

> Also dann passiert es in meinem Fall so:
>  
> h(x,y) = [mm]f(x^{2}[/mm] + [mm]y^{2},[/mm] 2xy) = [mm]\vektor{sin(x^{2} + y^{2} - 2xy) \\ cos(x^{2} + y^{2} - 2xy)}[/mm]
>  
> stimmt das?!
>  
> wir haben also: u = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] und v = 2xy.
>  
> [mm]\bruch{\partial h}{\partial x}\[/mm] = [mm]\bruch{\partial f}{\partial u}\ \bruch{\partial u}{\partial x}\[/mm]
> + [mm]\bruch{\partial f}{\partial v}\ \bruch{\partial v}{\partial x}[/mm]
>
> wie berechnet man [mm]\bruch{\partial f}{\partial u}[/mm]
>  
> wenn f ein polynom war, ok, aber f ist jetzt schon ein
> vektor!!!

Das gilt auch fuer Vektoren.

Da h(x,y) ein Vektor ist, sind auch [mm]\bruch{\partial h}{\partial x}[/mm] und [mm]\bruch{\partial h}{\partial y}[/mm] Vektoren.

Und einen Vektor leitet man komponentenweise ab:

[mm]f \left ( u,v \right ) = \begin{pmatrix} f_1 \left ( u, v \right ) \\ f_2 \left ( u,v \right ) \end{pmatrix}[/mm]

[mm]\bruch{\partial f \left (u,v) \right )}{\partial u} = \begin{pmatrix} \bruch{\partial f_1 \left (u,v) \right )}{\partial u} \\ \bruch{\partial f_2 \left (u,v) \right )}{\partial u}\end{pmatrix}[/mm]

Gruß
MathePower

Bezug
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