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| Aufgabe | EDIT:
Neue frage:
Ich habe eine Frage zu folgenden Seite:
![[]](/images/popup.gif) Extremstellen |
Angenommen ich habe eine 3x3 Matrix und habe die 3 Eigenwerte bestimmt.
ein Eigenwert ist >0
ein anderes ist <0
und das letzte Eigenwert ist =0
was wäre die definitheit dieser Matrix?
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Hallo,
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> Neue frage:
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> Ich habe eine Frage zu folgenden Seite:
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> Extremstellen
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> Angenommen ich habe eine 3x3 Matrix und habe die 3
> Eigenwerte bestimmt.
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> ein Eigenwert ist >0
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> ein anderes ist <0
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> und das letzte Eigenwert ist =0
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> was wäre die definitheit dieser Matrix?
Eine solche Matrix wäre indefinit, da es positive und negative Eigenwerte gibt.
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
soweit ich weiß gilt:
positiv definit: Alle Eigenwerte >0
negativ definit: Alle Eigenwerte <0
indefinit: Eigenwerte: positive und negativ (Darf der Eigenwert hier auch Null sein?)
positiv semidefinit: Alle Eigenwerte [mm] \le [/mm] 0
negativ semidefinit: Alle Eigenwerte [mm] \ge [/mm] 0
so ich dachte, wenn ein Eigenwert =0 ist, dann ist die Matrix semidefinit. Dem ist nicht so?
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Hallo nochmal,
> Hallo,
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> soweit ich weiß gilt:
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> positiv definit: Alle Eigenwerte >0
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> negativ definit: Alle Eigenwerte <0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> indefinit: Eigenwerte: positive und negativ (Darf der
> Eigenwert hier auch Null sein?)
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> positiv semidefinit: Alle Eigenwerte [mm]\le[/mm] 0
>
> negativ semidefinit: Alle Eigenwerte [mm]\ge[/mm] 0
Umgekehrte Realtionszeichen ... Da haste dich vertippt ...
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> so ich dachte, wenn ein Eigenwert =0 ist, dann ist die
> Matrix semidefinit.
Was ist denn Semidefinitheit?
> Dem ist nicht so?
Nein; eine Matrix ist indefinit, falls es positive und negative Eigenwerte gibt. Dass da ein(ige) Eigenwert(e) 0 ist (sind), ist egal, Hauptsache (mindestens) ein positiver und ein negativer EW ist dabei.
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:22 So 04.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> EDIT:
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> Neue frage:
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> Ich habe eine Frage zu folgenden Seite:
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> Extremstellen
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> Angenommen ich habe eine 3x3 Matrix und habe die 3
> Eigenwerte bestimmt.
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> ein Eigenwert ist >0
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> ein anderes ist <0
>
> und das letzte Eigenwert ist =0
>
> was wäre die definitheit dieser Matrix?
Das kannst Du doch selbst mit der Def. überprüfen !
Sei $A$ eine symmetrische nxn - Matrix und
[mm] $Q_A(x):= [/mm] x^TAx$
ihre quadratische Form. [mm] Q_A [/mm] bzw. A heißt indefinit [mm] \gdw [/mm] es ex. u,v [mm] \in \IR^n [/mm] mit [mm] Q_A(u)<0 [/mm] und [mm] Q_A(v)>0.
[/mm]
Wenn jetzt A Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] <0 und [mm] \mu [/mm] >0 hat, so ex. u,v [mm] \in \IR^n [/mm] mit $u [mm] \ne [/mm] 0 [mm] \ne [/mm] v$ und [mm] $Au=\lambda [/mm] u$ und $Av= [mm] \mu [/mm] v.$
Rechne nun nach: [mm] $Q_A(u)=\lambda ||u||^2<0$ [/mm] und [mm] $Q_A(v)=\mu ||v||^2>0$
[/mm]
FRED
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