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| Aufgabe | Geg. sei die Fkt. f(x)=(x*exp(x/2))/(exp(x)-1)
a) Entwickeln Sie die Fkt. in eine McLaurinsche Reihe bis zu linearen Termen in x.
Hinweis: Benutzen Sie die Entwicklung der Exponentialfkt. (1. Näherung).
b) Geben Sie einen Näherungsausdruck für f(x) für große Werte von x (x>>1) an.
Hinweis: Vernachlässigen Sie 1 gegen exp(x) für x>>1. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Eine erste Teilaufgabe, die Bestimmung der Grenzwerte für x gegen 0 bzw. unendlich, habe ich bereits gelöst. Ich weiß auch, wie man eine McLaurinsche Reihe entwickelt, & "lineare Terme in x" heißt ja eigentlich nur bis zur ersten Ableitung. Mein Problem: Sowohl für f(0) als auch für f'(O) wird der Nenner 0, was ja kein definierter Ausdruck ist. Was soll zudem der Hinweis aussagen? Die 1. Näherung für y=exp(x) ist y=1+x, meine Fkt. ist doch aber viel komplexer?
b) habe ich nun überhaupt nicht mehr verstanden, höchstwahrscheinlich, weil es auf a) aufbaut. Der Ausdruck "1 gegen exp(x)" gibt mir auch Rätsel auf.
Ich wäre äußerst dankbar für Lösungsansätze, als letztes möchte ich noch sagen, dass diese Aufgaben üblicherweise recht einfach sind, das heißt, es muss eigentlich nicht so kompliziert gedacht werden. vielen dank also!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:11 Do 08.02.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo
Die Reihenentwicklungen von [mm] $xe^{x/2}$ [/mm] ist
[mm] $x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{2!\cdot 2^2}+\dots+\frac{x^n}{2^{n-1}\cdot(n-1)!}+\dots$
[/mm]
und diejenige von [mm] $e^x-1$ [/mm] ist
[mm] $x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\dots$
[/mm]
Wenn man den Quotienten anschaut, kann man ein x kürzen und erhält.
[mm] $f(x)=\frac{1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{2!\cdot 2^2}+\dots+\frac{x^{n-1}}{2^{n-1}\cdot(n-1)!}+ \dots}{1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\dots+\frac{x^{n-1}}{n!}+\dots}$
[/mm]
Hieraus kann man entnehmen [mm] $\lim_{x\to 0}f(x)=1$. [/mm] Die Funktion hat daher keine Pol an der Stelle $x=0$.
Ist Weiter [mm] $f(x)=1+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+\dots$, [/mm] dann muss natürlich
[mm] $f(x)\cdot (1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\dots)= 1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{2!\cdot 2^2}+\dots$
[/mm]
oder
[mm] $(1+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+\dots)\cdot(1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\dots)= 1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{2!\cdot 2^2}+\dots$
[/mm]
gelten. Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich ein Gleichungssystem, aus denen man die [mm] $a_i$ [/mm] berechnen kann.
z.B.: [mm] $(a_1+\frac{1}{2!})x=\frac{1}{2}x$
[/mm]
[mm] $(a_2+a_1\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!})x^2=\frac{1}{2!\cdot2^2}x^2$ [/mm]
etc.
D.h. [mm] $a_1=0$, $a_2=-\frac{1}{24}$ [/mm] etc.
b) Hier wird nur gesagt, dass man für Grosse x den Nenner [mm] $e^x-1$ [/mm] durch [mm] $e^x$ [/mm] ersetzen kann.
mfG Moudi
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Vielen Dank! Zu meiner Ehrenrettung muss gesagt werden, dass ich b) mittlerweile vermutet hatte, aber a) hätte ich nie lösen können, weil mir nicht klar war, dass man bei Taylor/McLaurin Zähler & Nenner getrennt entwickeln darf. Also, noch einmal ein großes Dankeschön.
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