McLaurin-Reihe allg. Form < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:08 Mi 12.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
| Aufgabe | | Entwickeln Sie die McLaurin-Reihe in allgemeiner Form für [mm] $f(x)=\bruch{1}{(1+x)^2}$ [/mm] |
Zunächst habe ich die Gleichung zur Reihenentwicklung ein wenig "hübscher" gemacht:
[mm] $f(x)=(x+1)^{-2}$
[/mm]
McLaurin-Reihe wird ja für die Stelle x=0 entwickelt.
[mm] $f(x)=1-\bruch{2x}{1!}+\bruch{6x^2}{2!}-\bruch{24x^3}{3!}+\bruch{120x^4}{4!}$
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $f(x)=1-2x+3x^2-4x^3+5x^4 [/mm] [...]$
Wie schreibe ich das denn jetzt in der allgemeinen Form [mm] $P(x)=\summe [/mm] ...$ ?
Ich erkenne, dass die Vorzeichen bei jedem zweiten Polynom wechseln und der Faktor und das Polynom immer um 1 wachsen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:50 Mi 12.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Entwickeln Sie die McLaurin-Reihe in allgemeiner Form für
> [mm]f(x)=\bruch{1}{(1+x)^2}[/mm]
>
> Zunächst habe ich die Gleichung zur Reihenentwicklung ein
> wenig "hübscher" gemacht:
>
> [mm]f(x)=(x+1)^{-2}[/mm]
>
> McLaurin-Reihe wird ja für die Stelle x=0 entwickelt.
>
> [mm]f(x)=1-\bruch{2x}{1!}+\bruch{6x^2}{2!}-\bruch{24x^3}{3!}+\bruch{120x^4}{4!}[/mm]
Besser: [mm]f(x)=1-\bruch{2x}{1!}+\bruch{6x^2}{2!}-\bruch{24x^3}{3!}+\bruch{120x^4}{4!}-+.....[/mm]
Wie bist Du denn darauf gekommen ?
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]f(x)=1-2x+3x^2-4x^3+5x^4 [...][/mm]
>
> Wie schreibe ich das denn jetzt in der allgemeinen Form
> [mm]P(x)=\summe ...[/mm] ?
Wieso plötzlich P ?
Ich sehe 3 Möglichkeiten:
1. Finde eine Darstellung von [mm] \bruch{f^{(n)}(0)}{n!} [/mm] für n [mm] \in \IN_0 [/mm] und beweise sie induktiv.
2. Entwickle für |x|<1 den Term [mm] \bruch{1}{1+x} [/mm] in eine geometrische Reihe.
Es ist [mm] $f(x)=-(\bruch{1}{1+x})'$ [/mm] für |x|<1
3. Entwickle für |x|<1 den Term [mm] \bruch{1}{1+x} [/mm] in eine geometrische Reihe und berechne [mm] \bruch{1}{(1+x)^2} [/mm] mit dem Cauchyprodukt.
FRED
>
> Ich erkenne, dass die Vorzeichen bei jedem zweiten Polynom
> wechseln und der Faktor und das Polynom immer um 1 wachsen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:56 Mi 12.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
> > Entwickeln Sie die McLaurin-Reihe in allgemeiner Form für
> > [mm]f(x)=\bruch{1}{(1+x)^2}[/mm]
> >
> > Zunächst habe ich die Gleichung zur Reihenentwicklung ein
> > wenig "hübscher" gemacht:
> >
> > [mm]f(x)=(x+1)^{-2}[/mm]
> >
> > McLaurin-Reihe wird ja für die Stelle x=0 entwickelt.
> >
> >
> [mm]f(x)=1-\bruch{2x}{1!}+\bruch{6x^2}{2!}-\bruch{24x^3}{3!}+\bruch{120x^4}{4!}[/mm]
>
> Besser:
> [mm]f(x)=1-\bruch{2x}{1!}+\bruch{6x^2}{2!}-\bruch{24x^3}{3!}+\bruch{120x^4}{4!}-+.....[/mm]
>
> Wie bist Du denn darauf gekommen ?
Indem ich zunächst die Ableitungen gebildet habe und in die Ableitungen x=0 eingesetzt habe.
Sprich:
[mm] $f'(x)=-2*(1+x)^{-3} [/mm] ; f'(0)=-2
usw.
Und das ganze dann in die Grundform der McLaurin Reihe:
[mm] $f(x)=f(0)+\bruch{f'(0)}{1!}*x+\bruch{f''(0)}{2!}*x^2 [/mm] + [...] + [mm] \bruch{f^{('n)}(0)}{n!}*x^n$
[/mm]
>
>
> >
> > [mm]\gdw[/mm]
> >
> > [mm]f(x)=1-2x+3x^2-4x^3+5x^4 [...][/mm]
> >
> > Wie schreibe ich das denn jetzt in der allgemeinen Form
> > [mm]P(x)=\summe ...[/mm] ?
>
> Wieso plötzlich P ?
Weil das der Ansicht unseres Profs nach die allgemeine Form einer Reihe ist.
Bsp:
[mm] $P(x)=\summe_{n=1}^{\infty}{n!(x+2)^n}$
[/mm]
Und genau so möchte er nun diese Reihe auch sehen. Ich erkenne zwar das "Muster" der Reihe, habe aber keine Ahnung wie ich das in der Summe ausdrücken soll. Ich weiß nur, dass ich noch die Variable k brauche.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:12 Mi 12.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Entwickeln Sie die McLaurin-Reihe in allgemeiner Form für
> > > [mm]f(x)=\bruch{1}{(1+x)^2}[/mm]
> > >
> > > Zunächst habe ich die Gleichung zur Reihenentwicklung ein
> > > wenig "hübscher" gemacht:
> > >
> > > [mm]f(x)=(x+1)^{-2}[/mm]
> > >
> > > McLaurin-Reihe wird ja für die Stelle x=0 entwickelt.
> > >
> > >
> >
> [mm]f(x)=1-\bruch{2x}{1!}+\bruch{6x^2}{2!}-\bruch{24x^3}{3!}+\bruch{120x^4}{4!}[/mm]
> >
> > Besser:
> >
> [mm]f(x)=1-\bruch{2x}{1!}+\bruch{6x^2}{2!}-\bruch{24x^3}{3!}+\bruch{120x^4}{4!}-+.....[/mm]
> >
> > Wie bist Du denn darauf gekommen ?
>
> Indem ich zunächst die Ableitungen gebildet habe und in
> die Ableitungen x=0 eingesetzt habe.
>
> Sprich:
>
> [mm]$f'(x)=-2*(1+x)^{-3}[/mm] ; f'(0)=-2
> usw.
>
> Und das ganze dann in die Grundform der McLaurin Reihe:
>
> [mm]f(x)=f(0)+\bruch{f'(0)}{1!}*x+\bruch{f''(0)}{2!}*x^2 + [...] + \bruch{f^{('n)}(0)}{n!}*x^n[/mm]
>
> >
> >
> > >
> > > [mm]\gdw[/mm]
> > >
> > > [mm]f(x)=1-2x+3x^2-4x^3+5x^4 [...][/mm]
> > >
> > > Wie schreibe ich das denn jetzt in der allgemeinen Form
> > > [mm]P(x)=\summe ...[/mm] ?
> >
> > Wieso plötzlich P ?
>
> Weil das der Ansicht unseres Profs nach die allgemeine Form
> einer Reihe ist.
Komisch... Dann sollst Du also f in eine Reihe entwickeln und anschließend P stat f schreiben. So ein Schmarrn ....
> Bsp:
>
> [mm]P(x)=\summe_{n=1}^{\infty}{n!(x+2)^n}[/mm]
>
> Und genau so möchte er nun diese Reihe auch sehen. Ich
> erkenne zwar das "Muster" der Reihe, habe aber keine Ahnung
> wie ich das in der Summe ausdrücken soll
Hab ich Dir nun 3 Möglichkeiten angeboten, wie Du das machen kannst , oder nicht ?????
> . Ich weiß nur,
> dass ich noch die Variable k brauche.
Hä ? Wie das ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:17 Mi 12.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
Das hast Du. Nur leider weiß ich damit nichts anzufangen.
Ich werde es einfach, sollte es in der Prüfung gefragt sein, bei der Darstellung belassen, die ich "erarbeitet" habe. Besser Teilpunkte als garkeine.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:19 Mi 12.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Das hast Du. Nur leider weiß ich damit nichts anzufangen.
Dann schildere doch Deine Problem !
> Ich werde es einfach, sollte es in der Prüfung gefragt
> sein, bei der Darstellung belassen, die ich "erarbeitet"
> habe. Besser Teilpunkte als garkeine.
Mein Gott, ist das eine Auffassung !
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:53 Mi 12.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
Mein Problem ist, dass ich keine Ahnung habe wie ich von der Schreibweise wie ich sie dort stehen habe auf die Schreibweise als Summe kommen soll.
Da helfen mir leider auch nicht deine drei Vorschläge, weil ich einfach nichts damit anzufangen weiß.
Das hat nichts mit meiner Einstellung zu tun, sondern damit, dass ich nur noch diese Woche Zeit habe mich auf die Prüfung vorzubereiten und Reihen und Folgen nur 20% der Punkte sind und da würden mir persönlich Teilpunkte reichen, weil 50% der Prüfung Differentialgleichungen sind und ich die lieber bis zum erbrechen lerne statt mich jetzt noch mit Sachen aufzuhalten, die ich a) nicht verstehe und b) nicht nachvollziehen kann. Die weiteren 30% (Mehrfachintegrale) warten nämlich auch noch auf mich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Mi 12.02.2014 | | Autor: | hippias |
Wenn ich es richtig verstehe, hast Du Schwierigkeiten das richtig erkannte Bildungsgesetz fuer den $n$-ten Koeffizienten in der Reihe als Formel auszudruecken.
Es sei also $P(x)= [mm] \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}= 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+5x^{4}\ldots$.
[/mm]
1. Vorzeichenwechsel kann man immer prima durch Potenzen von $-1$ erzeugen: [mm] $(-1)^{0}=1$, $(-1)^{1}= [/mm] -1$, [mm] $(-1)^{2}= [/mm] 1$ etc. Der nullte Summand ist positiv, faengt also mit [mm] $(-1)^{0}= [/mm] 1$ an. Daher kann man [mm] $a_{n}= (-1)^{n}b_{n}$ [/mm] sagen, wobei [mm] $b_{n}$ [/mm] nun den Vorfaktor "ohne Vorzeichen" darstellt.
2. Ein kleine Tabelle hilft vielleicht zur Bestimmung von [mm] $b_{n}$:
[/mm]
n | [mm] b_{n}
[/mm]
---------
0 | 1
1 | 2
2 | 3
3 | 4
4 | 5
[mm] $\vdots$
[/mm]
n | ???
Die rechte Seite ist immer um $1$ groesser als die linke. Daher ist [mm] $b_{n}=\ldots$.
[/mm]
Jetzt kannst Du einsetzen $P(x)= [mm] \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\ldots x^{n}$ [/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Mi 12.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
[mm] $b_n=(n+1)$
[/mm]
Wäre ja dann:
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}{(-1)^n*(n+1)x^n}$
[/mm]
Oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Mi 12.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]b_n=(n+1)[/mm]
>
> Wäre ja dann:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}{(-1)^n*(n+1)x^n}[/mm]
So ist es
FRED
>
> Oder?
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