Maximum, Minimum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 Mo 21.04.2014 | | Autor: | Gina2013 |
| Aufgabe | Es sei M eine endliche Menge reeller Zahlen. Zeigen Sie, dass M ein Min hat
und das min(M)=-max(-M) gilt, wobei die Menge -M definiert ist als [mm] \{-x |x\in M \} [/mm] |
Guten Abend, könnte mir jemand vl paar Tipps zur Lösung diese Aufgabe geben?
Habe [mm] min(M)=\{x |x\in Mx\inM \}, [/mm] wobei -x=min(M) ist und [mm] min(-M)=\{-x|x\in M \} [/mm] definiert. Wäre das schon mal richtiger Anfang? Wenn ja, dann wüßte ich nicht, wie ich max definieren sollte.
Freue mich über jede Hilfe.
Lg Gina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:33 Di 22.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst die Def. von Min bzw Max benutzen, und das was da steht ist doch nicht richtig?
wenn [mm] x\in [/mm] M dann muss doch -x nicht in M liegen, adann kann doch -x nicht Min(M) sein.
1. Schritt, du sollst zeigen dass M ein Min und ein Max hat, dazu musst du benutzen, dass M endlich ist. und aus reellen Zahlen besteht.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:45 Di 22.04.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Vielen Dank, ist schon viel verständlicher geworden, aber dann wäre [mm] M=\{ m_{1}, m_{2}, ......, m_{n} \}, [/mm] und [mm] 0
M [mm] \subseteq\IR, [/mm] aber warum ist die Menge M endlich? Und wie zeige ich das? Oder sagt [mm] m_{n} [/mm] schon, dass die Menge endlich ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:41 Di 22.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Gina,
Die Menge
[mm] M\subset\IR
[/mm]
ist nach Voraussetzung endlich!
Du kannst [mm] $M\not=\emptyset$ [/mm] definieren als
[mm] M=\{a_1,\ldots,a_n\}=\{a_k\mid k=1,2,\ldots,n\},
[/mm]
wobei
[mm] a_1,\ldots,a_n\in\IR
[/mm]
und
[mm] |M|=n\in\IN
[/mm]
die Mächtigkeit von [mm] $M\$ [/mm] ist.
Zeige nun induktiv, dass [mm] $M\$ [/mm] ein Minimum besitzt. Der Be-
weis, dass [mm] $M\$ [/mm] ein Maximum besitzt ist dann analog. Falls
du das voraussetzen darfst, dann definiere direkt das Max-
imum bzw. das Minimum und zeige die Eigenschaft.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Di 22.04.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Hallo noch mal.
Komme jetzt irgendwie nicht weiter.
Also, wie ich vorhin min und max von der Menge M gezeigt habe, ist falsch?
Gruß Gina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Di 22.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Du hast doch auch [mm] $M\not=\emptyset$ [/mm] definiert als
[mm] M=\{a_1,\ldots,a_n\}=\{a_k\mid k=1,2,\ldots,n\}, [/mm]
wobei
[mm] a_1,\ldots,a_n\in\IR,
[/mm]
aber daraus folgt nicht
[mm] $a_1\le a_2\le\ldots\le a_n$,
[/mm]
sowie
[mm] \min(M)=a_1 [/mm] und [mm] \max(M)=a_n.
[/mm]
Mein Tipp bleibt:
Zeige nun induktiv, dass $ M\ $ ein Minimum besitzt. Der Be-
weis, dass $ M\ $ ein Maximum besitzt ist dann analog. Falls
du das voraussetzen darfst, dann definiere direkt das Max-
imum bzw. das Minimum und zeige die Eigenschaft.
Eventuell zum Verständnis: [mm] \IR [/mm] ist ein angeordneter Körper.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Di 22.04.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Soll ich dann schreiben, dass [mm] 0\le a_{1} [/mm] damit man sieht, dass [mm] a_{1} [/mm] ein Minimum ist? Oder verstehe ich nicht, wie man induktiv zeigen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Di 22.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Soll ich dann schreiben, dass [mm]0\le a_{1}[/mm] damit man sieht,
> dass [mm]a_{1}[/mm] ein Minimum ist?
Nein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Sei
[mm] M_1:=\{1,0\},
[/mm]
dann ist
[mm] \min(M_1)\not=1
[/mm]
und
[mm] \max(M_1)\not=0.
[/mm]
Die Menge muss nicht sortiert sein!
> Oder verstehe ich nicht, wie man induktiv zeigen soll.
| Aufgabe | | Zeigen Sie (beispielsweise mittels Induktion), dass jede enldiche Menge reeller Zahlen ein Maximum besitzt. |
Zeige diese Behauptung induktiv über die Anzahl der Elemente.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Di 22.04.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Wenn die Menge M nur aus einem Element besteht, dann ist es ein Maximum oder nur angenommen ein Maximum/ bzw ein Minimum?
Sei [mm] M=\{x_{1},x_{2}, x_{3},......,x_{n} \} [/mm] dann falls [mm] x_{n}\ge [/mm] ( [mm] x_{1},x_{2},..... x_{n-1}), [/mm] ist [mm] x_{n} [/mm] ein Maximum und falls [mm] x_{n}\le (x_{1}, x_{2},..... x_{n-1}) [/mm] ein Minimum.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Di 22.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Wenn die Menge M nur aus einem Element besteht, dann ist es
> ein Maximum oder nur angenommen ein Maximum/ bzw ein
> Minimum?
Nein.
Sei
[mm] $\emptyset\not=M\subseteq\IR$ [/mm] und $|M|=1$.
Wir definieren
[mm] $M:=\{\alpha\},
[/mm]
wobei
[mm] \alpha\in\IR
[/mm]
beliebig ist. Dann gilt:
[mm] \min(M)=\max(M)=\alpha.
[/mm]
> Sei [mm]M=\{x_{1},x_{2}, x_{3},......,x_{n} \}[/mm] dann falls
> [mm]x_{n}\ge[/mm] ( [mm]x_{1},x_{2},..... x_{n-1}),[/mm] ist [mm]x_{n}[/mm] ein
> Maximum und falls [mm]x_{n}\le (x_{1}, x_{2},..... x_{n-1})[/mm] ein
> Minimum.
Nacheinander.
1) Zeige, dass jede endliche Menge reeller Zahlen ein Maximum besitzt.
2) Zeige, dass jede endliche Menge reeller Zahlen ein Minimum besitzt.
(Wobei die zweite Aussage dann analog folgt, sodass ich mich
mich im Folgenden auf die erste Aussage beziehen werde.)
Was ist denn hier die genaue Induktionsvoraussetzung?
Für den Induktionsschritt betrachten wir
[mm] M:=\{x_1,\ldots,x_n\}=\{x_1,\ldots,x_{n-1}\}\cup\{x_n\}.
[/mm]
Falls nun
[mm] $\max(x_1,\ldots,x_{n-1})\ge x_n$,
[/mm]
dann folgt? Sonst folgt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Di 22.04.2014 | | Autor: | Gina2013 |
dann folgt dass [mm] x_{n} [/mm] ein Minimum von M ist und falls [mm] x_{n}\ge max(x_{1}, x_{2},...., x_{n-1}), [/mm] dann [mm] x_{n} [/mm] ist ein Maxium.
Habe ich nicht das gleiche hingeschrieben? Die Vereinigung von zwei Mengen habe ich ausgelassen, da war mein Fehler.
Aber wie zeige ich, dass min(M)=-max(-M) ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Di 22.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
> dann folgt dass [mm]x_{n}[/mm] ein Minimum von M ist und falls
> [mm]x_{n}\ge max(x_{1}, x_{2},...., x_{n-1}),[/mm] dann [mm]x_{n}[/mm] ist
> ein Maxium.
> Habe ich nicht das gleiche hingeschrieben? Die Vereinigung
> von zwei Mengen habe ich ausgelassen, da war mein Fehler.
Das ist und war übrigens nicht dein einziger Fehler. Es
geht doch zunächst nur um das Maximum! Es gilt:
[mm] M:=\{x_1,\ldots,x_n\}=\{x_1,\ldots,x_{n-1}\}\cup\{x_n\}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \max(M):=\begin{cases} \max(x_1,\ldots,x_{n-1}), & \mbox{falls } \max(x_1,\ldots,x_{n-1})\ge x_n \\ x_n, & \mbox{sonst } \end{cases}.
[/mm]
Jetzt folgt eigentlich die zweite Aussage
>> Zeige, dass jede endliche Menge reeller Zahlen ein Minimum besitzt.
analog.
> Aber wie zeige ich, dass min(M)=-max(-M) ist?
Der gute Marcel hat gerade hier "etwas" dazu geschrieben. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Do 24.04.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Ich weiß leider nicht, was ich für die Fragezeichen ansetzen sollte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Do 24.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du willst doch die Elemente umordnen, so dass das erste das kleinste ist.
welches Zeichen muss dann zwischen den Elementen stehen?
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Do 24.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Gina2013!
Wenn ich nichts überlesen habe, wurden hier im Thread noch gar nicht die Definitionen von einem Maximum und einem Minimum festgehalten.
Eine reelle Zahl $m$ heißt Minimum einer Menge [mm] $M\subseteq\IR$, [/mm] wenn gilt:
1. [mm] $m\in [/mm] M$ und
2. [mm] $m\le [/mm] m'$ für alle [mm] $m'\in [/mm] M$.
Eine reelle Zahl $n$ heißt Maximum einer Menge [mm] $N\subseteq\IR$, [/mm] wenn gilt:
1. [mm] $n\in [/mm] N$ und
2. [mm] $n\ge [/mm] n'$ für alle [mm] $n'\in [/mm] N$.
Man kann sich überlegen, dass jede Menge [mm] $M\subseteq\IR$ [/mm] höchstens ein Maximum und höchstens ein Minimum besitzen kann.
Diese reellen Zahlen werden im Falle ihrer Existenz mit [mm] $\max(M)$ [/mm] bzw. [mm] $\min(M)$ [/mm] bezeichnet.
> Aber wie zeige ich, dass min(M)=-max(-M) ist?
Vorweg sollte man sich kurz überlegen, warum überhaupt [mm] $\min(M)$ [/mm] und [mm] $\max(-M)$ [/mm] existieren:
Mit $M$ ist auch $-M$ endlich und nichtleer. (Denn wenn etwa [mm] $M=\{m_1,\ldots,m_n\}$ [/mm] gilt, so folgt [mm] $-M=\{-m_1,\ldots,-m_n\}$.)
[/mm]
Nach dem bereits gezeigten Teil der Aufgabe existieren somit Minimum und Maximum von $M$ und $-M$.
Sei nun [mm] $n:=\max(-M)$, [/mm] d.h. $n$ bezeichnet das existierende und eindeutig bestimmte Maximum von $-M$, d.h. [mm] $n\in [/mm] -M$ und [mm] $n\ge [/mm] n'$ für alle [mm] $n'\in [/mm] -M$.
Zu zeigen ist nun: [mm] $\min(M)=-n$, [/mm] d.h. $-n$ ist ein Minimum von $M$.
D.h. zu zeigen ist
1. [mm] $-n\in [/mm] M$
2. [mm] $-n\le [/mm] m'$ für alle [mm] $m'\in [/mm] M$.
Wegen [mm] $n\in [/mm] -M$ existiert ein [mm] $m\in [/mm] M$ mit $n=-m$.
Wegen [mm] $n\ge [/mm] n'$ für alle [mm] $n'\in [/mm] M$ gilt [mm] $n\ge [/mm] -m'$ für alle [mm] $m'\in [/mm] M$.
Folgere nun 1. und 2.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Do 24.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Gina2013!
Ich denke, es ist an der Zeit, den Beweis, dass jede nichtleere endliche Teilmenge [mm] $M\subseteq\IR$ [/mm] ein Maximum besitzt, sauber aufzuschreiben und fehlende Begründungen zu ergänzen.
Wir zeigen per Induktion nach [mm] $n\in\IN\setminus\{0\}$: [/mm] Jede n-elementige Menge [mm] $M\subseteq\IR$ [/mm] besitzt ein Maximum.
Induktionsanfang (n=1):
Sei $M$ eine 1-elementige Menge.
Dann lässt sich $M$ in der Form [mm] $M=\{m\}$ [/mm] schreiben.
Zeige nun mittels der in meiner anderen Antwort genannten Definition eines Maximums: $m$ ist ein Maximum von $M$.
Induktionsschritt (n-1->n für [mm] $n\ge [/mm] 2$):
Sei $M$ eine n-elementige Menge.
Dann lässt sich $M$ in der Form [mm] $M=M^\*\cup\{m\}$ [/mm] für eine $n-1$ elementige Menge [mm] $M^\*$ [/mm] und ein Element [mm] $m\in [/mm] M$ schreiben
(Wegen $M$ n-elementig für [mm] $n\ge [/mm] 2$ ist $M$ nichtleer. Man wähle ein beliebiges Element [mm] $m\in [/mm] M$ und [mm] $M^\*:=M\setminus\{m\}$.).
[/mm]
Nach Induktionsvoraussetzung besitzt [mm] $M^\*$ [/mm] ein Maximum [mm] $m^\*$, [/mm] d.h. [mm] $m^\*$ [/mm] genügt den Bedingungen...
Sei nun
[mm] $\widetilde{m}:=\begin{cases}m^\*,&\text{ falls }m^\*\ge m\\m,&\text{ falls }m^\*
Zeige nun: [mm] $\widetilde{m}$ [/mm] ist ein Maximum von $M$.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:47 So 27.04.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Vielen vielen Dank an Leduart und Tobias für so ausführliche Erklärung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:50 So 27.04.2014 | | Autor: | Gina2013 |
An dieacht natürlich auch vielen Dank und dass man so viel Geduld mit mir hat.
Gruß Gina
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