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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Fr 18.03.2011 | | Autor: | FH68 |
| Aufgabe | | In einem Kuafhaus wird im Abstand von jeweils einer Minute notiert, wieviele Kunden das Kaufhaus seit der letzten Zählung betreten haben.. Es werden n Zählungen [mm] X_1 [/mm] , ... , [mm] X_n [/mm] durchgeführt. Sei [mm] X_i [/mm] die Anzahl der Kunden, die in der i-tenMinute das Kaufhaus betreten. Aus Erfahrung geht man davon aus, dass die [mm] X_i [/mm] poissonverteilt und, dass [mm] X_1 [/mm] , ... , [mm] X_n [/mm] unabhängig sind. |
Aufgabe: Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für den Parameter [mm] \lambda [/mm] der Poissonverteilung.
Meine Lösung:
Poissonverteilung: [mm] P(\lambda) [/mm] = [mm] \bruch{\lambda ^x}{x!} e^{-\lambda}
[/mm]
L = [mm] \produkt_{i=1}^{n} \bruch{\lambda ^x}{x!} e^{-\lambda}
[/mm]
= [mm] e^{-n*\lambda} [/mm] * [mm] \produkt_{i=1}^{n} \bruch{\lambda ^x}{x!} [/mm]
log L = [mm] -\lambda [/mm] * n + [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (log [mm] \bruch{\lambda ^xi}{x_i !})
[/mm]
= [mm] -\lambda [/mm] * n + [mm] n*x*log(\lambda) [/mm] - n*log(x!)
[mm] \bruch{dlogL}{d\lambda} [/mm] = 0 = -n [mm] +\bruch{n*x}{\lambda} [/mm]
--> n = [mm] \bruch{n*x}{\lambda} [/mm] --> [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{n*x}{n} [/mm] = x
Das Ergebnis soll aber eigentlich sein: [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} x_i [/mm] = x(balken)
Wo ist mein Fehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo FH68,
> In einem Kuafhaus wird im Abstand von jeweils einer Minute
> notiert, wieviele Kunden das Kaufhaus seit der letzten
> Zählung betreten haben.. Es werden n Zählungen [mm]X_1[/mm] , ...
> , [mm]X_n[/mm] durchgeführt. Sei [mm]X_i[/mm] die Anzahl der Kunden, die in
> der i-tenMinute das Kaufhaus betreten. Aus Erfahrung geht
> man davon aus, dass die [mm]X_i[/mm] poissonverteilt und, dass [mm]X_1[/mm] ,
> ... , [mm]X_n[/mm] unabhängig sind.
>
> Aufgabe: Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer
> für den Parameter [mm]\lambda[/mm] der Poissonverteilung.
>
> Meine Lösung:
> Poissonverteilung: [mm]P(\lambda)[/mm] = [mm]\bruch{\lambda ^x}{x!} e^{-\lambda}[/mm]
>
> L = [mm]\produkt_{i=1}^{n} \bruch{\lambda ^x}{x!} e^{-\lambda}[/mm]
Das ist schlampig aufgeschrieben. Du meinst:
[mm]\prod\limits_{i=1}^n\frac{\lambda^{x_{\red{i}}}}{x_{\red{i}}!}e^{-\lambda}[/mm]
>
> = [mm]e^{-n*\lambda}[/mm] * [mm]\produkt_{i=1}^{n} \bruch{\lambda ^x}{x!}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> log L = [mm]-\lambda[/mm] * n + [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] (log [mm]\bruch{\lambda ^xi}{x_i !})[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Mal mit Index i, mal ohne ... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
>
> = [mm]-\lambda[/mm] * n + [mm]n*x*log(\lambda)[/mm] - n*log(x!)
[mm]=-n\lambda+\sum\limits_{i=1}^n\log\left(\lambda^{x_i}\right)-\sum\limits_{i=1}^n\log(x_i!)[/mm] wegen [mm] $\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)$
[/mm]
[mm]=-n\lambda+\sum\limits_{i=1}^nx_i\cdot{}\log(\lambda) \ - \ \sum\limits_{i=1}^n\log(x_i!)[/mm] wegen [mm] $\log\left(a^b\right)=b\cdot{}\log(a)$
[/mm]
[mm]=-n\lambda+\log(\lambda)\cdot{}\sum\limits_{i=1}^nx_i \ - \ \sum\limits_{i=1}^n\log(x_i!)[/mm]
Du kannst die [mm]x_i[/mm] nicht nach Belieben aus der Summe ziehen ...
Nun nochmal nach [mm]\lambda[/mm] differenzieren und =0 setzen ...
> [mm]\bruch{dlogL}{d\lambda}[/mm] = 0 = -n [mm]+\bruch{n*x}{\lambda}[/mm]
> --> n = [mm]\bruch{n*x}{\lambda}[/mm] --> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{n*x}{n}[/mm] =
> x
>
> Das Ergebnis soll aber eigentlich sein: [mm]\lambda[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} x_i[/mm] = x(balken)
>
> Wo ist mein Fehler?
Schlampige Schreibweise und bei den Umformungen
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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