Maximum Likelihood Schätzer < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Sa 29.06.2013 | | Autor: | johnny23 |
| Aufgabe | Bei der Produktion von Monitoren soll die erwartete Anzahl defekter Pixel aus einer Stichprobe der Größe n mittels der Maximum-Likelihood Methode geschätzt werden. Die Monitore haben eine sehr hohe Auflösung, die Pixel fallen unabhängig voneinander aus, und die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Pixel ausfällt ist sehr klein.
1. Modellieren Sie das Schätzproblem.
2. Bestimmen Sie den ML-Schätzer für die erwartete Anzahl defekter Pixel eines Monitores.
3. Betrachten Sie nun die Folge von Schätzern [mm] t^n [/mm] mit [mm] t^n (x_{1},..., x_{n}) [/mm] = [mm] x_{n}^2. [/mm] Schätzt diese Folge die erwartete Anzahl defekter Pixel konsistent? |
Hallo!
Folgendes habe ich mir überlegt:
Sei X := die Anzahl der defekten Pixel eines Monitors.
Bei n Monitoren ist der Stichprobenraum dann X = [mm] (X_{1}, [/mm] ... [mm] ,X_{n}) [/mm] wobei jedes [mm] X_{i} [/mm] dann [mm] N(\mu,\sigma^2) [/mm] verteilt ist.
Nun soll [mm] \nu [/mm] = [mm] \mu [/mm] , der Erwartungswert, geschätzt werden.
Ergibt nach diesen Überlegungen das statistische Modell P = [mm] \{N(\mu, \sigma^2)\* ... \* N(\mu,\sigma^2) | \nu = \mu, \mu \in \IR,\sigma^2 > 0\}
[/mm]
Dann erhalte ich die Likelihood-Funktion:
[mm] L_{(X_{1},...,X_{n})} (\nu) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi\sigma^2}}exp(-\bruch{(X_{1}-\nu)^2}{2\sigma^2})*...*\bruch{1}{\wurzel{2\pi\sigma^2}}exp(-\bruch{(X_{n}-\nu)^2}{2\sigma^2}) [/mm] = [mm] (\bruch{1}{2\pi\sigma^2})^{\bruch{n}{2}}exp(-\bruch{\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-\nu)^2}{2\sigma^2})
[/mm]
Nach Wikipedia (ja nicht die beste Quelle) kann dann aufwendig das Maximum dieser Funktion bestimmt werden, sodass man schließlich [mm] \nu=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i} [/mm] = [mm] \overline{x} [/mm] erhält.
Nun meine erste Frage: Ist dieses Vorgehen von der Idee her überhaupt korrekt?
Weiter scheint mir dieses Vorgehen sehr kompliziert und wahrscheinlich hätte ich ohne Recherche kein Maximum bestimmen können. Kann man das Schätzproblem vereinfachen? Immerhin wird in der Aufgabenstellung ja darauf hingewiesen, dass es sehr viele Pixel gibt und nur sehr wenige Pixel defekt sind. Allerdings ist mir keine Idee gekommen, diesen Hinweis umzusetzen.
Also weitere Fragen: Wie würdet ihr hier vorgehen? Kann man das Problem einfacher darstellen?
Viele Grüße, der Johnny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:17 So 30.06.2013 | | Autor: | triad |
Hi, sitze auch vor der Aufgabe und bekomme die Modellierung nicht wirklich hin. Was sagt mir denn, dass die [mm] X_i [/mm] normalverteilt sind?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 So 30.06.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ich wuerde mit dem Modell einer Bernoulli-Verteilung arbeiten. Normalverteilung macht hier keinen Sinn.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 So 30.06.2013 | | Autor: | triad |
> Moin,
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> ich wuerde mit dem Modell einer Bernoulli-Verteilung
> arbeiten. Normalverteilung macht hier keinen Sinn.
>
> vg Luis
Hi, danke für deine Antwort. Wie macht man dies am besten? Ich würde setzen
X="Anzahl defekter Pixel einer Stichprobe der Größe n" [mm] =\summe_{i=1}^{n}X_i [/mm] ~ [mm] Bin(n,\nu) [/mm] mit [mm] X_i= [/mm] "Anzahl defekter Pixel von Monitor i" [mm] \overset{u.i.v.}{\sim } Bin(1,\nu).
[/mm]
So oder so ähnlich. Und der Stichprobenraum ist [mm] \mathfrak{X}=\{0,\dots ,m\}\ni (x_1,...,x_n)=X [/mm] mit m als Anzahl der Pixel eines Monitors? Hab noch Schwierigkeiten mit den Zusammenhängen der ganzen X's und wie man das richtig aufschreibt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 So 30.06.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ich sehe das so: Jeder Monitor weist $K$ Pixel auf. Es wird eine Stichprobe von $n$ Monitoren gezogen. Jeder der $i$ Monitore weist [mm] $x_i$ [/mm] defekte Pixel auf.
Stelle nun die Likelihoodfunktion auf ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Mo 01.07.2013 | | Autor: | yangwar1 |
Ich habe [mm] X_i [/mm] als Anzahl der Pixelfehler für Monitor i gesetzt und dann gilt
[mm] \summe_{i=1}^{n}X_i [/mm] = X. Da die Auflösung sehr groß ist, ein Pixelfehler aber sehr unwahrscheinlich ist, ist doch [mm] X_i [/mm] als Poissonverteilt anzunehmen.
Also gilt [mm] E(X)=E(\summe_{i=1}^{n}X_i)=\summe_{i=1}^{n}E(X_i)=n*E(X_1)=n*\gamma [/mm] , wobei [mm] \gamma [/mm] der Erwartungswert von [mm] E(X_1) [/mm] ist, also der Parameter in [mm] Poi(\gamma).
[/mm]
Nun muss ein Schätzer t gefunden werden, der die ML Eigenschaft hat.
Dazu muss die Likelihood-Funktion [mm] L_x (\gamma) [/mm] aufgestellt werden. Der Stichprobenraum ist hier {0,...,N}.
Wie stellt man nun die Likelihood Funktion auf? Ich bin so vorgegangen:
[mm] L_x(\gamma)=Exp(-\gamma)*\bruch{\gamma ^x}{x!}.
[/mm]
Durch Ableiten und Nullsetzen erhält man für festes x als maximalstelle von [mm] L_x: \gamma=x.
[/mm]
Also E(X)=n*x.
Aber irgendwie kann das so nicht stimmen. Wo liegt denn der Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Mo 01.07.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin, du brauchst keine Approximnation an die Poisson-Verteilung. Die Wsk, dass [mm] $x_i$ [/mm] Ausfaelle bei Monitor $i$ zu beobachten sind, ist [mm] $p^{x_i}(1-p)^{K-x_i}$. [/mm] Die Likelihoodfunktion ist dann
[mm] $L(p)=\prod_{i=1}^np^{x_i}(1-p)^{K-x_i}$ [/mm] ...
vg Luis
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