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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:56 So 28.06.2009 | | Autor: | trulla |
| Aufgabe | | Sei [mm] P_{x} \in {\produkt_{\lambda} : \lambda>0} [/mm] mit [mm] \produkt_{\lambda} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{\lambda^{k}}{k!} e^{-\lambda} \delta_{k} [/mm] . Man bestimme die MLS [mm] \overline{\lambda} [/mm] für den unbekannten Parameter [mm] \lambda [/mm] |
Ich weiß ehrlich nicht, wie ich hier vorgehen muss. Es ist ja fast die Poissonverteilung, aber kann mit dem [mm] \delta_{k} [/mm] nichts anfangen und weiß nicht, wie man die Schätzer davon bestimmt. Vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen. Danke.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 So 28.06.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
also ich würde sagen, es handelt sich hier um das Punktmaß, du hast also einfach eine Poissonverteilung vorliegen.
gruß
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 So 28.06.2009 | | Autor: | trulla |
heißt das, die Lösung ist einfach [mm] \overline{X_{n}} [/mm] wie bei der Poissonzverteilung rauskommt??? Und was mache ich mit dem [mm] \delta? [/mm] das kann ich doch nicht einfach vernachlässigen, oder!?
aber auch den Lösungsweg bei der Poissonverteilung weiß ich nicht, hab die Lösung nur aus dem Netz. Wär super, wenn ihr mir die Vorgehensweise nochmal näher erläutern könntet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 So 28.06.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
[mm]L(\lambda)=\bruch{\lambda \summe x_i}{\produkt x_i !}e^{-n \lambda}[/mm]
[mm]ln(L(\lambda))=ln(\lambda) \summe x_i - ln( \produkt x_i ! ) -n \lambda[/mm]
nach [mm] \lambda [/mm] ableiten und null setzen führt auf:
[mm]\lambda = \bruch{\summe x_i}{n}[/mm]
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 So 28.06.2009 | | Autor: | trulla |
wie kommst du denn auf die erste zeile, also das [mm] L(\lambda)?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 So 28.06.2009 | | Autor: | Blech |
Die Zähldichte ist: $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{\lambda^{k}}{k!} e^{-\lambda} [/mm] $
d.h. eine Beobachtung [mm] $x_i$ [/mm] tritt mit Wkeit [mm] $\bruch{\lambda^{x_i}}{x_i!} e^{-\lambda} [/mm] $ auf.
Wegen Unabhängigkeit gilt dann wie üblich für die Likelihood:
[mm] $L(\theta;\ x_1,\ldots,x_n)=\prod_{i=1}^n \bruch{\lambda^{x_i}}{x_i!} e^{-\lambda} [/mm] = [mm] \bruch{\lambda^{\sum_{i=1}^n x_i}}{\prod_{i=1}^n x_i!} e^{-\lambda} [/mm] $
vivo hat da einmal ne geschweifte Klammer vergessen, aber was er gemeint hat, sieht man eine Zeile drunter.
Oh, und er hat ganz Recht:
$ [mm] \psi(A):=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{\lambda^{k}}{k!} e^{-\lambda} \delta_{k}(A) [/mm] $
ist die Poissonverteilung
[mm] $\delta_k$ [/mm] ist das Kroneckerdelta, Kroneckermaß, was auch immer, und es gilt
[mm] $\delta_k(A)=1_{A}(k)$, [/mm] d.h. eine Menge A hat Maß 1, falls sie k enthält.
Damit hat
[mm] $\phi(A):=\sum_{k=0}^\infty \delta_k(A)$
[/mm]
bei allen natürlichen Zahlen und der 0 Masse 1.
Das Maß einer Menge ist also die Anzahl der natürlichen Zahlen (und evtl der 0), die sie enthält.
z.B.
[mm] $\phi([0,2])=3$
[/mm]
Wenn wir jetzt für die Masse bei den ganzen natürlichen Zahlen (+0) anstatt 1 jeweils die Zähldichte der Poissonverteilung einsetzen, dann ist es das Maß einer poissonverteilten Zufallsvariablen.
Beispiel (mit [mm] $\rho_i$ [/mm] der Zähldichte der Poissonverteilung bei i)
[mm] $\psi([0,3[)=\rho_0\underbrace{\delta_0([0,3[)}_{=1,\ \text{weil}\ 0\in[0,3[}+\ldots+\rho_2*1+\rho_3\underbrace{\delta_3([0,3[)}_{=0}+0+\ldots$
[/mm]
das entspricht [mm] $P(X\in [0,3[)=\rho_0+\rho_1+\rho_2$
[/mm]
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 13.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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