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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Di 20.12.2011 | | Autor: | dennis2 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | $X_1,...,X_n$ i.i.d. $\operatorname{Gam}(\alpha,\beta)$, $\alpha$ bekannt
Bestimme Maximum-Likelihood-Schätzer $\hat \beta_{ML}$ für $\beta$ durch Differentiation. |
Hallo, liebes Forum, hier meine Idee:
$L(\alpha,\beta)=\prod_{i=1}^{n}f(x_i|\alpha,\beta)=\frac{1}{(\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha})^n}\prod_{i=1}^{n}\left(x_i^{\alpha-1}\right)\cdot \exp\left(-\frac{1}{\beta}\left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right)\right)}$
$\Rightarrow \ln L(\alpha,\beta)=\ln\left(\left(\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}\right)^{-n}\right)+\ln\left(\prod_{i=1}^{n}x_i^{\alpha-1}\right)+\ln\left(\exp\left(-\frac{1}{\beta}\left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right)\right)\right)$
$ = -n\alpha\ln(\beta)-n\ln(\Gamma(\alpha))+(\alpha-1)\sum_{i=1}^{n}\ln(x_i)-\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{\beta}$
Ableiten nach $\beta$ und Nullsetzen der Ableitung liefert:
$-\frac{n\alpha}{\beta}+\frac{1}{\beta^2}\left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right)=-\frac{1}{\beta}\left(n\alpha-\frac{1}{\beta}\sum_{i=1}^{n}x_i\right)=0$
Der erste Faktor kann nicht 0 sein, denn da es sich um eine Gammaverteilung handeln soll, ist $\beta>0$; ohnehin wäre eine Division durch 0 nicht möglich.
Also setze ich den zweiten Faktoren gleich 0:
$n\alpha-\frac{1}{\beta}\sum_{i=1}^{n}x_i=0$
$ \Leftrightarrow \beta=\frac{1}{n\alpha}\sum_{i=1}^{n}x_i$
Ich habe also heraus, daß $\hat\beta_{ML}=\frac{1}{n\alpha}\sum_{i=1}^{n}x_i$ ist.
[Eigentlich hätte ich wohl überall statt $\beta$ schreiben müssen: $\hat\beta_{ML}$, aber dazu war ich - ehrlich gesagt - zu schreibfaul. 
Was sagt Ihr zu meiner Lösung bzw. meinem Lösungsweg?
Liebe Grüße,
Dennis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Di 20.12.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin
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> Was sagt Ihr zu meiner Lösung bzw. meinem Lösungsweg?
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Sieht gut aus. *Ich* haette noch geschrieben [mm] $\hat\beta_\text{ML}=\bar x/\alpha$, [/mm] ist aber nicht kriegsentscheidend.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 Di 20.12.2011 | | Autor: | dennis2 |
> [mm]\hat\beta_\text{ML}=\bar x/\alpha[/mm]
Danke, daß man's so schreiben kann, habe ich gar nicht gesehen.
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