Maximierungsproblem mit ln < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Do 19.03.2009 | | Autor: | econ |
Hallo,
ich möchte folgende Funktion maximieren:
[mm] \max_{a,m} U = ln(y-a*d-g*m)+ln(1-l+a)/(M+m+1) [/mm]
y,d,g,l und M sind Parameter, [mm] \[0\leq [/mm] a [mm] \leq [/mm] l [mm] \leq [/mm] 1 [mm] \]. [/mm] Ich habe die partiellen Ableitungen gebildet, =0 gesetzt und nach a und m aufgelöst. So weit, so gut. Wenn ich jetzt aber einsetze, bekomme ich eine Gleichung der Form ln(a)+a=.... Kann ich diese Gleichung irgendwie auflösen? Mein Ziel ist es, die nur von den Parametern abhängigen Werte für a und m zu bekommen, für die U maximal ist. Geht das?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank für eure Hilfe.
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Hallo econ, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo,
> ich möchte folgende Funktion maximieren:
> [mm]\max_{a,m} U = ln(y-a*d-g*m)+ln(1-l+a)/(M+m+1)[/mm]
> y,d,g,l
> und M sind Parameter, [mm]\[0\leq[/mm] a [mm]\leq[/mm] l [mm]\leq[/mm] 1 [mm]\].[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Ich habe
> die partiellen Ableitungen gebildet, =0 gesetzt und nach a
> und m aufgelöst. So weit, so gut. Wenn ich jetzt aber
> einsetze, bekomme ich eine Gleichung der Form ln(a)+a=....
Wieso das denn? Aus [mm] \bruch{\partial U}{\partial a} [/mm] bekomme ich eine ganz ln-freie Funktion a(m).
Vielleicht stellst Du mal Deine Ableitungen ein, dann lässt sich leichter weiterschauen.
Gut aufzulösen scheint die Aufgabe aber nicht. Wenn ich das a(m) dann in die andere partielle Ableitung einsetze, habe ich in der Tat noch freilaufende m und [mm] m^2 [/mm] und sogar noch ein m-haltiges ln-Argument. Das ist nur noch numerisch zu lösen.
> Kann ich diese Gleichung irgendwie auflösen? Mein Ziel ist
> es, die nur von den Parametern abhängigen Werte für a und m
> zu bekommen, für die U maximal ist. Geht das?
Ohne weitere Zusammenhänge wie Abhängigkeiten der Parameter untereinander bzw. deren Wirkungen auf a und m sieht das schlicht nicht machbar aus.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Vielen Dank für eure Hilfe.
Grüße
reverend
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:59 Do 19.03.2009 | | Autor: | econ |
Hallo reverend, danke für deine schnelle Antwort. Die ln, ^1, ^2 - Probleme hatte ich in der Tat mit m, nicht mit a. Ich habe die Funktion jetzt nochmal vereinfacht, um die Ableitungen ein bisschen schlanker zu bekommen:
[mm] \[\max_{a,m} U=\ln(y-d*a-g*m)+(1-M-m)*\ln(1-l+a)\]
[/mm]
[mm] \[U'(a): -d/(y-d*a-g*m)+(1-M-m)/(1-l+a)=0\]
[/mm]
[mm] \[U'(m): -g/(y-d*a-g*m)-ln(1-l+a)=0\]
[/mm]
[mm] \[a=(d*(1-l)+(y-g*m)*(M+m-1))/d*(M+m-2)\]
[/mm]
[mm] \[m=(g+(y-d*a)*\ln(1-l+a))/(g*\ln(1-l+a)\]
[/mm]
Das Problem bleibt allerdings, dass ich keine algebraische Lösung bekomme, wenn ich die eine in die andere FOC einsetze. Gibt es irgendeine Möglichkeit, das aufzulösen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Do 19.03.2009 | | Autor: | reverend |
Also, ich sehe keinen Weg, dieses Gleichungssystem so aufzulösen, dass man a und m nur in Abhängigkeit von den Parametern bekommt.
Dies nur als Mitteilung. Sie ist ja nicht neu, und auch keine wirkliche Antwort auf Deine Frage.
Vielleicht hat ja jemand anders noch einen Geistesblitz...
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 21.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Do 19.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Nur so eine Idee, ohne Gewähr:
Betrachte mal
$V(a,m) := [mm] e^{U(a,m)}$ [/mm]
und nutze die Monotonie der Exponentialfunktion aus.
Möglicherweise hilft es
FRED
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