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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 Fr 02.12.2005 | | Autor: | piler |
Hi,
ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
Ein rechteckiger Papierbogen mit der Länge a und der Breite b soll so geschnitten werden, dass daraus eine Schachtel mit maximalem Volumen geformt werden kann.
Das Volumen wäre demnach V = (a-2*c) * (b-2*c) * c
a und b sind gegeben, c ist zu bestimen.
Ich war der Meinung, dass, je kleiner c wird, desto grösser wird das Volumen, da bei kleinen c die rechtecke, die man auschneiden muss, um die Schachtel zu falten, sehr klein werden.
Allerdings verläuft das Volumen eher wie eine nach unten geöffnete Parabel und hängt anscheinend von a und b direkt ab.
So sind eininge Volumina bei c = 1 maximal, manchmal zwischen 0 und 1
Ich komme Analytisch nicht drauf.
Ich hab das Volumen als eine Funktion betrachtet, die von c abhängt und wollte diese Ableiten, um ein eventuelles Maximum zu bestimmen, allerdings artet die Lösung der dann entstehenden quadratischen Gleichung dermassen aus, dass man einen Wurzelterm nicht auflösen kann und sich so keine Abhängigkeit von a und b erkenn lässt.
DIe Aufgabe mutet einfach an, und meine Logik sagt mir, dass c gegen 0 laufen muss, aber es ist nicht so (hab paar Längen und breiten mit verschiedenen c getestet)
Wer kann mir auf die Sprünge helfen ?
cya
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Hi, piler,
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> Ein rechteckiger Papierbogen mit der Länge a und der Breite
> b soll so geschnitten werden, dass daraus eine Schachtel
> mit maximalem Volumen geformt werden kann.
>
> Das Volumen wäre demnach V = (a-2*c) * (b-2*c) * c
>
> a und b sind gegeben, c ist zu bestimmen.
Also sind a und b konstant, c ist die Variable!
> Ich war der Meinung, dass, je kleiner c wird, desto grösser
> wird das Volumen, da bei kleinen c die rechtecke, die man
> auschneiden muss, um die Schachtel zu falten, sehr klein
> werden.
Ist unlogisch, da für c=0 die Schachtel keine Höhe hat und demnach das Volumen dann =0 wird.
Nehmen wir an, a sei die längere, b die kürzere Seite des Rechtecks.
Dann gilt für die Definitionsmenge: 0 < c < [mm] \bruch{1}{2}b
[/mm]
Deine Vorschlag bezüglich des Volumens ist richtig:
V(c) = (a-2c)*(b-2c)*c
Ausmultiplizieren:
V(c) = [mm] 4c^{3} [/mm] - [mm] 2(a+b)c^{2} [/mm] +abc
Nach der Variablen c ableiten:
V'(c) = [mm] 12c^{2} [/mm] - 4(a+b)*c + ab
V'(c) = 0 ergibt:
[mm] c_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{4(a+b) \pm \wurzel{16(a+b)^{2}-48ab}}{24} [/mm]
= [mm] \bruch{(a+b) \pm \wurzel{(a+b)^{2}-3ab}}{6}
[/mm]
= [mm] \bruch{(a+b) \pm \wurzel{a^{2}- ab +b^{2}}}{6}
[/mm]
Da a > b und c < [mm] \bruch{1}{2}b [/mm] sein muss, ist nur die Lösung
c = [mm] \bruch{(a+b) - \wurzel{a^{2}- ab +b^{2}}}{6}
[/mm]
brauchbar.
Wie Du siehst, wird die Rechnung ziemlich undurchsichtig, wenn man die Konstanten so allgemein lässt, nichts weiter vorgibt!
Ich will daher mal mit a=8 und b=5 weiterrechnen:
c = [mm] \bruch{(8+5) - \wurzel{8^{2}- 40 + 5^{2}}}{6} [/mm] = 1
V(c) = [mm] 4c^{3} [/mm] - [mm] 26c^{2} [/mm] + 40c; 0 < c < 2,5.
Z.B. mit Hilfe eines "Randvergleichs" erkennst Du nun, dass für c=1 wirklich das Maximum des Volumens vorliegt. Es beträgt in meinem Beispiel:
[mm] V_{max} [/mm] = V(1) = 18.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Sa 03.12.2005 | | Autor: | piler |
Das stimmt aber nicht.
Wenn ich mir die Funktion plotten lasse, z.B. für a = 6 und b = 4, so ist das Volumenmaximum vor der 1
Hab das merhmals getestet, das scheint immer von a und b abzuhängen.
Und anhand der sehr komplizierten Wurzelgleichung beider Auswertung der Nullstellen der 1. Ableitung kann ich das Maximum auch nicht wirklich ausrechnen.
In meinem Beispiel kommt nach deiner Formel auch 0,785 raus, was sich mit meinem Graphen auch verneinbaren lässt.
also c = 1 ist keine allgemeine Lösung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 So 04.12.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, piler,
> Das stimmt aber nicht.
>
> Wenn ich mir die Funktion plotten lasse, z.B. für a = 6 und
> b = 4, so ist das Volumenmaximum vor der 1
>
> Hab das merhmals getestet, das scheint immer von a und b
> abzuhängen.
Wer hat denn behauptet, das dies nicht der Fall ist?!
Natürlich hängt das Ergebnis von a und b ab!
Und das Ergebnis - in Abhängigkeit von a und b - hab' ich Dir ja auch gegeben: eben dieser blöde Wurzelterm!
> Und anhand der sehr komplizierten Wurzelgleichung bei der
> Auswertung der Nullstellen der 1. Ableitung kann ich das
> Maximum auch nicht wirklich ausrechnen.
Könnte man schon, aber das spar ich mir!
> also c = 1 ist keine allgemeine Lösung
Nie behauptet! Aber für den Spezialfall a=8, b=5
IST
dies die Extremstelle mit dem Extremwert V=18!
Sollte Dir lediglich als Beispiel dienen!
(Hab' sogar extra dazugeschrieben: "IN MEINEM BEISPIEL"!
Musst nur richtig lesen!)
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:07 Mo 05.12.2005 | | Autor: | piler |
ok danke
wollte halt ne "schöne" Lösung, aber die scheinst wohl nicht zu geben
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