Maximales Ideal < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:53 Di 13.03.2007 | | Autor: | sara_20 |
| Aufgabe | | Sei R ein komutativer Ring mit neutralem Element. Zeige dass fuer jedes maximale Ideal M in R gilt: ab [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] M [mm] \vee [/mm] b [mm] \in [/mm] M d.h.M ist einfach. |
Also, ich dachte eigentlich dass ich es mit Hilfe folgendes beweisen kann:
M maximal [mm] \gdw [/mm] R/M Koerper.
M einfach [mm] \gdw [/mm] R/M komutativ,mit neuralem Element und keinen trivialen Teiler der null.
Aber so ging es nicht. Irgendwie eiss ich nicht wie ich "ausnutzen" soll dass M maximal ist.
Ich versuchte immer wieder den Bewiss mit Kontraposition auszufuehren, schaffte es aber nicht.
Kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinen anderen Foren gestellt.
Viele Gruesse und danke im Vorraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:46 Di 13.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Wenn das Wort "maximal" auftaucht, ist so gut wie immer ein indirekter Beweis anzuraten.
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> Sei R ein komutativer Ring mit neutralem Element. Zeige
> dass fuer jedes maximale Ideal M in R gilt: ab [mm]\in[/mm] M
> [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\in[/mm] M [mm]\vee[/mm] b [mm]\in[/mm] M d.h.M ist einfach.
> Also, ich dachte eigentlich dass ich es mit Hilfe
> folgendes beweisen kann:
> M maximal [mm]\gdw[/mm] R/M Koerper.
Hallo,
> M maximal [mm]\gdw[/mm] R/M Koerper.
==> R/M Integritätsring
==> M ist Primideal
==>(ab [mm]\in[/mm] M [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\in[/mm] M [mm]\vee[/mm] b [mm]\in[/mm] M)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Di 13.03.2007 | | Autor: | sara_20 |
Hallo,
also R/M ist Feld. Aber darraus folgt doch nicht dass es Integritaetsring ist, oder?
Z.B. [mm] \IZ6={0,1,2,3,4,5} [/mm] ist Feld, ist aber nicht Integritaetsring da 2*4=0.
Oder habe ich da was falsch verstanden???
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> Hallo,
> also R/M ist Feld. Aber darraus folgt doch nicht dass es
> Integritaetsring ist, oder?
Doch. Körper sind ja nullteilerfrei, kommutativ, Ring mit 1.
> Z.B. [mm]\IZ6={0,1,2,3,4,5}[/mm] ist Feld, ist aber nicht
> Integritaetsring da 2*4=0.
[mm] \IZ6 [/mm] ist kein Körper!
Es gibt ja kein x mit 2*x=1.
Gruß v. Angela
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