Maximaler Flächeninhalt < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Mi 22.06.2011 | | Autor: | elliove |
| Aufgabe | | Einem kreis mit Radius 1 cm sol ein Dreieck einbeschrieben werden, alle Eckpunkt liegen auf dem Kreis. Geben sie den Flächeninhalt in Abhängigkeit von x an, Vorraussetzung Mittelpunkt des Kreises ist der Koordinatenursprung. Bestimmen Sie den max. möglichen Flächeninhalt. |
Hallo stehe vor meiner mündlichen Matheprüfung und rechne im Moment Übungsaufgaben. Irgendwie komme ich nicht voran, welche Formel nehme ich denn am besten und was muss ich ableiten ... Ich bräuchte nur einen Schups in die richtige Richtung hoffe ich.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Einem Kreis mit Radius 1 cm soll ein Dreieck einbeschrieben
> werden, alle Eckpunkt liegen auf dem Kreis. Geben sie den
> Flächeninhalt in Abhängigkeit von x an, Voraussetzung
> Mittelpunkt des Kreises ist der Koordinatenursprung.
> Bestimmen Sie den max. möglichen Flächeninhalt.
> Hallo stehe vor meiner mündlichen Matheprüfung und
> rechne im Moment Übungsaufgaben. Irgendwie komme ich nicht
> voran, welche Formel nehme ich denn am besten und was muss
> ich ableiten ... Ich bräuchte nur einen Schubs in die
> richtige Richtung hoffe ich.
Hallo elliove,
was soll das x in der Aufgabenstellung bedeuten ?
Wegen der Symmetrie des Kreises darf man natürlich
einen der drei Eckpunkte des Dreiecks irgendwo auf
der Kreislinie platzieren.
Dann bleibt aber eigentlich immer noch ein Problem
mit zwei freien Variablen übrig. Das ließe sich mittels
Analysis in 2 Variablen zwar durchaus bearbeiten, ich
zweifle aber ein bisschen daran, dass ihr dies schon
behandelt habt. Ich vermute deshalb, dass in deiner
Aufgabe noch eine Angabe war, die du hier noch nicht
erwähnt hast.
Im Prinzip gibt es aber auch noch eine einfache geo-
metrische Betrachtungsweise, mit der man leicht
und ohne eigentliche Rechnung erkennen kann, was
für ein Dreieck gesucht ist ...
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Mi 22.06.2011 | | Autor: | elliove |
Doch wir hatten das mit Sicherheit irgendwann schon mal, denn jetzt sind ja Abiturprüfungen ...
Habe alles gerade eben nochmal überprüft und die Aufgabe ist so wie sie da steht ...
Das X lässt mich auch etwas stutzen ...
Vielleicht jemand anderes eine Idee?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 Mi 22.06.2011 | | Autor: | elliove |
Theoretisch handelt sich doch bestimmt um ein gleichschenkliges dreieck ... die haben ja immer den größten Flächeninhalt, oder?
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> Theoretisch handelt sich doch bestimmt um ein
> gleichschenkliges dreieck ... die haben ja immer den
> größten Flächeninhalt, oder?
Der rein geometrische Beweis ohne Rechnung ginge
so:
Angenommen, das Dreieck ABC wäre bezüglich der Mittel-
senkrechten der Basis [mm] \overline{AB} [/mm] nicht symmetrisch und damit
[mm] |\overline{AC}|\not=|\overline{BC}| [/mm] , dann könnte man den Punkt C durch den
Punkt [mm] C^{\ast} [/mm] ersetzen, jenen Schnittpunkt der Mittelsenk-
rechten von [mm] \overline{AB} [/mm] mit dem Kreis, welcher von dieser Basis
den größten Abstand hat. Da dieser Abstand größer als
die Höhe [mm] h_c [/mm] des Dreiecks ABC ist, hat auch das Dreieck
[mm] ABC^{\ast} [/mm] einen größeren Flächeninhalt als das Dreieck ABC.
Dieselbe Überlegung kann man sich in Bezug auf jede
der drei Dreiecksseiten machen. Es folgt, dass das
flächengrößte Dreieck, das man einem gegebenen Kreis
einbeschreiben kann, "dreifach gleichschenklig", also
gleichseitig sein muss.
LG Al-Chw.
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Hallo!
wie bereits gesagt, die Aufgabe ist mit den gemachten Angaben irgendwie unvollständig.
Ich wette, es gibt noch eine Skizze dazu, die in etwa so aussieht:
Der linke Schnittpunkt des Kreises mit der x-Achse ist ein Punkt des Dreiecks. Dann gibt es noch eine Grade in y-Richtung bei einer variablen x-Position, deren Schnittpunkte mit dem Kreis die beiden anderen Punkte des Dreiecks festlegen.
Das gibt dann ein gleichschenkliges Dreieck, für das du Breite und Höhe hinschreiben können solltest. Damit hast du die Fläche, und solltest berechen können, für welche Position der Graden die Fläche maximal wird.
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