Maximaler Abstand von Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Di 19.01.2010 | | Autor: | Mampf |
| Aufgabe | Gegeben:
[mm] f(x)=(e^{x}-2)^{2} [/mm]
und
[mm] g(x)=e^{x} [/mm]
Für welchen Wert von x zwischen 0 und ln4 ist der Abstand (Different der Funktionswerte von f(x) und g(x)) am größten? |
Guten Abend!
Ich habe mit als erstes f(x) ausmulitpliziert und dann mit g(x) subtrahiert:
[mm] d(x)=e^{x*x}-4e^{x}+4-e^{x} [/mm]
[mm] d(x)=e^{x*x}-5e^{x}+4 [/mm]
Nun kommt es darauf an den Hochpunkt von d(x) zu suchen, daher 2x differenziert:
[mm] d'(x)=2*e^{x*x}-5*e^{x}= 2*e^{x}*(e^{x}-2,5) [/mm]
[mm]d''(x)= 4*e{x*x}-5*e^{x}=4*e^{x}-(e^{x}-1,25)[/mm]
für d'(x)=0 habe ich x= ln2,25 herausbekommen.
setze ich das in d''(x) habe ich was positives, und damit kein HP.
Habe ich falsch Differenziert?
Aus der Lösung:
[mm]d(x)= -e^{2*x}+5*e^{x}-4[/mm]
[mm]d'(x)=-2e^{2*x}+5*e^{x}[/mm]
was ich aber nicht verstehen kann und mich an der Lösung zweifeln lässt , da ich vorher, um die Grenzen 0 und ln4 festzulegen mit meinem d(x) ([mm] d(x)=e^{x*x}-5e{x}+4 [/mm]) gerechnet habe, was sich als korrekt erwies...
nun bin ich verwirrt und bitte um Hilfe!
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Di 19.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben:
>
> [mm]f(x)=(e^{x}-2)^{2}[/mm]
>
> und
>
> [mm]g(x)=e^{x}[/mm]
>
> Für welchen Wert von x zwischen 0 und ln4 ist der Abstand
> (Different der Funktionswerte von f(x) und g(x)) am
> größten?
> Guten Abend!
>
> Ich habe mit als erstes f(x) ausmulitpliziert und dann mit
> g(x) subtrahiert:
>
> [mm]d(x)=e^{x*x}-4e^{x}+4-e^{x][/mm]
>
> [mm]d(x)=e^{x*x}-5e^{x}+4[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] (e^x)^2 = e^{2x} =e^{x+x}\not= e^{x*x}=e^{x^2} [/mm]
>
> Nun kommt es darauf an den Hochpunkt von d(x) zu suchen,
> daher 2x differenziert:
>
> [mm]d'(x)=2*e^{x*x}-5*e^{x}= 2*e^{x}*(e^{x}-2,5)[/mm]
>
> [mm]d''(x)= 4*e^{x*x}-5*e^{x}=4*e^{x}-(e^{x}-1,25)[/mm]
Ah, du hast zwar immer [mm] $e^{x*x}$ [/mm] geschrieben, aber [mm] $e^{2x}$ [/mm] abgeleitet. OK.
>
> für d'(x)=0 habe ich x= ln2,25 herausbekommen.
Nein. Du hast doch [mm] $e^{x}-2,5=0$, [/mm] also $ x= [mm] \ln [/mm] 2,5$.
>
> setze ich das in d''(x) habe ich was positives, und damit
> kein HP.
>
> Habe ich falsch Differenziert?
Nein, aber du hast nicht berücksichtigt, dass außer an den Randpunkten $f(x) < g(x)$ und daher die von dir untersuchte Differenz negativ ist. Damit suchst du nach einem Tiefpunkt. Wenn du stattdessen mit $g(x)-f(x)$ rechnest, drehen sich alle Vorzeichen um, und du hast, was du brauchst.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 Di 19.01.2010 | | Autor: | Mampf |
Achso nun ists mir klar, vielen Dank!
MfG
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