Maximale Länge einer Strecke < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Sa 20.11.2010 | | Autor: | lalachen |
| Aufgabe 1 | Gegeben ist die Funktion f mit [mm] f(x)=(x+1)*e^{-x}. [/mm]
Die Parallele zur y-Achse mit x=u schneidet den Graphen von f im [mm] Punkt_u(u|f(u)) [/mm] und den Graphen von f' im Punkt [mm] Q_u(u|f'(u)).
[/mm]
Bestimmen Sie u so, dass die Länge d(u) der Strecke [mm] P_u Q_u [/mm] maximal wird, und geben Sie diese maximale Länge an. |
| Aufgabe 2 | Der Graph der Funktion f' schließt mit der x-Achse und der Parallelen zur y-Achse mit x=u ein Flächenstück ein.
Ermitteln Sie den Inhalt A(u) dieser Fläche allgemein in Abhängigkeit von u und berechnen Sie A(2). |
Ich weiß nicht, was ich mit den Aufgaben anfangen soll. Könnte das vielleicht mal jemand übersetzen und mir eine kleine Ansatzhilfe leisten?! 
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Sa 20.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hier mal die Skizzen der Situationen.
Aufgabe 1.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aufgabe 2)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Sa 20.11.2010 | | Autor: | lalachen |
Super, danke für die Visualisierung!  Aber wie kann ich denn u ausrechnen? Ich hab keine Ahnung, womit ich anfangen muss geschweige denn, was ich überhaupt machen muss?!
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Hallo, die Strecke [mm] \overline{PQ} [/mm] ist zu maximieren, P liegt auf f(x), Q liegt auf f'(x), die Abstandsfunktion f(x)-f'(x) ist also zu maximieren, bilde also zunächst die 1. Ableitung, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Sa 20.11.2010 | | Autor: | lalachen |
die 1.Ableitung ist [mm] f'(x)=-x*e^{-x}
[/mm]
und dann muss ich einfach f(x) - f'(x) rechnen?!
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Hallo, die 1. Ableitung ist ok, also ist deine Abstandsfunktion
[mm] f(u)-f'(u)=(u+1)*e^{-u}-(-u*e^{-u})
[/mm]
der Abstand ist zu maximieren, also setze die 1. Ableitung der Abstandsfunktion gleich Null
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Sa 20.11.2010 | | Autor: | lalachen |
ist die 1.ableitung [mm] d'(u)=e^{-u}(-2u-1) [/mm] ?!
dann hab ich nur -2u-1= 0 gesetzt, weil e ja nie 0 werden kann und bin auf u=-0,5 gekommen.
Ist das richtig? Oder hab ich mal wieder falsch abgeleitet?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Sa 20.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Leider passt deine Ableitung nicht.
Du hast:
[mm] d(u)=(u+1)\cdot{}e^{-u}-(-u\cdot{}e^{-u})
[/mm]
[mm] =e^{-u}(2u+1)
[/mm]
Also:
[mm] d'(u)=e^{-u}*2+(-1)*e^{-u}(2u+1)=e^{-u}(1-2u)
[/mm]
Das Vorgehen, nur den "nicht-e-Faktor" zu betrachten, ist aber korrekt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Sa 20.11.2010 | | Autor: | lalachen |
Danke für die Korrektur, also ist u=0,5.
Wenn u dann 0,5 ist, ist die Strecke dann maximal? Aber woher weiß ich denn, ob die strecke jetzt maximal ist?!
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Hallo lalachen,
> Danke für die Korrektur, also ist u=0,5.
> Wenn u dann 0,5 ist, ist die Strecke dann maximal? Aber
> woher weiß ich denn, ob die strecke jetzt maximal ist?!
Welcher Art das Extremum ist, entscheidet
die 2. Ableitung der Abstandsfunktion.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Sa 20.11.2010 | | Autor: | lalachen |
[mm] d''(u)=-2e^{-u} [/mm] ?!
und dann u einsetzen, oder wie?!
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Hallo lalachen,
> [mm]d''(u)=-2e^{-u}[/mm] ?!
Das ist leider nicht richtig.
> und dann u einsetzen, oder wie?!
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Sa 20.11.2010 | | Autor: | lalachen |
ich versteh's nicht, komme immer aufs gleiche Ergebnis...
Ich glaube, ich lass es einfach und hoffe einfach darauf, dass sowas nicht in meiner Abiprüfung vorkommt ^^
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Hallo lalachen,
> ich versteh's nicht, komme immer aufs gleiche Ergebnis...
Nun, die Ableitung des Produktes
[mm]\left(1-2*u\right)*e^{-u}[/mm]
wird mit Hilfe der Produktregel gebildet.
> Ich glaube, ich lass es einfach und hoffe einfach darauf,
> dass sowas nicht in meiner Abiprüfung vorkommt ^^
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Sa 20.11.2010 | | Autor: | lalachen |
[mm] d''(u)=2e^{-u}*(2u+1) [/mm] ?!
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Hallo, leider stimmt deine 2. Ableitung immer noch nicht
[mm] d'(u)=e^{-u}*(1-2u)
[/mm]
[mm] v=e^{-u}
[/mm]
[mm] v'=-e^{-u}
[/mm]
w=1-2u
w'=-2
[mm] d''(u)=v'*w+v*w'=-e^{-u}*(1-2u)+e^{-u}*(-2)
[/mm]
[mm] d''(u)=-e^{-u}+2u*e^{-u}-2*e^{-u}=2u*e^{-u}-3*e^{-u}
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo Marius, bei Aufgabe 2 geht es um f' Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Sa 20.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Steffi
Danke für den Hinweis.
@lalachen. Passe bitte deine Skizze dahingehend an, sorry, ich hatte den Strich übersehen, ich hoffe aber, ies ist klar, was du da berechnen sollst.
Du hast also ein Integral zu berechnen, dessen Obergrenze du erstmal allgemein halten sollst.
Marius
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