Maximale Fläche bilden < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geg. ist die Funktion f(x)= [mm] \bruch{1}{6} x(x-8)^2 [/mm]
Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkt berechen.
Für jedes u(u [mm] \in\IR, [/mm] 0<u<8) sind der Punkt [mm] P_u [/mm] (u;f(u)) und der Koordinatenursprung Eckpunkte eines zu den Koordinatenachsen achsenparallelen Rechtecks. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes [mm] P_u, [/mm] dessen zugehöriges Rechteck den größtmöglichen Flächeninhalt unter allen so gebildeten Rechtecken besitzt.
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![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") Guten Abend zusammen!
Berechnet habe ich: [mm] N_1 [/mm] (0;0) ; [mm] N_2 [/mm] (8;0) ; Min (8;0) ; Max [mm] (\bruch{8}{3};12,64) [/mm] ; WP [mm] (\bruch{16}{3};6,32) [/mm]
Und nun kommen die Fragezeichen.....Meine Gedanken dazu sind: Der Punkt [mm] P_u [/mm] ist von der Funktion f(x) abhängig und befindet sich zw. 0 und 8, also zw. den Nullstellen der Funktion f(x). Er wandert also am Graphen entlang. Im Verdacht habe ich den Maximalwert der Funktion und die Wendestelle, die beide den gleichen Flächeninhalt versprechen.
Aber irgendwie komme ich nicht weiter....Wie leitet man das mathematisch her? Muss ich dazu f(x) intergrieren?
Über Lösungsansätze würde ich mich sehr freuen. LG Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 So 16.03.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
der Punkt [mm] P_u [/mm] liegt auf dem Graphen der Funktion, d.h. seine Koordinaten sind u und f(u). Der Flächeninhalt des Rechtecks ist somit u f(u).
Du mußt also ein Maximum der Funktion [mm] xf(x)=\frac{1}{6}x^2 (x-8)^2 [/mm] mit [mm] 0\le x\le [/mm] 8 finden.
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Danke für die schnelle Antwort.
Also ist der Punkt [mm] P_u [/mm] nichts anderes als der Maximalwert [mm] (\bruch{8}{3};12,64) [/mm] der Funktion?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 So 16.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Markus!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das stimmt nicht! Denn die Flächenfunktion des Rechteckes lautet ja:
$$A(x) \ = \ [mm] \red{x}*\blue{f(x)} [/mm] \ = \ [mm] \red{x}*\blue{\bruch{1}{6}*x*(x-8)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{6}*x^{\red{2}}*(x-8)^2$$
[/mm]
Und dessen Maximum liegt dann auch nicht beim Maximum von $f(x)_$ ...
Gruß
Loddar
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Hi Loddar!
Danke auch Dir für die schnelle Antwort!
Also muss ich von x*f(x) die erste Ableitung null setzen, da dann das Maximum bestimmen (zw. 0 und 8) und nicht extra integrieren? Also von A=a*b bist Du zu A=x*f(x) gekommen. Nur damit ich es auch richtig verstanden habe.... Sorry wegen meiner vielen Fragen.
LG Markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 So 16.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Markus!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Du hast es richtig verstanden ... so geht es - ohne Integration!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 So 16.03.2008 | | Autor: | Markus110 |
alles klar....dann werde ich mal losrechnen. Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 So 16.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Markus!
> Berechnet habe ich:
> [mm]N_1[/mm] (0;0) ; [mm]N_2[/mm] (8;0) ; Min (8;0) ; Max [mm](\bruch{8}{3};12,64)[/mm] ; WP [mm](\bruch{16}{3};6,32)[/mm]
Diese Ergebnisse sind richtig. Aber besser die Funktionswerte auch genau als Bruch aufschreiben.
Gruß
Loddar
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